12. 覆盖空间 (II)

这一节我们的主题有两个: 利用 Galois 理论给出 van Kampen 的证明, 以及比较覆盖空间与用道路定义的基本群的关系.

在开始之前, 我想赘述几句. 第一, 原理上, “正确” 的覆盖基本群定义的方法应该是考虑覆盖空间范畴到集合范畴的 “纤维函子 (fiber functor)”的自同构. 然而这个定义需要太多的抽象废话, 因此我们选择使用略显不典则的定义方式来定义覆盖基本群. 对 “范畴学” 熟悉的朋友应该能够将我们所说的定义翻译成上述结果.

第二, 我们选择了 “粘贴旋子” 的方法来给出 van Kampen 的证明. 因为它相对好理解. 然而, 如果采用上述纤维函子自同构的定义方法的话, van Kampen 定理可以更加 “范畴” 地导出. 在这一部分的学习中, 我们已经刻意地讲了许多比较 “formal” 的内容. 但我想我们浅尝辄止即可, 因为朋友们应该已经能够体会到 “抽象” 的的风味了.

12.1旋子

定义 12.1.1. 为拓扑群, 为拓扑空间. 则 上一个以 为结构群的 (左) 旋子 (torsor) (或主纤维丛 (principal fiber bundle), 或主齐性空间 (principal homogeneous space)), 是一个偶对 , 其中 上的拓扑空间, 是群 上的连续作用 (按照惯例, 用毗联 代表). 并且它满足如下性质:

(T)

对任何 , 存在 的邻域 , 以及 上空间的同构: 它满足

容易验证 (通过局部的考虑), .

旋子 叫做同构的旋子, 如果它们之间存在尊重 作用的 空间同构.

例 12.1.2.

1.

平凡旋子: .

2.

先前构造的纤维空间 是以群 为结构群的旋子.

3.

任何局部连通, 连通空间上的 Galois 覆盖是以它的 Galois 群 (离散拓扑) 为结构群的旋子.

显然, 若 具有离散拓扑, 则 的旋子是 的覆盖空间. 在这一段里, 我们利用 Galois 理论来研究旋子的分类.

1.

我们固定如下记号: 是固定的离散群, 是连通且局部连通的拓扑空间, 的 Galois 覆盖, Galois 群 代表. 我们引入如下术语: 一个 标记 的覆盖空间为 , 其中 .

2.

(从旋子到带有 左作用的 -集合) 根据 Galois 对应, 任何从属于 -旋子 都对应于唯一的 -集合 . 由于对任何 , 满足 , 上覆盖空间的态射. 因此每个 诱导了 -集合上的态射注意, 由于它是 -集合态射, 它满足

由于 上的作用满足 , 通过 Galois 对应, 我们有 . 这说明 在集合 上的左作用.

3.

(上述 作用可迁) 我们断言 上的作用是可迁的. 事实上, 由于 上的作用尊重 的右作用, 具有自然的 -集合结构. 根据 Galois 对应, 集合 对应于 (为什么? 留作习题). 由于我们之前已经论述过, , 又由于 通过 Galois 对应对应于单点集合, 必有 . 于是 上作用可迁.

4.

上述 作用 “均匀”. 即如果存在 , , 那么 . 通过 Galois 对应, 这个立即转化为如下命题: 若存在 , 使得 , 则 . 通过局部平凡化可知和它的补都是既开又闭的, 因此 的连通性推出 .

5.

(利用群同态分类带有 “均匀” 作用的 -集合) 通过上述论述, 我们从旋子导出了一个带有 -作用的 -集合 . 这样的结构与群同态 有密切关系.

选择 . 由于 作用均匀, 映射 , 是双射. 特别地, 对任意 , 存在唯一 , 使得 . 我们有故而, 是群同态. 反之任给群同态 , 我们就可以将 实现为带 右作用的的左 -集合:

然而, 如果我们选择不同的基点 , 所得到的同态并不相同: 若 , 则故而 .

6.

综上所述:

[从属于 -旋子的同构类] 一一对应于 [];

[带标记的从属于 -旋子的同构类] 一一对应于 [].

