2. 拓扑空间与连续映射 (II)

2.1积空间

在这一节中, 我们从两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 出发, 构造它们笛卡儿积 $X\times Y$ 上的一个拓扑. 在定义结束之后我们就能够说 ${\mathbb{R}}^2$ 的标准拓扑就是 $\mathbb{R}$ 与自己的 “笛卡儿积” 上的积拓扑.

令 $X$ 与 $Y$ 为拓扑空间. 设 $U$ 是 $X$ 的开集, $V$ 是 $Y$ 的开集. 如果我们希望在 $X\times Y$ 上定义拓扑, 自然而然地我们希望 $U\times V$ 应该是这个拓扑的开集. 但是有一点微妙的地方应该注意, 子集族$$\{U\times V:U\text{ 是 }X\text{ 的开集},V\text{ 是 }Y\text{ 的开集}\}$$不能构成一个拓扑. 如果我们直观地将形如 $U\times V$ 的子集叫做 “开箱子 (openbox)”¹ 的话, 那么开箱子的并不一定是开箱子 (图 1).

图 1: 开箱子的并不是开箱子, 但交是

为了弥补这一点, 我们强行定义积拓扑的开集为一堆开箱子的并. 即: $W\subset X\times Y$ 为开, 如果存在一族 $X$ 的开集 $(U_i{)}_{I\in I}$, 一族 $Y$ 的开集 $(V_i{)}_{I\in I}$, 使得 $W={\bigcup }_{i\in I}{U}_i\times V_i$.

按照这个定义, 开集的并一定是开集. 我们来验证两个开集的交是开集: 设$$\begin{array}{rl}W& =\bigcup _{i\in I}{U}_i\times V_i,\\ W^{\prime }& =\bigcup _{j\in J}{U}_j^{\prime }\times V_j^{\prime }.\end{array}$$则$$W\cap W^{\prime }=\bigcup _{(i,j)\in I\times J}\left(U_i\cap U_j^{\prime }\right)\times \left(V_i\cap V_j^{\prime }\right)$$仍然是开箱子的并.

我们约定, 今后若无特别申明, 若 $X$, $Y$ 为拓扑空间, 记号 $X\times Y$ 总代表笛卡儿积上的积拓扑, 并称它为积空间.

积空间 $X\times Y$ 上有两个自然的投影映射这两个映射都是连续的. 它们满足如下泛性质.

命题 2.1.1 (积空间的泛性质). 令 $X$, $Y$, $Z$ 为拓扑空间. 令 $p_X:Z\to X$, $p_Y:Z\to Y$ 为连续映射. 则存在唯一连续映射 $p:Z\to X\times Y$, 使得 $p_X={\mathrm{pr}}_X\circ p$ 与 $p_Y={\mathrm{pr}}_Y\circ p$ 成立.

证明. 定义 $p(z)=(p_X(z),p_Y(z))$. 为了证明 $p$ 连续, 只需证明 $p^{-1}(U\times V)$ 为开集, 其中 $U$ 是 $X$ 的开集, $V$ 是 $Y$ 的开集. 今有$$p^{-1}(U\times V)=p_X^{-1}(U)\cap p_Y^{-1}(V).$$因 $p_X$, $p_Y$ 连续, $p_X^{-1}(U)$ 及 $p_Y^{-1}(V)$ 为开. 因此 $p_X^{-1}(U)\cap p_Y^{-1}(V)$, 为开.

映射 $p$ 只能如上述定义: 条件 $p_X={\mathrm{pr}}_X\circ p$ 迫使 $p(z)$ 的第一分量为 $p_X(z)$, 第二分量同理.

$■$

2.1.2 (抽象的废话). 设 $X$, $Y$ 和 $Z$ 是三个拓扑空间. 按照上面的操作, 我们可以定义 $(X\times Y)\times Z$ 以及 $X\times (Y\times Z)$ 上面的积拓扑. 我们一定会默许地认为这两个空间是 “显然地” 同胚的. 我们也可以按照上面的构造, 定义三个空间的积空间 $X\times Y\times Z$, 并且认为 $(X\times Y)\times Z$ 以及 $X\times (Y\times Z)$ 都 “显然地” 与 $X\times Y\times Z$ 同胚. 在数学里, 我们常常会碰到这样 “平凡” 的问题. 而使用 “泛性质” 则能够让我们不必分析具体的构造而断言 “平凡” 的问题有确定的回答.

