6. 紧性

Bourbaki 的讣告里说. car « Dieu est le compactifié d’Alexandrov1 de l’univers » (Groth, IV, 22).

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图 1: Jean-Paul Benzécri

紧性似乎肇源于无穷小分析. 微积分学中的闭区间套原理, Heine–Borel 定理, 以及 Bolzano–Weierstrass 定理都是紧性的化身. “紧性 (compactness)” 这个词是由 Fréchet 引入的, 尽管他对 “紧” 的定义与我们将要介绍的定义并不相同: Fréchet 意义下的紧空间是基于序列的极限而定义的, 在当代被叫做 “序列紧”. 当代紧的定义基于 Heine–Borel 有限覆盖原理, 是由 P. S. Alexandrov 和 P. S. Urysohn 引入的.

在北美, E. H. Moore 和 H. L. Smith 提出了网 (net) 和网的收敛概念. 容易证明一个空间是紧的当且仅当任何它上面的网都有收敛子网 (即更广义的 Bolzano–Weierstrass 定理成立). 在欧洲, Henri Cartan 则鼓吹用滤子 (filter) 的收敛来刻画连续, 并给出了类似的紧性的刻画. Moore–Smith 收敛和滤子的收敛这两套理论本质上是等价的.

6.1紧性的定义和基本性质

拓扑空间 称为紧 (compact) 的, 如果对任何 的开覆盖 , 都存在 的有限子集 , 使得 .

需要提请读者注意的是, Bourbaki 将上面定义的紧空间称为拟紧 (quasi-compact) 空间, 而定义紧空间为拟紧的 Hausdorff 空间. 希望在阅读文献时读者不要产生疑惑.

平凡拓扑是紧的, 有限集合上的离散拓扑是紧的. 除了这些肤浅的例子, 最基本的紧空间是实轴上的闭区间. 下面的命题我们已经在微积分课程内学过了.

例 6.1.1. 单位闭区间 是紧的.

证明. 的一个开覆盖. 定义那么 . 令 , 那么 , 且 . 我们要证明

首先, 我们断言 . 由于 , 存在 , 使得 . 因为 开, 存在半开的区间 包含于 . 无妨设 . 根据 的定义, 我们知道 包含于某个有限并 之中. 因此从而有 .

如果 , 那么存在 以及开区间 , 使得 . 但是这表明 , 一个比 大的数, 也落在 里. 这就与 的上确界矛盾了. 因此我们必有 . 这就完成了证明.

本小节介绍五条紧空间的基本性质:

紧空间的连续像是紧的,

Hausdorff 空间的紧子空间是闭的,

紧空间的闭子空间是紧的,

两个紧空间的积空间是紧的.

紧 Hausdorff 空间是 “正规” 的.

命题 6.1.2. 为拓扑空间的连续映射. 若 紧, 则 紧.

证明. 无妨设 为满射. 任意 的开覆盖 关于 的逆像 给出了 的开覆盖. 由于 紧, 存在 使得 , 因此 .

命题 6.1.3. 为 Hausdorff 空间. 令 的紧子空间. 则 是闭子集.

证明.. 对任何 , Hausdorff 性质说明, 存在 的邻域 , 的邻域 , 满足 . 由于 紧, 开覆盖 有一个有限子覆盖 . 令 . 则 的一个与 不交的开集. 因此 是开集.

系 6.1.4. 为紧空间到 Hausdorff 空间的连续映射. 则 是闭映射. 特别地, 是从 的商映射; 如果 是连续双射, 则 是同胚.

命题 6.1.5. 为紧拓扑空间, 的闭子空间. 则 紧.

证明. 的一个开覆盖. 由子空间拓扑的定义, 中每个成员都形如 , 其中 中开集. 这些 中的开集 构成了 的开覆盖. 的紧性保证了上面的 只需有限个就能盖住 了.

命题 6.1.6. 如果 是紧拓扑空间, 那么 紧.

证明. 的开覆盖. 则任何一个 中的对象可以用一些开箱子覆盖. 因此, 为了证明 具有有限子覆盖, 只需验证这些由开箱子构成的 “加细” 的覆盖具有有限子覆盖. 故在接下来的证明里, 我们可以假设 的成员都是开箱子.