12.2万有覆盖

定义 12.2.1. 为带基点的拓扑空间. 设 上带基点的覆盖空间, 即 的覆盖空间, . 称 万有覆盖空间 (universal covering space), 如果对任何 上带基点的覆盖空间 , 存在唯一的保持基点的 上的空间的态射 .

命题 12.2.2. 是带基点拓扑空间 上的带基点的覆盖空间. 设 局部连通. 则 的万有覆盖的必要且充分条件是:

是连通拓扑空间,

对任何 上的覆盖空间 , 上的可平凡化的覆盖空间.

证明. 必要性. 设 的万有覆盖空间. 设 的包含 的既开又闭的子空间. 令 上的平凡覆盖. 我们来定义两个从 的态射: 都将 送到 , 由于 是万有覆盖, 必有 . 这迫使 . 从而 连通.

再来证明 可以平凡化任何 上的覆盖空间 . 为此, 只需证明对任何 , 存在 的截面 , 使得 . 由于 是万有覆盖, 存在唯一保持基点的态射 . 令 即可.

充分性. 设 满足题目中两条性质. 则对任何带基点的 的覆盖空间 , 存在 的截面 , 满足 . 令 , 则 为保持基点的态射. 的唯一性由命题 11.1.1 保证.

系 12.2.3. 是带基点的局部连通拓扑空间. 若 的万有覆盖空间, 则对任意 , 也是 的万有覆盖空间.

系 12.2.4. 是带基点局部连通拓扑空间 的带基点的覆盖空间. 若 是单连通的, 则 的万有覆盖空间.

证明. 由于 单连通, 它也连通. 由于 上的覆盖空间都是可平凡化的, 那些形如 的覆盖空间可平凡化. 因此 是万有覆盖.

具有一个单连通的覆盖空间, 则它的所有万有覆盖空间都是单连通的. 但是除非我们对 加以更强的限制, 它的万有覆盖空间可能不是单连通的.

例 12.2.5. 此处应该有个例子.

定义 12.2.6. 称拓扑空间 局部好的, 若 有一个开覆盖 , 使得对每个 的覆盖空间 , 每个 的成员 , 是可平凡化的.

局部单连通的, 若任何 的开集 , 都有一个开覆盖, 其中的成员是单连通的.

显然, 局部单连通的拓扑空间是局部好的.

定理 12.2.7. 设拓扑空间 连通, 局部连通, 且局部好. 则对任意 , 有万有覆盖.

证明. 根据命题 11.1.2, 存在一个集合 , 以及由 参数化的一族带基点连通覆盖空间 , 使得任何 的带基点连通覆盖空间都同构于某个 . 令 . 一般来说, 上自然的拓扑不会令 是覆盖映射 (见下), 我们要对此稍加修正.

对任何 “好” 开集 , 考虑拓扑空间 . 则 是可平凡化的覆盖空间的乘积, 因此它的 “自然拓扑” 同胚于某个积拓扑 , 其中 是离散空间的乘积. 然而, 无限个离散空间的积空间不是离散的 (积拓扑不同于箱拓扑). 为此, 我们强行赋予 来自于 的拓扑. 记这个空间为 . 集合 构成了 的一个覆盖, 而 的开集为子基决定了 上比纤维积拓扑更细的拓扑. 我们记这个拓扑空间为 . 显然, 按照定义, 就是覆盖空间了. 由于 是局部连通的, 也局部连通.

包含点 的连通分支, 上的限制. 则 的覆盖空间 (命题 11.2.4). 我们断言 的一个万有覆盖. 事实上, 投影映射 上的限制给出了 上带基点覆盖空间的态射 .

的任何带基点的覆盖空间. 则包含 的连通分支 的覆盖空间 (命题 11.2.4). 因此存在 , 以及唯一的同构 . 复合态射就给出万有覆盖所需的映射 [这样的映射一定唯一 (命题 11.1.1)]. 这就说明了 是万有覆盖.

命题 12.2.8. 任何连通, 局部单连通空间 的万有覆盖是单连通的.