具体到上述问题, 我们来考虑一个大交换图在这个图里, ${\rm Y}$, $\Phi$ 与 $\Psi$ 都是由泛性质诱导的. 通过 “图上追踪”, 我们能够验证 ${\mathrm{pr}}_{\bullet }\circ \Phi \circ \Psi ={\mathrm{pr}}_{\bullet }$, 对 $\bullet =X,Y,Z$ 都成立. 因此由 $X\times Y\times Z$ 的泛性质的唯一性, 我们知道必有 $\Phi \circ \Psi ={\mathrm{Id}}_{X\times Y\times Z}$. 类似可以验证 $\Psi \circ \Phi ={\mathrm{Id}}_{(X\times Y)\times Z}$.

${}^{\star }$ 在这个论证过程中, “什么严肃的数学都没有发生”, 我们不需要进行思考. 因此这样的论证叫做 “抽象的废话”. 关于抽象废话的标准教材是 S. Mac Lane 的书 “数学工作者必知的范畴学”. ${}_{\star }$

2.2基与子基

在积拓扑的构造中, 开箱子起到了决定性的作用. 使用一些具有特别特性的集合来构造开集在拓扑中十分常见. 我们因此从中抽出一个特别的概念: 拓扑基.

令 $X$ 为集合. 令 $\mathcal{B}$ 为 $X$ 的一个子集族. 我们称 $\mathcal{B}$ 是 $X$ 上的一个拓扑基, 如果它满足如下属性:

$\diamond$	对任何 $x\in X$, 存在 $U\in \mathcal{B}$, 使得 $x\in U$.
$\diamond$	若 $U,V\in \mathcal{B}$, 则存在一族 $\mathcal{B}$ 中元素 $(W_i{)}_{i\in I}$, 使得 $U\cap V={\bigcup }_{i\in I}{W}_i$.

比如, 在积拓扑的定义中, 开箱子的全体虽然不构成拓扑, 但构成了一个拓扑基.

如果 $X$ 是一个集合, $\mathcal{B}$ 是 $X$ 上的一个拓扑基, 我们定义由 $\mathcal{B}$ 决定的拓扑如下: $X$ 的子集 $W$ 叫做开集, 如果它是 $\mathcal{B}$ 中一族元素的并. 按照定义, 开集的并是开集; 拓扑基定义的第一条性质保证了 $X$ 是开集; 取 $I=\varnothing$, 我们知道空集是开集. 最后, 拓扑基定义的第二个条件保证了两个开集的交也是开集, 事实上, 如果 $W={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$, $W^{\prime }={\bigcup }_{j\in J}{V}_j$, $U_i\cap V_j={\bigcup }_{k\in K}{W}_{ij,k}$, 其中 $U_i,V_j,W_{ij,k}\in \mathcal{B}$, 则$$W\cap W^{\prime }=\bigcup _{(i,j,k)\in I\times J\times K}{W}_{ij,k}.$$是开集.

如果 $(X,\mathcal{T})$ 是一个拓扑空间, $\mathcal{B}$ 是 $X$ 的一个拓扑基. 如果 $\mathcal{B}$ 决定的拓扑就是 $\mathcal{T}$, 那么我们就说 $\mathcal{B}$ 生成了 $\mathcal{T}$.

例 2.2.1.  

1.	开箱子生成了两个空间的积拓扑.
2.	如果 $X$ 是度量空间, 那么 $X$ 的一切开球 $\{B(x;ϵ):x\in X,ϵ\in {\mathbb{R}}_{>0}\}$ 生成了度量拓扑. 事实上, 选择 $ϵ\in \mathbb{Q}$ 便足矣.
3.	若 $\mathcal{S}$ 是 $X$ 一族子集. 令$${\mathcal{B}}_{\mathcal{S}}=\left\{\bigcap _{i\in I}{U}_i:I\text{ 有限},U_i\in \mathcal{S}\right\}.$$根据集合相交的约定, ${\bigcap }_{A\in \varnothing }A=X$, ${\mathcal{B}}_{\mathcal{S}}$ 是 $X$ 上的一个拓扑基. 我们称 $\mathcal{S}$ 是 $X$ 的一个拓扑子基. 注意, 任何 $X$ 的子集族都可以看作某个拓扑的子基.

