讲义讨论: 拓扑学/覆盖空间 (I): 基础知识

关于此版块

不可编辑

Estwald (讨论贡献)

是连通 Lie 群之间的同态, 相应的 是同构, 是否一定有 是覆盖呢?

方恪身 (讨论贡献)

见 §8.1, " 一些例子 ", 例 3.

现成的文献为: Warner, Proposition 3.26.

Estwald (讨论贡献)

请问学习 covering space 是否有必要顺便学习 sheaf theory?

方恪身 (讨论贡献)

如果时间允许, 应当好好学习 sheaf theory.

它跟平展空间, 覆盖空间的关系在 Bourbaki 的书 “代数拓扑” 中的第一章有系统描述.

而我最喜欢的文献是 Grothendieck 的 Sur quelques points d’algèbre homologique (扶老师也爱它), 并且有好事者做了英文翻译. 缺点是它可能读起来比较干涩, 没有动机.

作为补充, 可以阅读 Griffiths 和 Harris 的 “代数几何原理” 的相关章节, 那里 reproduce 了 A. Weil 对 de Rham 定理的证明, 以及在复分析里的应用. 但是要小心 GH 对 sheaf 的定义是错的. 有很多朋友觉得 GH 不适合初学者, 如果你有兴趣, 欢迎来找我, 我给从例子开始讲.

相关词条: , 意象. 当然, 我的观点是抽象数学是为了解决具体问题, 上面的词条不适合在没有具体问题在心的情况下阅读.

Estwald (讨论贡献)

谢谢张老师! 我目前只了解过一些 Zariski 拓扑里 Spec 的 Sheaf, 还是代数角度学的多, 对几何没有什么了解...

Estwald (讨论贡献)

不懂法语... 东北论文里的内容可以用诸如 Weibel 或者 Gelfand 之类的同调代数书代替吗?

方恪身 (讨论贡献)

Weibel 中的 sheaf 都在习题中, 你可以把相关的做一遍. Gelfand–Manin 则使用了导出范畴, 讲了 Verdier 对偶的证明 (有奇妙的 typo). 如果喜欢学 dry 数学的话, 看了没什么伤害, 但是 (我感觉) 也没什么大用处就是了. 如果你学了代数几何, 在具体问题里面计算 sheaf 上同调比学这些干燥数学有趣 (我感觉) 得多 [这方面的典范其实是 SGA 7II, 理论都是为内容服务的, 超好看]. 你可以试着承认上同调的基本性质, 然后看哈茨霍恩的曲线/曲面那几章, 学习怎么用它们解决具体问题. 我又想起来了 Serre 的 FAC 文章, 似乎也有英文译本, 也可以瞄一瞄. 当然我随时可以给你讲.

不论如何, 还是要唠叨我的 “世界观”: 知道怎么算上同调, 并解决具体问题, 比知道这些抽象理论重要的多. 就像我们学基本群一样, 知道重要的空间的例子, 和计算它们同伦群的方法, 比知道用 hom(cogroup,-) 是 group 重要多了. 后面的抽象 (一旦知道了) 不需要智力活动, 没意思 (虽然一开始发现它也许需要智力活动, 但又不是你发现的:).

方恪身 (讨论贡献)

BTW, Gelfand – Manin 里的 Gelfand 是 Sergei Israelovich, 不是你认识的 Isreal Moiseevich, 而是 I. M. 的儿子:D

橘子 (讨论贡献)

12.2.7 可以假设 B 的每个连通分支都是开集吗?

Estwald (讨论贡献)

我觉得不可以.

橘子 (讨论贡献)

不假设做不出来ಥ_ಥ

方恪身 (讨论贡献)

如同 Estwald 先生所说, 确实不用. 不过作业里写个一部分的证明也行.

没有更早的话题