证明. 的万有覆盖 的覆盖空间. 令 的单连通开集, 那么 作为 -空间同构于平凡 -覆盖 . 令 为在这个同构下 的原像, 这里 . 由于 是覆盖映射, 单连通, 可平凡化, 因此它同构于 , 其中 离散. 综上所述, . 因此 也是 的覆盖空间. 对任何 , 根据万有覆盖的泛性质, 存在 满足 , . 由于 上取值相等, 命题 11.1.1 推出 . 因此 是经过 的截面. 从而 上可平凡化覆盖空间 (命题 11.2.2(2)).

用覆盖空间定义基本群

定义 12.2.9. 是带基点的局部连通拓扑空间. 设 的一个万有覆盖. 定义 的覆盖基本群为

为连续映射. 则对任何带基点的 上覆盖空间 , 我们可以得到诱导的覆盖空间 , 其中 , , . 如果 -旋子, 那么 也是 -旋子. 若 的万有覆盖, 那么根据第 12.1 节的讨论, 存在唯一的 -空间态射 , 满足 . 因此, -集合 获得了基点 . 利用第 12.1 节的讨论, 我们得到了群同态 . 特别地, 如果取 的万有覆盖, 那么我们就得到了覆盖基本群之间的同态

12.3Van Kampen

在这一节, 为打字方便计, 我省略覆盖基本群的上标 cov. 请诸位不要心生疑惑.

1.

由于万有覆盖 是 Galois 覆盖, 前述 (§12.1) 关于旋子的讨论可以应用于万有覆盖. 因此, 我们有如下一一对应 ( 为离散群, 注意到任何 -旋子都从属于万有覆盖):

[ 上带基点的 -旋子]/同构 [同态 ]

这个对应的依据是: 一旦我们选取了万有覆盖的基点, 那么任何标记 就会给出 的基点 ; 反之, 如果在 上选定了基点, 根据万有覆盖的泛性质, 存在唯一的标记 满足 .

2.

是保持基点的连续映射, 为基本群之间诱导的映射. 请读者验证, 若群同态 对应于 上带基点的旋子 , 那么复合同态 对应于 上带基点的旋子 .

现在考虑连通, 局部连通, 局部好拓扑空间 . 设存在开集 , 使得 连通, . 取定 . 我们来考虑如下问题: 对离散群 , 如何构造 上带基点的 -旋子.

3.

如果 上的带基点的旋子, 那么通过考虑 , 上的原像, 我们可以得到旋子 . 并且它们进一步限制到 上得到了同构的旋子, 即存在典则同构 (为了省事, 没写基点, 但是这里一切的对象都要带基点).

反过来, 若给定了 , , 分别为 上带基点的旋子, 并且给定保持基点的同构 注意, 这样的同构 如果存在, 那么一定唯一 (利用连通性, 局部连通性, 和局部平凡化). 那么通过利用 粘贴, 我们可以得到 上带基点的旋子 .

综上所述, 我们得到了如下一一对应:

[ 上带基点的 -旋子的同构类] [三元组 的同构类]

4.

结合第 3 项和旋子与群的关系 (第 1 项), 我们有:

[三元组 的同构类]

这里, 是包含映射 诱导的基本群之间的同态.

再度利用第 1 项, 我们得到一一对应根据前推的泛性质, 这就说明了 . 即覆盖空间版本的 van Kampen 定理成立.

上面描述的 van Kampen 定理的证明相当一般, 不限于两个开集覆盖. 它的证明大意甚至在 不连通时也能运行. 为此, 我们来证明如下结果:

命题 12.3.1. 局部单连通且连通, , 单连通, 个连通分支, 那么 .

证明.. 设 , . 由于 , 单连通, 任何 -旋子在 , 上都是可平凡化的. 因此, 为了粘贴得到 上的 -旋子, 需要指定平凡旋子在 上的同构. 由于基点在 里, 在 的同构定下来了; 然而在每个 指定同构相当于在 中取一个元素. 因此 . 根据泛性质, 个文字的自由群.

12.4基本群与基本群

道路单连通可以推出单连通性.

命题 12.4.1. 局部道路连通且道路单连通的拓扑空间是单连通的.

