9. 群论导引

这段讲义还需要做一些磨光变换. 希望有热心群众帮忙完善.

9.1群的例子

为了研究群, 我们应当有一些简单的群的例子烂熟于心.

循环群

循环群是最简单的群:

有限循环群是同构于 (模 的完全剩余系) 的群.

无限循环群是同构于整数加法群 的群.

循环群共同的特性是存在群中元素 , 使得 是整个群.

思考.

1.

证明 同构于 次单位根在乘法下构成的群.

2.

何时 的缩系 (既约剩余系) 构成循环群?

3.

有限域 就是 ; 具有 个元素的有限域是否 ?

对称群

对正整数 , 个文字的 对称群 是一切 到自己的双射 (“ 个文字的置换”) 构成的群, 群运算由映射的复合给出.

如果 , , 那么有时用比较麻烦的记号来表示.

对称群 中有一些特殊元素, 叫做 轮换. 若 都是整数, 它们的轮换 是指 , , , , ; 且对 , . 上述轮换有时用符号来表达.

两个轮换称为不相交的, 如果它们牵扯到的指标互不相同. 如果 是两个不相交的轮换, 那么 . 任何对称群中元素在不计次序的情况下可以唯一地写成轮换的乘积.

思考.

1.

计算

2.

计算 .

矩阵群

常见的矩阵群通常会被赋予非离散的拓扑. 在我们研究基本群时则会遇到这些矩阵群里的离散子群. 我们举几个例子:

— 具有整数分量的可逆矩阵, 且逆也具有整数分量. 注意, 这个群与行列式不等于 的整数可逆矩阵不同, 后者不构成群.

— 分量具有形式 , 的可逆矩阵, 且逆也具有这种形式.

— 行列式为 的系数为整数的矩阵.

所有上三角, 对角线取值为 , 严格上三角部分为整数的 阶方阵构成群.

— 分量取值在有限域 上的可逆矩阵.

思考.

1.

“置换” 和 “置换矩阵” 有什么关系? 如何将 中的元素 “看作” 线性空间 上的线性变换? “偶置换” 是指在这个对应下行列式等于 1 的置换. 对正整数 , 个文字的 交错群 是指 中的 偶置换 构成的群, 记做 .

2.

证明 .

3.

证明 对角线为一的整数上三角矩阵构成的群是无限循环群.

乘积群

如果 是一族群, 那么我们可以构造它们的 乘积群 (product group) . 作为集合, 它就是集族 的笛卡儿积; 它的群运算由给出.

代数中的一个命题是: 任何有限 Abel 群一定同构于循环群的乘积:其中 是素数.

思考.

1.

, 互素, 循环群 和循环群 的乘积群同构于循环群 .

2.

为何 不同构于 ?

9.2Abel 群

为一族 Abel 群. 我们定义它们的 直和因此有限个 Abel 群的直和与它们的乘积没有区别; 但是对无限个 Abel 群, 它们的直和与乘积一般不同.

对任何 , , 其中 , , 是群同态. 记做 .

直和的 “泛性质”

给定 Abel 群 (群运算用加法表示), 以及同态 , 我们定义由于直和定义中的有限性, 这是良好定义的映射. 它是群同态. 这是唯一的满足 的从 的群同态.

于是, 上述泛性质可以被写作等式 .

思考.

1.

用抽象的废话证明: 如果 也满足上述泛性质. 则 同构于 .

2.

如果不要求 是 Abel 群, 泛性质还对吗?

3.

写出乘积群满足的泛性质.

自由 Abel 群

Abel 群 满足如下泛性质: 对任何群 , . 即: 给出 的同态等价于给出一个 中元素. 给出 中元素 , 我们就可以将 送到 .

Abel 群 满足类似的泛性质, 但是这时只能对 Abel 群陈述: 对任何 Abel 群 (群运算用加法表示), 有 . 其依据是 Abel 群直和的泛性质.

对一般的非交换群, 上述性质不再成立.

一般地, 对任何的集合 , 我们定义 为直和 , 则我们有也就是说, 给出从 到 Abel 群 的同态等价于给出集合 到集合 的映射.

因此, 叫做由 生成的自由 Abel 群. 说它自由是指: 给定集合上随便的映射 , 这个映射总能诱导 Abel 群之间的同态. 当然, 去掉 是 Abel 这个条件, 对一般的群, 这个性质不对.

9.3群的自由积

我们发觉了 Abel 群的直和对 Abel 群映射所满足的泛性质不能够对一般群成立. 在这一段中, 我们来解释如何对此进行弥补.

群的自由积: 用泛性质来定义

为一族群同态. 我们称 自由积, 如果它满足如下关于群同态的泛性质: 对任何群 , 任何一族群同态 , 存在唯一的群同态 , 使得 , 即对任何指标 , 下图交换

我们只是定义了群的自由积需满足的性质, 还没说明它存在. 但是利用 “抽象的废话” 很容易证明若自由积存在, 那么它在同构意义下是唯一的.

命题. 都是 的自由积, 那么存在唯一的同构 , 使得 .