命题 2.2.2. 令 $f:X\to Y$ 为拓扑空间之间的一个映射. $\mathcal{S}$ 是 $Y$ 的拓扑的一个子基. 则 $f$ 为连续的必要且充分条件是对任何 $U\in \mathcal{S}$, $f^{-1}(U)$ 是开集.

$■$

2.3始拓扑

令 $X$ 是集合, $(X_i{)}_{i\in I}$ 是一族拓扑空间, $(f_i:X\to X_i{)}_{i\in I}$ 是一族映射. 定义$$\mathcal{S}=\{f_i^{-1}(U):U\subset X_i\text{ 开集},i\in I\}.$$以 $\mathcal{S}$ 为子基生成的拓扑叫做集合 $\mathbf{X}$ 关于映射 $({\mathbf{f}}_{\mathbf{i}}{)}_{\mathbf{i}\in \mathbf{I}}$ 的始拓扑.

命题 2.3.1. 记号如上. 赋予 $X$ 始拓扑. 则对任何拓扑空间 $T$, 任何映射 $g:T\to X$, $g$ 连续的必要且充分条件是对任何 $i\in I$, $f_i\circ g$ 是连续映射.

这是命题 2.2.2 的直接推论. 令 $T=X$, $g={\mathrm{Id}}_X$, 我们可以说 $X$ 的始拓扑是令 $f_i$ 都连续的最粗的拓扑.

使用始拓扑可以很方便地定义任意多个空间的积拓扑. 设 $(X_i{)}_{i\in I}$ 是一族拓扑空间. 我们定义 ${\prod }_{i\in I}{X}_i$ 的积拓扑为投影映射 ${\mathrm{pr}}_j:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to X_j$ 的始拓扑. 于是命题 2.3.1 推出如下积拓扑的泛性质.

命题 2.3.2. 令 $(X_i{)}_{i\in I}$ 为一族拓扑空间. 赋予 ${\prod }_{i\in I}{X}_i$ 积拓扑. 令 $(p_i:Z\to X_i{)}_{i\in I}$ 为一族连续映射. 则存在唯一连续映射 $p:Z\to {\prod }_{i\in I}{X}_i$, 使得 $p_i={\mathrm{pr}}_i\circ p$. 这映射 $p$ 通常用记号 ${\prod }_{i\in I}{p}_i$ 来代表.

今后, 除非特别申明, 但凡使用记号 $\prod X_i$, 我们总是使用积拓扑.

注意, 如果我们展开始拓扑的定义, 那么积拓扑的一组基是一种特殊的开箱子:$$\prod _{i\in I}{U}_i,$$其中 $U_i\subset X_i$ 是开集, 但是只有有限个 $U_i$ 不等于 $X_i$. 我们把这样的开箱子叫做 “好箱子”. 只选择好箱子做基而抛弃了其它箱子似乎不太自然. 但是命题 2.3.2 告诉我们实际上如果我们希望乘积映射 $p(z)={\prod }_{i\in I}{p}_i(z)$ 对任何 $p_i$ 都连续的话, 我们只能使用好开箱子做基.

使用一切开箱子做基也决定了一个拓扑, 叫做 “箱拓扑”. 箱拓扑是一般拓扑学里常见的反例, 但是对于我们的课程并不重要.

2.4空间上的空间

令 $B$ 为一个拓扑空间. 一个 $\mathbf{B}$ 上的空间 (space over $\mathbf{B}$), 或 $\mathbf{B}$-空间 ($\mathbf{B}$-space), 是指偶对 $(X,p)$, 其中 $X$ 为拓扑空间, $p:X\to B$ 为一个连续映射.