证明. 为局部道路连通且道路单连通的拓扑空间. 只需证明任何 的连通覆盖都是平凡的. 设 的连通覆盖. 对任何 , 任何 , 令 为连结 中道路. 则 是基于 的回路. 由于 道路单连通, 是零伦的. 利用同伦提升引理, 必然也是回路. 从而 , 于是 是单点集合, 从而 是同胚.

在先前的章节中, 我们已经证明过如下结果 (定理 9.1.6): 若 是局部道路连通拓扑空间 道路单连通覆盖空间, 那么 同构于 . 在这一段里, 我们要解释 “具有良好局部性质” 的拓扑空间 (比如流形) 的万有覆盖空间必然是道路单连通的. 证明完成后, 我们关于覆盖空间的故事就讲完了.

定义 12.4.2. 我们称拓扑空间 半局部道路单连通 (semi-locally simply connected by paths) 空间, 如果任何一点 都有邻域 , 使得 为零映射.

定理 12.4.3. 为道路连通, 局部道路连通, 半局部道路单连通的拓扑空间, 则 上存在道路单连通的覆盖空间.

证明. 回忆: 代表了空间 上两点 之间的道路的严格同伦类.

1.

集合 的定义. 取定 . 令 为所有从 出发的道路的严格同伦类. 即 . 中的元素. 令 , 其中 是严格同伦类 的终点.

2.

定义 上的拓扑., 的邻域, 定义 是满足 为平凡的连通开集, 那么 中的点就一一对应于 了: 此时 是单点集合.

3.

是覆盖映射. 在上述拓扑下, 为局部同胚. 设 的开集, . 则我们有 . 显然右侧包含于左侧. 而对任何终点在 中的道路 , 令 中连结 的道路. 因此 属于右侧. 因此 是连续映射.

是满足 为平凡的连通开集. 那么 的像是 . 由于这样的 构成 的拓扑基, 是开映射. 由于 是双射, 它必然是同胚.

. 则 . 从而 . 然而右侧的同伦类是零, 因为它由 中的回路代表. 因此 . 从而在我们对 的假设之下, 是两两不交的同胚于 的开集. 从而 是覆盖映射.

4.

道路连通.. 令 , . 我们留给读者验证 是连续映射. 则 为基于 的常值道路的同伦类, 而 . 从而 道路连通.

5.

道路单连通. 为基于 的回路. 则 上基于 的零伦的回路. 它是 所代表的道路的终点在 上所扫出的轨迹. 令 之间的严格同伦. 则对任何 , 是一个连结 的道路. 当 变化的时候, 上的道路, 满足 , 且 的终点就是 . 根据道路提升的唯一性, 必然有 . 于是 的一个零伦由 给出.

证明就这样完成了.

12.5习题

为连通, 局部道路连通, 局部道路单连通 (比如, 局部可缩) 的带基点的拓扑空间 (比如, 连通流形). 上的带基点的覆盖空间. 令 . 则 上的作用给出了群同态 . 它叫做 “单径表示”, 叫做单径群.

回忆: 设 的万有覆盖空间, 则 道路单连通. 此时有同构 , 以及如下图景:即在上述一一对应之下, 这两个群, 通过同构 , 的作用是一致的.

12.5.1. 记号与假设如上. 设 为单径群, 赋予离散拓扑. 令 为由满同态 证明下列断言.

1.

的以 为 Galois 群的 Galois 覆盖.

[提示: 连通性在 Galois 对应下对应于 “只有一个 的轨道”.]

2.

连通. 则 为从属于 , 即可平凡化.

[提示: 由于 连通, 它只有一个 -轨道, 因而只有一个 -轨道. 通过 Galois 对应, 任何满射 给出了态射 .]

12.5.2. 记号与假设如上. 定义约定 , 则我们有一系列 上覆盖空间之间的态射: .

1.

证明 上可平凡化的覆盖空间.

2.

证明 是满射的必要且充分条件是 连通.

12.5.3. 为复数. 对 , 定义定义 .

1.

对固定的 , 找出最大的 , 使得 为覆盖映射.

2.

对上述 , 计算覆盖 的单径群.

12.5.4. 为复数. 对 , 定义定义 .

1.

对固定的 , 找出最大的 , 使得 为覆盖映射.

2.

对上述 , 计算覆盖 的单径群.