对任意 , 考虑空间 . 由于 是紧空间, 存在有限个 中开集 , 使得 包含于 . 由于每一个 都是开箱子, . 令 , 则 . 当 跑遍 中的点时, 从上述方法构造出来的 构成了 的开覆盖. 的紧性保证了存在 使得它们覆盖 . 根据构造, 每个 被有限个 中元素盖住, 由于只有有限个 , 可以被有限个 中元素盖住.

上述命题中使用的方法也可以推出下面的 “管引理”. 由于它偶尔会被使用, 我们将它单独拿出来陈述.

命题 6.1.7 (管引理)., 为拓扑空间. 设 , 为紧子空间. 设 的一个包含 的开集. 则存在 的开集 , 的开集 , 使得

, , 以及

.

管引理的证明留作习题. 它的一个直接应用是下述命题.

命题 6.1.8 (紧 Hausdorff 空间的正规性). 为紧 Hausdorff 空间. 则对任何两个互不相交的闭子空间 , , 存在包含 的开子集 , 包含 的开子集 , 使得 .

证明. 考虑积空间 的子空间 . 则 Hausdorff 性质说明 的开子集 (命题 2.5.2). 根据管引理 (命题 6.1.7), 存在开箱子 满足翻译成 上子集的语言就完成了证明.

6.2紧性的简单应用

系 6.2.1 (Heine–Borel). 为空间 的子空间. 则 紧的必要且充分条件是 是一个有界闭集.

证明. 有界闭, 则它包含于某个充分大的方体 之中. 由于后者紧 (例 6.1.1, 命题 6.1.6), 我们可以通过使用命题 6.1.5 而取胜.

反之, 如果 紧, 那么它的开覆盖 有有限覆盖, 我们获得了包含关系 , 因此它有界. 它是闭集, 因为 为 Hausdorff 空间 (命题 6.1.3).

例 6.2.2. 球面 , 圆盘 , 正交群 , 酉群 都是紧空间, 因为它们都是某 Euclid 空间中的有界闭集. 实和复射影空间是球面的商空间, 从而是紧空间的连续像, 因此它们是紧空间.

例 6.2.3 (代数基本定理). 作为紧性的一个应用, 我们来证明代数基本定理. 设 为多项式. 则它定义了一个映射 . 我们要证明存在 , 使得 .

我们断言, 诱导了一个连续映射 . 首先, 我们回忆射影空间的粘贴构造, 在这个构造里, 是两片开集 的并, 其中 , . 多项式 自然地是一个 的映射. 如果 (), 我们定义 . 则映射 上相等. 于是根据粘贴引理, 命题 1.5.6, 我们得到了一个良好定义的映射 .

由于 是开映射 (习题 1.6.7/5), 是开映射. 于是 的开子空间; 由于 是紧 Hausdorff 空间, 的闭子空间 (命题 6.1.4). 于是 是连通空间 的既开又闭又非空子集, 因此 .

于是 . 容易验证, , 故存在 , 使得 , 即 . 这就证明了代数基本定理.

接下来介绍一个关于紧度量空间的性质. 我们在今后将会不时用到这个它.

命题 6.2.4 (Lebesgue 数引理). 为紧度量空间. 令 的一个开覆盖. 则存在 , 使得对任何 , 存在 , 使得 .

证明. 由于 紧, 无妨设 只有有限个成员. 对任意 , 令 . 令 . 则 为连续函数. 由于 紧, 紧, 因此它是 的有界闭集. 令 . 对任意 , 我们有 , 即 对某个 成立. 于是 .

6.3紧开拓扑

为拓扑空间. 令 为一切从 的连续映射的全体构成的集合. 在这一小节, 我们利用紧性来定义集合 上的一个拓扑, 叫做紧开拓扑 (compact-open topology). 紧开拓扑是由一组拓扑子基生成的, 这个子基中的元素形如其中 的紧子空间, 的开子空间.

今后, 凡是将 看作拓扑空间, 如果未加申明, 总赋予它紧开拓扑. 空间 有时也被称为函数空间.

我们列举几个紧开拓扑的基本性质.

1.

如果 是离散空间, 那么 的紧开拓扑与乘积空间 的积拓扑一致.

2.

空间 可以嵌入到 中: 将 送到常值映射 是从 的嵌入. 事实上, 我们有 , 因此 是连续单射; 并且一切 的开集都可以如此得到, 因此 是嵌入.

