10. 基本群 (III): van Kampen 定理

定理的历史 (A. Gramain, “Le théorème de Van Kampen”). Cet énoncé a été démontré en 1931 par H . SEIFERT, non pour des ouverts et , mais pour des sous-complexes d’un complexe simplicial . En 1933, E. VAN KAMPEN retrouve cet énoncé comme cas particulier d’une situation plus compliquée, issue d’un pr oblème de géométrie algébrique.

10.1定理的陈述

在这一小节中, 我们介绍计算基本群的一个工具, Seifert–van Kampen 定理. 我们首先固定一些记号. 令 , 为拓扑空间 的开子空间. 设:

,

, 道路连通, 以及

非空且道路连通.

, , , 与 为相应的包含映射.

根据基本群的 “自然性”, 下面的图表是交换的

根据自由积的泛性质, 同态 , 给出了同态它满足, 对 , 与典则的包含同态 的复合与 相等. Seifert–van Kampen 定理的第一部分断言 是满同态.

由于 , 对任何 , 我们有换言之, 对任意 , . Seifert–van Kampen 定理的第二部分断言上述关系在自由积 中生成的正规子群就是 .

定理 10.1.1. 记号如上.

1.

自然同态是满同态.

2.

我们有

结合两部分断言以及同态基本定理, 我们有

系 10.1.2. 记号如上. 如果 道路单连通, 则 .

由于我们关心的大多数空间 (流形, 胞腔空间) 具有良好的 “局部” 性质, 我们将在下一章对这些 “好” 空间证明定理 10.1.1.

我们可以利用泛性质重新陈述 Seifert–van Kampen 定理. 如果对某个群 , 我们有下面的交换图那么上一段的讨论表明:

存在自然同态 ,

正规子群 包含于 中.

根据同态基本定理, 存在唯一同态满足 . 换言之, 给定下面的图表, 存在唯一的虚箭头使得整个图都交换:

这就是 Seifert–van Kampen 利用泛性质的重述. 将上述泛性质提炼出来, 我们得到了群映射的推出 (pushout) 的概念.

定义 10.1.3., 为群同态. 则 沿着 的推出, 记为 , 是三元组 , 其中 是群, 是群同态. 它们满足: , 以及下述泛性质.

(PO)

若同态 满足 , 则存在唯一同态 , 使得 .

换言之, 下面的图表可以被唯一的虚箭头变成交换图: 无歧义时, 我们也用 代表推出中的群 .

定理 10.1.4 (Seifert–van Kampen 利用泛性质的重述). 记号如前, 我们有

10.2Seifert–van Kampen 定理的简单应用

空间的一点并

考虑带基点的拓扑空间 . 它们的一点并, 或楔和 (wedge sum) 是商空间并以 在其中的像为基点. 我们假设: 中有一个开邻域 , 且 为形变收缩核; 中有一个开邻域 , 且 为形变收缩核. 在此条件下, 我们断言事实上, 构成了 的一个开覆盖. 它们的交 的像为形变收缩核, 而这两个开集分别以 为形变收缩核. 这些观察与系理 10.1.2 便推出了上述断言. 特别地, 若干个圆周的一点并的基本群是自由群.

安装胞腔

为道路连通拓扑空间. 为连续映射. 令 为向空间 沿着 安装 维胞腔得到的空间. 我们来计算 的基本群.

如果 , 我们有 (证明留给读者, 比如这个结论可以用下一节中的 “闭版本” 的 van Kampen 定理推出).

如果 , 则 可以写成两个空间的并: 其中 同胚于 的映射柱, 而 同胚于 , 为形变收缩核. 应用定理 10.1.1, 我们得到其中 的基本群的一个生成元.

如果 , 重复上面的论证, 但使用 的道路单连通性, 我们就得到 .

我们用这个方法来 (再度) 计算实射影空间 的基本群. 由于对 , 是累次向 安装高维胞腔得到的, 我们有 . 而 是向 安装二维胞腔得到的, 我们有

10.3闭版本的 van Kampen 定理

许多人 (谁) 嘲笑上述 Seifert–van Kampen 定理不足以计算圆周的基本群. 然而定理 10.1.1 只是从 van Kampen 的论文中撷取的一部分. 他的文章中还包含了所谓的 “闭的 van Kampen 定理” (以及更一般的论述). 这个版本的 van Kampen 定理可以用来计算圆周的基本群. 为了陈述它, 我们设计一下记号.