我们可以想象一个 $B$-空间为一族空间 $(X_b{)}_{b\in B}$, 其中 $X_b=p^{-1}(b)$ (叫做点 $b$ 的纤维 (fiber)), 并且 $X_b$ “随着 $b$ 连续变化” (图 2).

图 2: 一族连续变化的椭圆

采取此观点时, 一般习惯性将 $B$ 叫做底空间 (base space), $X$ 叫做全空间 (total space), 并且我们在黑板上一般用竖着的箭头来表示.

例 2.4.1 (平凡 $B$-空间). 令 $F$ 为任一拓扑空间. 则积空间 ${\mathrm{pr}}_B:B\times F\to B$ 可以看作一个 $B$-空间. 同胚于积空间的 $B$-空间叫做平凡 $\mathbf{B}$-空间. 平凡 $B$-空间的特点是所有的纤维都是 $F$, 并且它们的 “相对位置” 没有产生变化.

例 2.4.2 (Möbius 带). 图 3 描述了著名的 Möbius 带 $M$.

图 3: Möbius 带

即使我们没有明显地写出它在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的方程 ², 读者应该能够想象出它的子空间拓扑结构. 图中的黑线是一个与 ${\mathbb{S}}^1$ 同胚的空间. 将 $M$ 上一个点 “沿着竖线移动” 可以定义出一个从 $M$ 到 ${\mathbb{S}}^1$ 的连续映射. 映射 $\pi :M\to {\mathbb{S}}^1$ 的任何一个纤维都同胚于闭区间 $\mathbf{I}$, 但是我们今后会证明, $M$ 不同胚于 $\mathbf{I}\times {\mathbb{S}}^1$, 也就是说 $M$ 不是一个平凡的 ${\mathbb{S}}^1$-空间.

例 2.4.3. 令 $B={\mathbb{C}}^n$, 令$$X=\{(x,a_1,\dots ,a_n)\in \mathbb{C}\times B:x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n=0\},$$以及令 $p(x,a)=a$. 则 $(X,p)$ 是一个 $B$-空间. 对于 $a\in B$, $X_a$ 是多项式$$f_a(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$$的根的全体. 因此, $(X,p)$ 这个 $B$-空间 “描述了” 当参数 $a$ “连续变化” 时, $f_a$ 的根如何随着 $a$ 相应地变化.

如果 $(X,p)$, $(X^{\prime },p^{\prime })$ 是两个 $B$-空间. 一个从 $(X,p)$ 到 $(X^{\prime },p^{\prime })$ 的 连续 $\mathbf{B}$-映射是指一个连续映射 $f:X\to X^{\prime }$, 满足 $p^{\prime }\circ f=p$. 因此, 连续 $B$-映射恰好是那些保持纤维 (即把 $X_b$ 映入 $X_b^{\prime }$) 的连续映射.

如果 $(X_i,p_i{)}_{i\in I}$ 是一族 $B$-空间. 则我们定义 $X_i$ 关于 $B$ 的纤维积 (fiber product) 如下. 作为集合, 它是$$\prod _{i\in I}{}_{{}_B}(X_i,p_i)=\left\{(b,(x_i){}_{i\in I})\in B\times \left(\prod _{i\in I}{X}_i\right):p_i(x_i)=b,\forall i\in I\right\}.$$令 ${\mathrm{pr}}_{B,i}$ 为 ${\mathrm{pr}}_i:B\times {\prod }_i{X}_i\to X_i$ 在子集 $\prod _{i\in I}{}_B(X_i,p_i)$ 的限制. 我们赋予$$\prod _{i\in I}{}_{{}_B}(X_i,p_i)$$关于 ${\mathrm{pr}}_{B,i}$ 的始拓扑.

注意. 记号$$\prod _{i\in I}{}_{{}_B}(X_i,p_i)$$过于繁琐, 在没有歧义时, 我们通常只使用记号$$\prod _{i\in I}{}_{{}_B}{X}_i.$$两个 $B$-空间 $(X,p)$, $(Y,q)$ 的纤维积通常用记号 $X{\times }_{p,B,q}Y$, 或者更简略的 $X{\times }_{B}Y$ 来表示.