3.

函数空间 为 Hausdorff 的必要且充分条件是 为 Hausdorff 空间. 事实上, 如果 为两个不同的连续映射, 必然存在 , 使得 . 由于 Hausdorff, 存在 的邻域 , 的邻域 , 使得 . 于是我们有反之, 如果 Hausdorff, 通过嵌入 我们可以将 实现为 的子空间. 因此 也 Hausdorff.

4.

如果 的拓扑是由一个度量 诱导的, 那么 的紧开拓扑的一个拓扑基是其中 跑遍 的紧子空间. 在这个拓扑下, 序列 收敛到 的意思是: 对任何的 的紧子空间 , 函数 一致收敛于 . 因此, 紧开拓扑在这个情形也被叫做紧收敛拓扑 (compact convergence topology).

函数空间 的子空间的紧性的刻画在分析中颇为有用. 比较常见的是 Arzela–Ascoli 定理: 如果 是度量空间, 的子空间, 假设 “等度连续”2, 并且对一切 , 空间 中有紧的闭包, 那么 中有紧的闭包. 在我们的课程中不会使用这个定理. 因此我们略去它的证明.

相比于函数空间的紧性, 它的连通性在这门课程中更为重要.

例 6.3.1. 作为一个导引, 我们来说明对任何拓扑空间 , 函数空间 都是道路连通的. 事实上, 对任意的 , 定义为了说明 连续, 我们要验证 的开集. 展开定义, 它等于

对任意 , 积空间 有一个紧子集 . 根据实数数乘的连续性, 集合是空间 的一个包含了 的开集. 根据管引理, 命题 6.1.7, 存在 的邻域 使得 . 这就证明了 是开集.

的开子集 叫做星形区域 (star-shape region) 如果存在 , 使得对一切 , 连结 的线段也落在 中. 比如 中的凸开集就是星形区域. 上一段论证对一切 的星形区域都成立.

6.4环绕数

在这一段里, 我们考虑函数空间 . 我们将说明这个拓扑空间不是连通的. 因此, 根据例 6.3.1, 不同胚.

为此, 我们将构造一个 上的一个局部常值函数, 但它不是常值. 这个函数叫做映射 环绕数 (winding number). 定义环绕数的方法很多, 我们使用微积分的方法.

首先, 我们对可微映射 来定义 (关于原点的) 环绕数. 我们说 是可微的, 如果复合映射的每个分量都可以扩张成可微的周期函数, 这里, 是粘合 的商映射.

对可微的 , 我们定义(路径积分).

如果 不是可微的, 我们用逼近的手段来定义 的环绕数.

定义 6.4.1. 我们称两个映射 叫做 “非常接近” 的, 如果存在正整数 , 的分划以及 的凸开集 , 使得“非常接近” 生成了一个等价关系, 等价的道路叫做 “接近” 的.

类似于例 6.3.1中的论证, 我们知道如果 非常接近, 那么映射就是一个 中连结 的道路.

我们对不一定可微的映射 , 定义它的环绕数为 , 其中 是一个与 接近的可微映射. 为了说明这个定义有意义, 需要验证两件事:

存在与 接近的可微映射;

互相接近的可微映射有一样的环绕数.

上述第一款可以用微积分课程中学到的逼近定理予以证明. 为了今后方便, 我们将证明稍微强一点的结论.

命题 6.4.2. 为连续映射. 设 上一点. 则存在与 非常接近的可微的映射 , 满足 .

而第二款则是因为环绕数的一个特别性质.

命题 6.4.3. 对任何可微映射 , 是整数.

如果承认命题 6.4.3, 那么对两条非常接近的可微映射 , , 数值一方面是整数, 另一方面按公式看又是 的连续函数, 它只能是常数.

这样就完成了对任何映射 的环绕数的定义. 按照定义, 对任何 , 环绕数在它的某个形如 的邻域上是常数. 因此我们得到了局部常值整值函数然而, 不是常值函数. 读者可以平凡地验证, 映射其中 , 的环绕数是 .

命题 6.4.2 的证明. 在这一段里, 我们将 上的连续函数等同于 上周期为 1 的连续函数.

我们先来回忆数学分析的内容. 考虑函数(“Fejér 核”). 由于 , 函数 决定了 上的一族可微函数. 运用分析学的知识, 可以验证 满足如下条件.