为道路连通拓扑空间 的互不相交的道路连通闭子空间. 令 , 为包含映射. 设存在包含 的开集 , 满足:

的形变收缩核,

.

给定同胚 , 令为用 粘合 得到的拓扑空间.

Closed-van-kampen.png

为商映射. 对 , 令 为一条从 的道路. 对 , 我们仍然用 来表示它在 , 中的像, 用 来表示回路 .

定理 10.3.1. 记号如上. 我们有( 代表由 生成的自由群), 其中 是由一切生成的正规子群.

我们仍然只对有良好局部性质的空间证明定理 10.3.1.

下面是定理 10.3.1 的两个简单应用

1.

. 由于 的基本群都是平凡的, 我们有 是一个文字的自由群.

2.

考虑 Klein 瓶 . 它是将柱面 的两个子空间 用恒等映射粘贴起来的. 如果 的基本群的生成元, 那么在 中, . 因此, 于是 .

10.4闭曲面的基本群

闭曲面是指紧连通二维流形. 球面 , 环面 , 射影平面 , 和上面说的 Klein 瓶都是闭曲面. 它们的基本群分别是在接下来的段落里, 我们引入一些新的曲面的例子, 并且来计算它们的基本群.

安装环柄

为闭曲面. 上的一个小碟子是一个 的闭子空间, 它是某个 同胚于 的开集里由定义的子空间的逆像.

安装环柄是这样的操作: 先挑两个互不相交的小碟子 , , 令 , 是它们的边界圆周, 定义其中 被等同于 , 被等同于 . 下图是安装了两个环柄的球面的示意图 (从 Zeeman 的讲义中偷窃而来):

Zeeman-handle.png

留给读者验证安装环柄了之后得到的拓扑空间仍然是闭曲面.

命题 10.4.1. 为向 安装了 个不同环柄得到的空间. 则 的基本群有如下表现: 其中, 是绕着第 个管子的圆周给出的道路同伦类, 是穿越了第 个管子表面的道路同伦类, 如下图所示.

2-handles.jpg

这个命题通常是利用通过曲面的平面模型和利用 “安装胞腔” 一节的结论予以证明. 我们则故意选择使用闭版本的 van Kampen 来证.

证明的梗概. 不难看出 可以如下得到: 先从球面上移走 个小碟子的内部, 得到 “带边” 曲面 , 然后用同伦于 的映射粘贴 , (思考: 为什么定向被搞反了?).

具有 的一点并同伦型, 并且它的基本群有如下表现: 这里 是绕着圆周 按照诱导定向走一圈决定的回路. 从 , 我们可以把粘合一下子全搞定, 也可以一步步来: 先用 粘合 , , 再用 粘合 , , 等等. 中间第 步得到的曲面记作 .

由于粘合映射 反定向, 我们有 . 闭版本的 van Kampen 推出于是变量 可以用来代表 . 在表现里我们可以把 消去, 从而得到新的表现: 继续搞下去, 读者应该就能够发现一般规律并且结束证明了.

系 10.4.2. 对于闭曲面 , 有

因此它们两两不同胚.

安装错帽

是闭曲面, 则向 安装一个错帽 (cross-cap) 是如下操作. 选择 上小碟子 . 将 内部拿掉, 并沿着它的边界圆周 以及 Möbius 带的外圈圆周粘贴上 Möbius 带 :

命题 10.4.3. 是向 安装了 个不同错帽得到的空间. 则 有如下表现:

证明概要. 首先将 挖去 个小碟子, 得到带边流形 . 的基本群具有表现其中 是碟子边界的圆周 的按诱导定向跑的回路. 先安装第一个错帽, 得到带边曲面 . 此时根据标准的 van Kampen 定理, 有因此 的基本群具有表现继续安装错帽就得到了所需的结果.