事实上, 根据泛性质, 所说的 作为同态存在; 又利用 的泛性质, 可以造出 使得 对一切 成立. 复合同态 于是就满足性质 . 显然 也满足这个性质. 利用泛性质的唯一性可知 . 同理 . 这就证明了 是同构.

自由积的存在性

我们还需要证明自由积是存在的. 为此, 我们定义 构成的一个 词 (word) 为一个有限序列其中:

属于某个 ,

相邻的两个 不同时属于同一个群 ,

不是任何群的单位元.

整数 叫做词的 长度. 我们也允许考虑长度为 的词, 叫做 “空词”. 令 为所有词组成的集合. 我们将在 的一切置换中找到一个满足自由积泛性质的群.

首先我们定义如何用 来定义 上的置换. 令 , .

1.

, , 定义 . 特别地, 如果 是空词, . 如果 , 则定义 .

2.

, 定义若词的长度是 , 它可写作 , 如果 , 我们得到了空词.

容易验证上述法则定义了 上的左作用. 因此我们获得了同态 . 也容易验证每个 都是单同态.

为包含了 的最小子群 (取所有包含它们的子群的交). 那么 诱导了单同态 . 我们断言 的自由积.

为了说话方便, 我们将把 等同于它们在 中的像. 这样, 每个 中的元素都可以写成其中每个 都属于某个 . 如果相邻两项都属于同一个群, 我们可以把它们复合起来; 而且也可以将当中的恒等变换统统忽略掉. 因此, 我们可以假设上述的表达式是 “既约形式”: 相邻项不属于同一群, 恒等变换不出现.

任何 中非单位的元素可以唯一表达成既约形式. 事实上, 若且两个表达式都是既约的, 那么它们在空词上的作用分别是词 , . 因此这两个词得一样. 从而 , .

验证 具有自由积的泛性质. 设 是一族同态. 定义函数 如下: 将 写成既约形式 , 其中 ; 定义 . 最后, 定义 . 则 即为所求.

二阶循环群的自由积

把两个二阶循环群 写作 . 则它们的自由积中的元素就是 不断交错出现的形式:这是一个无限群. 回忆, 则是四个元素的有限交换群 (“Klein 肆”)

自由积的记号

今后, 群 的自由积用 来标记, 无限个群 的自由积则用 来标记.

自由群

为集合. 由 生成的自由群是指 (或用记号 ). 对 , 令 代表 (注意, 这里 不是指单位元, 我们使用 的加法群, 所以 才是单位元). 它满足如下性质: 对任意群 , 任给集合之间的函数 , 存在唯一的群同态 , 满足 .

9.4从群到 Abel 群

正规子群与商群

的子群 叫做 正规 的, 如果对任何 , , 有 .

如果 是正规子群, 那么我们在 上定义等价关系 如下: 当且仅当存在 , 使得 .

关于 的等价类记做 . 在这个群上可以定义一个群运算这与代表元选择无关: 如果 , , 则存在 , 使得 . 因此由于 正规, , 由于 是子群, . 从而 .

群同态 的核 的正规子群.

的正规子群 , 的交也是正规子群.

对任何一族 的元素 , 由 生成的正规子群是指一切包含 的 正规子群的交, 记做 .

生成的正规子群记做 , 这个子群叫做 的换位子群. 容易验证 , 叫做 Abel 化, 是 Abel 群.

同态基本定理

回忆线性代数基本定理: 设 是某域上线性空间之间的线性映射. 则成立同构 .

这个定理的证明可以照搬到群上来. 设 是群之间的满同态. 则 . 这里 是指 的子群 (思考: 它为什么是 的子群?).

思考.

1.

证明自由群 的 Abel 化是自由 Abel 群 . 自由群什么时候是 Abel 的?

2.

是 Abel 群当且仅当 .

9.5生成元与关系

是群. 它的一组生成元是指 的满足 的子集 . 显然, 自己就是 的一组生成元.

考虑群 , , , 则 . 事实上,

根据自由群的泛性质, 对任何一组群 的生成元 , 存在唯一的群同态满足 . 这个同态是满同态. 事实上, 由于 生成 , , 且 的子群, 由 可得 .

同态核 称为生成元 关系子群. 由于 中元素都可写作 的约化词, 每个 中元可写作它在 下被送到单位元 说明在 中成立即, 中的元素 满足 关系 .

关系子群 可能十分复杂. 通常使用的做法是再选取它的一组生成元 . 从而得到群的满同态利用 就可以决定所有的关系.

回到开始的例子. 我们通过观察已经知道 的生成元. 因此我们得到了 的满同态, 它将 送到 , 送到 . 我们已经写下了 , 应当满足的两个关系因此关系子群中至少包含了 . 抽象理论中很难判断我们写下来的关系是否生成了关系子群. 但在这个具体例子里我们知道它们已经足够了. 因为利用这些关系我们能且只能够表示出六个元素, 即商群只能有六个元素 (思考: 为什么?). 从而自然的群同态 被迫使是一一映射.