对一切 ,

存在常数 , 使得 对一切 成立.

对每个 ,

对连续函数 , 定义则根据分析的知识可以验证, 是可微函数, 并且对任何 , 存在 , 使得对 , 和一切 , 都有

现在回到我们的问题. 我们有一个回路 . 通过坐标, 可以将 写成 . 根据上述回忆, 对任意 , 我们可以找到 上的可微函数 , 满足对一切 成立. 由于 的紧子集, 根据 Lebesgue 数引理 (命题 6.2.4), 存在 , 使得 落在某个半径为 的开圆盘 中并且这些圆盘都与 不交. 按照 的选取, , 即 非常接近.

我们可以将 稍微平移一下, 使得 , 但是三角形不等式保证了新的 之间的距离不会超过 . 因此我们总可以保证 在点 处取值相等.

命题 6.4.3 的证明., , 则 . 定义 为点 正方向所构成的夹角, 辐角取在开区间 , 类似定义 . 可以写下来这些函数的公式, 比如 分段可微. 通过复合函数求导, . 读者可以类似处理 .

对任意可微映射 , 应用微积分基本定理, 有类似地, 对可微映射 , 有

利用 Lebesgue 数引理 (命题 6.2.4), 对任意道路 , 存在分割使得要么 , 要么 . 如果 是一条回路, 即 , 那么 的整数倍. 由此推出对可微映射 , 是整数.

6.4.4 (回路的极坐标表示). 为可微回路, 坐标表示为 . 定义则利用微分学可以验证(6.1)用中学数学的语言, 是可微回路 极坐标表示.

6.5局部紧空间

拓扑空间 叫做局部紧 (locally compact) 的, 如果对任何 , 存在 的邻域 , 使得 含于一个 的紧子空间中. 这个概念通常只对 Hausdorff 空间来定义, 因为这时这个概念的行为比较良好.

命题 6.5.1. 为 Hausdorff 空间. 则下面的陈述等价.

1.

局部紧;

2.

对任意 , 任意 的邻域 , 存在 的邻域 , 满足: 紧, ;

3.

对任意 的紧子空间 和任意包含 的开子空间 , 存在开集 , 满足: 紧, ;

4.

有一个拓扑基, 它的成员都是具紧闭包的开子集.

证明. (1) (2). 令 的邻域使得 包含于一个 的紧子空间中. 根据命题 6.1.5 和命题 6.1.3, 紧. 由于 是紧 Hausdorff 空间 的两个互不相交的的闭子空间, 由命题 6.1.8 知, 存在 的开子空间 , 使得并且 . 由于 , 我们有 . 故它是 的开子空间, 因而是 的开子空间. 同时, 上面的等式还推出即 (2) 成立.

(2) (3). 对每个 都选择一个 (2) 中的 . 利用有限覆盖性即得.

(2) (4). 取闭包为紧的开集即可.

(4) (1) 和 (3) (2) 为显然.

任何局部紧 Hausdorff 空间只需多添入一个点, 都可以变成紧 Hausdorff 空间— 这叫做局部紧 Hausdorff 空间的 Alexandrov 紧化. 见习题 6.8.9.

日常生活中遇到的许多空间都是局部紧的 Hausdorff 空间. 局部紧 Hausdorff 空间的子空间未必局部紧 (比如有理数空间 ), 但是它有一大类好的子空间仍然局部紧.

定义 6.5.2. 拓扑空间 的子空间 叫做局部闭 (locally closed) 的, 如果 形如 , 其中 的开集, 的闭集.

局部闭的两个等价刻画如下:

局部闭当且仅当对任意 , 存在 中的邻域 , 使得 的闭子集.

局部闭当且仅当 是它的闭包的开子空间.

命题 6.5.3. 局部紧 Hausdorff 空间的子空间是局部紧的当且仅当它是局部闭的.

证明. 首先假设 是局部紧 Hausdorff 空间 的局部闭子集. 假设 , 其中 的开集, 的闭集. 任取 . 根据命题 6.5.1, 存在 里的邻域 , 紧, 且由于 是闭集, 是紧空间 中闭集, 因此紧. 容易验证 中的闭包. 因此 就是 中的一个闭包为紧的邻域.