系 10.4.4. 我们有

特别地, , 两两不同胚.

今后我们将会证明, 任何闭曲面要么同胚于 , 要么同胚于 .

10.5习题

10.5.1. 利用闭版本的 van Kampen 定理计算 Poincaré 第六个例子的基本群. (我们在课上用了覆盖空间的方法.) 令 为环面. 定义其中 是线性映射诱导的 的同胚: (10.1)

1.

证明 的基本群有如下表现:

2.

计算 的 Abel 化. 找出两个矩阵 , , 说明 不同胚于 .

10.5.2 (Heegaard 分解的基本群). 考虑一个 “亏格” 为 (下图的 ) 的实心三维环柄 . 这是一个 中的带边流形, 它的 “边界” 是一个 “亏格” 为 中的曲面.

Double-torus.png

1.

证明 的基本群是 个文字的自由群.

2.

如果 是另一个三维环柄. 设 为一个同胚. 用 Seifert–van Kampen 定理解释如何计算 的基本群.

3.

假设 的亏格为 , 是由 中元素决定的环面之间的 “线性映射”. 证明 的基本群同构于 .

事实上, 任何紧三维流形都可以通过第二款的方式得到. 将三维流形拆成环柄后, 沿着边界曲面粘贴的方法叫做三维流形的 Heegaard 分解. 上述习题第三款描述了透镜空间的 Heegaard 分解.

10.5.3..

1.

如果 , 证明 是道路单连通空间.

2.

证明对任何 , 是道路单连通空间.

3.

如果 , 证明俨开集 的基本群是 .

4.

的基本群.

10.5.4 (Brieskorn 流形 1).. 令 . 在这个习题中, 我们来证明 为道路单连通空间.

1.

考虑群 上的作用证明 与任何等价类都只有一个交点. 由此说明 .

2.

考虑映射证明在集合 之外, 是覆盖映射. 由于 尊重显然的 上的 作用, 它诱导了商空间之间的连续映射

3.

. 证明 诱导了覆盖映射 . 通过这个映射计算 的基本群.

4.

描述 中的开邻域. 用 Seifert–van Kampen 定理来计算 的基本群.

由 S. Smale 所证明的广义 Poincaré 猜想断言, 任何维数 的道路单连通 “同调球面” 都同胚于球面. 使用基本的同调的计算手段可以证明 是同调球面. 因此 同胚于 . 另一方面, 同胚于 的锥, 故同胚于 . 因此, 尽管原点是超曲面 的 “复解析奇异点”, 作为拓扑空间仍然是六维流形. 与此相反的现象是 D. Mumford 关于复曲面的定理: 一个 “正规” 的复曲面 (实四维) 在它的复解析奇异点附近不是流形 2.

类似的计算也可以用来处理多项式 所定义出来的空间 . 当 时, 同胚于 , 但是它的自然微分结构不同于 的标准微分结构 (“Kervaire 9 维怪球”). 建议读者参考 F. Hirzebruch 的 Bourbaki 报告 “Singularities and exotic spheres”.

在对大量例子进行细致分析后, J. Milnor 在他的书 “Singular points of complex hypersurfaces” 中证明了更一般的定理: 复维数 的 “超曲面奇异点” 的链环都是单连通的

1.

Brieskorn, Egbert V. (1966), “Examples of singular normal complex spaces which are topological manifolds”, Proceedings of the National Academy of Sciences, 55 (6): 1395–1397.

2.

The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 9 (1961), 5–22.

10.5.5. 为拓扑空间. , 分别是 去掉南北极后得到的空间. 一个 上具有纤维型 纤维空间是一个 上的空间 , 且存在同胚 满足 . 令 .

1.

假设 道路连通. 若 , 计算 . 若 , 情况如何?

2.

为特殊正交群. 设 , 证明 , 的第一列将 实现为 上的纤维空间. 它的纤维型是什么? 据此, 计算 的基本群.

3.

考虑上一问 的情况. 我们给出 Poincaré 髪球定理的又一证明. 假设 存在处处不为零的切向量场. 证明 存在截面, 并由此导出 同胚于 . 这与 基本群为 矛盾.