如果我们把每个 $(X_i,p_i)$ 看作 “一族由 $B$ 参数化的连续变化的空间” $(X_{i,b}{)}_{b\in B}$, 那么纤维积则对应了 “逐个纤维取积空间” $({\prod }_{i\in I}{X}_{i,b}{)}_{b\in B}$.

命题 2.4.4 (纤维积的泛性质). 令 $(X_i,p_i){}_{i\in I}$ 为一族 $B$-空间. 令 $(f_i:(Y,q)\to (X_i,p_i))$ 为一族连续 $B$-映射. 则存在唯一的连续 $B$-映射$$f:(Y,q)\to \left(\prod _i{}_{{}_B}{X}_i,{\mathrm{pr}}_B\right)$$使得 ${\mathrm{pr}}_i\circ f=f_i$.

$■$

当 $B$ 是一个点的时候, 纤维积就是通常的积空间.

如果 $(X,p)$ 是一个 $B$-空间, 那么 ${\mathrm{Id}}_X:X\to X$ 就诱导了连续 $B$-映射 ${\Delta }_{X/B}:X\to X{\times }_{B}X$这个映射被形象地叫做对角线映射 (diagonal map).

设 $(X,p)$ 是一个 $B$-空间. 设 $f:B^{\prime }\to B$ 是另一个 $B$-空间. 令 $X^{\prime }=X{\times }_B{B}^{\prime }$. 则我们有如下交换图:注意, 如果 $f(b^{\prime })=b$, 则有 $X_{b^{\prime }}^{\prime }=X_b$. 因此, 如果我们将 $X^{\prime }$ 看作 $B^{\prime }$-空间, $X^{\prime }$ 叫做 $B$-空间 $(X,p)$ (通过 $f$) 的底变换 (base change).

2.5Hausdorff 空间

我们一直在讨论空间和映射的定义. 现在我们来介绍一个 “拓扑性质”. 我们称一个拓扑空间 $X$ 是 Hausdorff 空间, 如果对任何 $X$ 上的两个不同点 $x,y$, 存在 $x$ 的邻域 $U$, $y$ 的邻域 $V$, 使得 $U\cap V=\varnothing$.

读者应该能够验证下面的断言.

命题 2.5.1.  

1.	Hausdorff 空间的单点子空间都是闭集.
2.	与 Hausdorff 空间同胚的空间是 Hausdorff 的.
3.	度量空间是 Hausdorff 空间.
4.	离散空间是 Hausdorff 空间.
5.	Hausdorff 空间的子空间也是 Hausdorff 空间.
6.	Sierpiński 空间不是 Hausdorff 空间.

命题 2.5.2. 设 $X$ 为拓扑空间. 则 $X$ 为 Hausdorff 当且仅当对角线映射$$\Delta :X\to X\times X$$的像是 $X\times X$ 的闭子集.

$■$

命题 2.5.3. 令 $f_0,f_1:X_1\rightrightarrows X_0$ 为连续映射. 设 $X_0$ 为 Hausdorff 空间. 则$$\{x\in X_1:f_0(x)=f_1(x)\}$$是 $X_1$ 的闭子集.

证明. 连续映射 $f_0,f_1$ 诱导了连续映射$$f_0\times f_1:X_1\to X_0\times X_0$$(命题 2.1.1) 集合 $\{x\in X_1:f_0(x)=f_1(x)\}$ 是 $X_0\times X_0$ 中对角线在 $f_0\times f_1$ 下的逆像. 由于对角线在 $X_0\times X_0$ 闭 (命题 2.5.2), 它在 $f_0\times f_1$ 下的逆像 $\{x\in X_1:f_0(x)=f_1(x)\}$ 也是闭集.

$■$

本节所学概念与例子

• 积拓扑 product topology
• 拓扑基 basis for a topology
• 拓扑子基 subbasis
• 始拓扑 initial topology
• $B$-空间 $B$-space
• 纤维 fiber
• Möbius 带
• 纤维积 fiber product
• 底变换 base change
• 对角线映射 diagonal map
• Hausdorff 空间 Hausdorff space

2.6习题

2.6.1 (序列的极限). 令 $X$ 为拓扑空间. 令 $\{x_n\}{}_{n\in \mathbb{N}}$ 是 $X$ 中的一列点. 我们称 $x_n$ 收敛于 $x$ (或者 $x$ 是 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 的一个极限), 记做 $x_n\to x$, 如果对任何 $x$ 的邻域 $U$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得 $n\ge N\Rightarrow x_n\in U$.