反之, 假设 局部紧. 则对任何 , 存在它在 中的邻域 , 使得 中的闭包 是紧的. 但 是 Hausdorff 空间, 从而是 中闭集 (命题 6.1.3). 于是 中闭集. 因此 局部闭.

流形是局部紧的.

射影空间 关于 Zariski 拓扑 (习题 3.8.6) 的局部闭子集叫做拟射影代数簇 (quasi-projective algebraic variety) 如果我们赋予一个拟射影代数簇来自 的标准拓扑 (而不是 Zariski 拓扑), 那么它是局部紧的 Hausdorff 空间.

6.6指数法则

在集合的范围内, 映射会诱导映射即存在典则的一一映射这称为指数法则 (exponential law). 我们希望在拓扑空间的范围内得到类似的结果, 以函数空间 替代乘积集合 . 拓扑的指数法只对一部分空间, 比如局部紧 Hausdorff 空间, 成立.

然而局部紧 Hausdorff 空间的全体对于其它重要的拓扑操作不封闭 (比如取商空间). 经过一系列努力, 现在已经知道了, 存在一类空间 (叫做 k-空间), 它们涵盖了所有同伦论意义下重要的拓扑空间, 满足指数法则, 且对重要的拓扑操作封闭. 只是对于 k-空间, 不仅空间的概念变化了, 函数空间的构造也发生了变化. 我们在这个启蒙课程中对这个问题不予讨论. 对此有兴趣的读者可以阅读 Ronnie Brown 的书 “Topology and groupoids” 的 5.9 节.

命题 6.6.1. 为拓扑空间. 令 为连续映射. 对任意 , 令 (显然 为连续映射). 则映射为连续映射.

证明. 的一个基本开集. 只需验证 的开集. 展开定义, , 则 包含了 . 根据管引理, 命题 6.1.7, 存在开箱子 包含 , 满足 . 于是 . 这就证明了 的开子集, 从而验证了 的连续性.

命题 6.6.2. 是局部紧 Hausdorff 空间. 则映射是连续映射.

证明., . 令 的邻域. 根据命题 6.5.1, 存在 的闭包为紧的邻域 , 满足因此 是一个包含 的开集, 并且 , 所以 连续.

系 6.6.3. 为拓扑空间, 局部紧 Hausdorff. 设 为连续映射, 则为连续映射.

证明. 题设中的映射为下列连续映射的复合因此连续.

系 6.6.4 (J. H. C. Whitehead). 为商映射, 为局部紧 Hausdorff 空间. 则乘积映射 为商映射.

证明. 为任意满足 连续的映射. 我们要证明 连续.

映射 诱导了连续映射 (命题 6.6.1). 对任何满足 的点 , 以及任意 , 我们有因此终拓扑的的泛性质 (命题 3.2.2) 给出了连续映射使得下图交换通过系 6.6.3, 我们知道映射连续. 命题因此得证.

6.7紧拓扑空间的无限乘积

这一小节证明 Andrey Nikolayevich Tikhonov 的著名定理: 一族紧拓扑空间的积空间仍然是紧的. 为此, 我们先陈述所谓的 Alexander 子基定理.

定理 6.7.1 (Alexander). 为拓扑空间. 的一个拓扑子基. 下列条件等价.

1.

紧.

2.

的成员, 且 , 那么一定存在 的有限子集 , 使得 .

假设 Alexander 子基定理, 我们来证明 Tikhonov 定理.

定理 6.7.2 (Tikhonov). 为一族紧拓扑空间, 则 是紧的.

证明., 为投影映射. 根据积拓扑的定义, 构成了 的拓扑子基 (它们叫做 “柱状开集”). 令 为一个由这些子基中的开集构成的集族, 它的成员覆盖了 . 根据 Alexander 子基定理, 定理 6.7.1, 我们只需要证明 有一个有限子覆盖.

为此, 我们使用反证法. 对任何 , 考虑投影映射我们断言, 一定存在 , 使得 不能被有限个 中元素覆盖. 事实上, 如果 能够被有限个柱状开集覆盖, 那么有两种可能:

1.

的邻域 , ,

2.

, 其中 为开集, .

对于第二种情形, 开集 已经覆盖了 , 见下图. 这是个矛盾. 如果对每个 , 第一种情况都发生了, 那么 中的柱状开集 构成了 的开覆盖. 但是由于 紧, 这个覆盖有有限子覆盖. 又产生了矛盾.

现在考虑通过上述步骤造出的点 . 则不存在任何柱状邻域包含它: 如果 包含 , 那么 就可以被一个柱状邻域覆盖, 矛盾.

为了证明 Alexander 子基定理, 我们顺便介绍 Zorn 引理和滤子的收敛.

定义 6.7.3. 为集合. 上的关系 叫做一个偏序 (partial order), 如果它是自反的和传递的 (见 §3.1), 并且满足

一个偏序集 (partially ordered set) 是一个偶对 , 其中 是集合, 上的一个偏序. 偏序集 的子集 叫做一条链 (chain), 如果对任意 , 要么 , 要么 .

为子集 上界 (upper bound), 如果 对一切 成立. 称 极大元 (maximal element), 如果不存在 , , 使得 .

命题 6.7.4 (Zorn 引理). 为偏序集. 如果 中任意的链都有上界, 那么 中存在极大元.

Zorn 引理在 Zermelo–Fraenkel 集合论中基本等价于选择公理. 在我们的教程中不予证明.

接下来我们介绍滤子的概念.

定义 6.7.5. 为集合. 的一个子集族 叫做 上的一个滤子 (filter), 如果它满足下面三个条件:

, , , 则 ;

, 则 ;

空集不属于 .

一个滤子 被称为超滤 (ultrafilter), 如果不存在滤子 , 使得 包含了 .

称拓扑空间 上的点 是滤子 极限, 或者滤子收敛, 如果任意 的邻域都是 的成员.

例 6.7.6. 是拓扑空间, 的子空间. 称 的子集 的 “广义邻域”, 如果存在开集 , 使得 . 则包含 的所有广义邻域构成了一个 上的滤子, 记为 .

如果 是一个无限集合, 那么有限集合的补集构成了 上的一个滤子. 这个滤子叫做 Fréchet 滤子.

如果 是集合 上的一个序列. 则 上的一个滤子. 若 是拓扑空间, 则序列 收敛于点 的必要且充分条件是 是滤子 的极限.

命题 6.7.7. 是集合 上的滤子. 则存在一个 上的超滤包含 .

证明. 我们应用 Zorn 引理来证明这个命题. 为此, 考虑集合用集合的包含关系赋予它偏序 . 如果 中的一条链, 那么可以验证 仍然是 上的滤子. 它于是是 的一个上界. 应用 Zorn 引理, 我们就得到了包含 的超滤的存在性.

命题 6.7.8. 是集合 上的超滤. 则对任何 的子集 , 要么 , 要么 .

证明. 假设 , 且 . 如果存在 , 使得 , , 那么 , , 于是 , 矛盾. 从而 之一与 中元都相交. 无妨设 满足这个性质. 如果 , 则我们可以构造出比 更大的滤子: 这就与 是超滤矛盾. 因此必然有 .

Alexander 子基定理是下述命题的推论.

命题 6.7.9. 为拓扑空间. 则下列条件等价.

1.

紧.

2.

对任何 的拓扑子基 , 任何 的成员构成的 的开覆盖都有有限子覆盖.

3.

上的超滤都收敛.

证明. (1) (2) 为显然.

(2) (3). 我们来证明 上的任何超滤 都收敛. 如果 不收敛, 那么任何 都有一个属于 的开邻域 不属于 (不然任何 中的有限交都属于 , 从而任意 的开邻域就都属于 , 从而 收敛于 ). 根据假设, 存在 , 使得于是其中 . 由于 是超滤, , 命题 6.7.8 说明 , 从而 , 矛盾.

(3) (1). 假设 上的超滤一定收敛. 我们来证明 是紧拓扑空间. 令 的开覆盖. 令 . 如果 没有有限子覆盖, 则对任意有限集 , 非空. 令 是一个滤子. 根据命题 6.7.7, 存在一个超滤 包含 . 根据题设, 具有极限 . 由于 是空间 的开覆盖, 存在 使得 . 因此根据收敛的定义, . 另一方面, 按照定义 . 因此空集属于 , 与滤子的定义矛盾.

6.8习题

6.8.1. 我们称拓扑空间 弱 Hausdorff 空间 (weakly Hausdorff space), 如果对任何紧 Hausdorff 空间 , 任意连续映射 , 中是闭集. 我们称拓扑空间 KC 空间, 如果 的紧子集是闭的.