1.	举例说明在一般的拓扑空间中, 一个序列可以有多于一个极限.
2.	证明在 Hausdorff 空间中, 序列的极限有至多一个极限.

2.6.2 (第一可数空间). 拓扑空间 $X$ 叫做 第一可数 (first countable), 如果下述性质成立: 对任何 $p\in X$, 存在一族 $p$ 的邻域 $\{U_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, 使得任何 $p$ 的邻域 $U$ 都包含某个 $U_n$.

1.	证明度量空间是第一可数的.
2.	设 $X$ 为第一可数, $f:X\to Y$ 为拓扑空间之间映射. 证明 $f$ 连续的必要充分条件是: 对任意 $x\in X$, 任意收敛于 $x$ 的 $X$ 上序列 $\{x_n\}$, 都有 $f(x_n)\to f(x)$.

2.6.3 (第二可数空间). 一个拓扑空间 $X$ 叫做第二可数 (second countable) 的, 如果它有一个拓扑基 $\mathcal{B}$, 且 $\mathcal{B}$ 是个可数集合.

1.	判断下列空间是否第二可数 1. 度量空间, 2. 具有可数稠密子集的度量空间. 3. 第二可数空间的可数乘积. 4. 积空间 ${\mathbb{R}}^I={\prod }_{i\in I}\mathbb{R}$, 其中 $I$ 不可数. $\boxed{†}$ 5. 第二可数空间的子空间.
2.	证明下述 Lindelöf 定理: 若 $X$ 第二可数, $(U_i){}_{i\in I}$ 是 $X$ 的开覆盖, 则存在 $I$ 的可数子集 $J$, 使得 $X={\bigcup }_{j\in J}{U}_j$.

2.6.4 (非分歧映射). 连续映射 $f:X\to Y$ 叫做非分歧的 (unramified map), 如果对任意 $x\in X$, 都存在它的邻域 $U$, 使得 $f{|}_U$ 是单射.

1.	若 $f$ 非分歧, 则对任意 $y\in Y$, $f^{-1}(y)$ 是 $X$ 的离散子空间.
2.	映射 $t\mapsto t^2:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 有离散的纤维, 但它不是非分歧的.
3.	$f$ 为非分歧的必要且充分条件是对角映射 $\Delta :X\to X{\times }_{Y}X$ 是开嵌入.

2.6.5 (局部同胚). 连续映射 $f:X\to Y$ 叫做局部同胚 (local homeomorphism) (或 平展映射 (étale map)), 如果任何 $x\in X$ 都有邻域 $U$, 使得 $f(U)$ 是 $Y$ 的开子空间, 且 $f{|}_U:U\to f(U)$ 是同胚.

1.	局部同胚是开映射.
2.	令 $U$ 与 $V$ 都是 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集. 令 $f:U\to V$ 为具有一具有处处可逆 Jacobi 的可微映射. 则反函数定理推出 $f$ 是局部同胚. $\boxed{†}$
3.	证明 $f:X\to Y$ 是局部同胚的必要且充分条件是 $f$ 是非分歧的开映射 (见 1.6.7, 2.6.4). 我们将在习题 5.8.3 提供一个不是局部同胚的非分歧满射的例子.

2.6.6 (分离映射). 连续映射 $f:X\to Y$ 叫做分离映射 (separated map), 如果对角线映射 ${\Delta }_{X/Y}:X\to X{\times }_{Y}X$ 是闭嵌入. 特别地, 如果 $Y$ 是单点集合, 那么 $X\to Y$ 分离当且仅当 $X$ 为 Hausdorff 空间.