1.

证明

2.

有两个原点的仿射直线 (例 3.5.2) 是 KC 空间吗?

6.8.2. 是紧 Hausdorff 空间, 是闭的商映射. 如果 的单点子空间是闭的, 证明 是 Hausdorff 空间.

6.8.3. 除非 , 上的 Zariski 拓扑都不是 Hausdorff 的. 但是它们是紧的.

6.8.4. 是一维连通流形, 并且 可以写成两个同胚于 的开集的并. 证明 要么同胚于 , 要么同胚于 . 由此证明紧连通一维流形一定同胚于 .

6.8.5. 证明如果 是 Hausdorff 空间, 那么第 6.3 节第 2 款中定义的嵌入是闭嵌入.

6.8.6 (序列紧性). 拓扑空间 叫做序列紧的, 如果 上的序列都有收敛子列 (习题 2.6.1).

1.

是第一可数 (习题 2.6.2) 的紧拓扑空间. 则 序列紧.

2.

如果 是序列紧的拓扑空间, 是一系列 的非空闭子空间. 则 .

3.

为拓扑空间. 设 满足如下条件: 对任何 的非空闭子空间的序列 , 有 . 设 的一个可数开覆盖, 证明存在 使得 .

4.

如果 是第二可数 (习题 2.6.3) 的拓扑空间, 并且它上面的序列都有收敛子列, 那么 是紧的.

6.8.7 (Brouwer 不动点定理).. 在这个习题中, 我们利用环绕数的性质来证明 Brouwer 不动点定理的二维情形: 任何连续映射 都有不动点.

1.

为连续映射. 令 . 证明 .

2.

证明不存在收缩 (习题 3.8.2) .

3.

为连续映射. 假设 没有不动点. 定义 为从 出发经过 的射线与 的交点. 证明 连续, 并且是到 的收缩. 这与上一款矛盾.

6.8.8. 是一个局部紧致的 Hausdorff 空间. 令 为一切从 的同胚构成的集合. 将 看作 子集, 赋予它子空间拓扑.

1.

证明映射的复合 是连续映射.

2.

假设 还是紧的. 证明取逆映射可以定义一个同胚 .

有兴趣的读者可以阅读 Jan J. Dijkstra 的文章 “On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology” (The American Mathematical Monthly, Vol. 112, No. 10 (Dec., 2005), pp. 910-912)

6.8.9 (参考 Munkres 定理 29.1). 为拓扑空间. 它的 Alexandrov 扩张 定义如下.

作为集合, , 其中 是一个点, 它不在 中.

定义 的子集为开集, 如果它是 的开集, 或者它形如 , 的紧的闭子集.

如此定义, 我们有显然的嵌入 .

1.

证明 是紧空间, 且自然的映射 是开嵌入.

2.

的单点集是闭的, 那么 也具有这个性质.

3.

为局部紧 Hausdorff 空间, 那么 是紧 Hausdorff 空间. 此时, 叫做 Alexandrov 紧化 (Alexandrov compactification), 或者一点紧化 (one-point compactification).

4.

的 Alexandrov 紧化同胚于 . 同胚于 中的闭包.

5.

证明 不是 Hausdorff 空间.

6.

证明 是 KC 空间 (习题 6.8.1).

6.8.10 (关于滤子的习题).

1.

为拓扑空间, 上的滤子. 如果 收敛于 , 则任何包含了 的滤子也收敛于 .

2.

为集合 的一个子集族. 证明是滤子的必要且充分条件是 满足下面两个性质:

对任意 , 存在 , 使得 ,

非空, 且不包含空集.

满足上面两条性质的 的子集族叫做 的一个滤子基 (filter basis).

3.

证明拓扑空间 为 Hausdorff 空间的必要且充分条件是任何它上面的滤子都至多有一个极限.

4.

证明拓扑空间 为紧的必要且充分条件是, 对任何滤子 , 都存在滤子 , 收敛, 并且 . (包含 的滤子的极限叫做 凝聚点 (cluster point).)

6.8.11 (滤子定义的拓扑). 为集合. 上的一个滤子. 令 是集合 与单点集合 的不交并. 令 .

1.

证明