1.	证明下列断言等价. 1. $f:X\to Y$ 为分离映射. 2. 对任何两个从拓扑空间 $W$ 映入 $X$ 的满足条件 $f\circ g_1=f\circ g_2$ 的连续映射 $g_1,g_2$, $W$ 的子空间$$\{w\in W:g_1(w)=g_2(w)\}$$是 $W$ 的闭子空间. 3. 对任意的两个 $X$ 上的满足 $f(x_1)=f(x_2),x_1\ne x_2$ 的点 $x_1,x_2$, 存在 $x_1$ 在 $X$ 中的邻域 $V_1$, $x_2$ 在 $X$ 中的邻域 $V_2$, 满足 $V_1\cap V_2=\varnothing$.
2.	设 $f:X\to Y$ 以及 $g:Y\to Z$ 是两个连续映射. 1. 若 $f$, $g$ 都分离, 则 $g\circ f$ 也分离. 2. 举例说明, 即使 $f$ 分离, $g\circ f$ 和 $g$ 也可以都不分离. 3. 若 $g\circ f$ 分离, 则 $f$ 分离. 4. 若 $g\circ f$ 分离, $g$ 是否一定分离?
3.	若 $(p_i:X_i\to B{)}_{i\in I}$ 是一族分离映射, 则典则映射 $\prod _{i\in I}{}_{{}_B}(X_i,p_i)\to B$ 是分离映射. 特别地, Hausdorff 空间的积空间是 Hausdorff 空间.
4.	若 $p:X\to B$ 是分离映射. 令 $B^{\prime }\to B$ 为连续映射, 则底变换 $p^{\prime }:X{\times }_B{B}^{\prime }\to B^{\prime }$ 是否一定是分离映射?
5.	若连续映射 $p:X\to B$ 的所有纤维都是 Hausdorff 空间, $p$ 是否一定分离?

2.6.7 (Zariski 拓扑). 集合 ${\mathbb{C}}^n$ 的子集 $Z$ 叫做 Zariski 闭集, 如果存在 $\mathbb{C}[x_1,\dots ,x_n]$ 中多项式 $(P_i){}_{i\in I}$, 使得 $Z=\{z\in {\mathbb{C}}^n:P_i(z)=0,\forall i\in I\}$. 如果 $U\subset {\mathbb{C}}^n$ 的补集是 Zariski 闭集, 那么我们称 $U$ 是 Zariski 开集.

1.	${\mathbb{C}}^n$ 的 Zariski 开集构成了一个拓扑, 称为 Zariski 拓扑.
2.	对于 $m<n$, 我们可以把 ${\mathbb{C}}^m$ 看作 ${\mathbb{C}}^n$ 的线性子空间. 验证 ${\mathbb{C}}^m$ 的 Zariski 拓扑与它从 ${\mathbb{C}}^n$ 那里继承的 Zariski 子空间拓扑是一样的.
3.	“俨开集 (distinguished open)” $U_f=\{x\in {\mathbb{C}}^n:f(x)\ne 0\}$, 其中 $f\in \mathbb{C}[x_1,\dots ,x_n]$, 构成了 ${\mathbb{C}}^n$ 上 Zariski 拓扑的一个拓扑基.
4.	令 $f_1,\dots ,f_m$ 为 $\mathbb{C}[x_1,\dots ,x_n]$ 中多项式. 证明映射$$(x_1,\dots ,x_n)\mapsto (f_1(x),\dots ,f_m(x)):{\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^m$$关于定义域和靶空间 Zariski 拓扑连续.
5.	${\mathbb{C}}^2$ 上的 Zariski 拓扑是否 $\mathbb{C}$ 的 Zariski 拓扑的积拓扑?

2.6.8 (H. Furstenberg 关于素数无限性的拓扑证明 ³). 对整数 $a,b$, 定义 $S(a,b)=\{an+b:n\in \mathbb{Z}\}$. 以 $S(a,b)$ 为子基决定的集合 $\mathbb{Z}$ 上的一个拓扑 $\mathcal{T}$.

1.	证明每个 $S(a,b)$ 关于拓扑 $\mathcal{T}$ 既开又闭.
2.	证明有限子集在拓扑 $\mathcal{T}$ 下非开.
3.	证明 $\mathbb{Z}\setminus \{\pm 1\}={\bigcup }_{p\text{ prime}}S(p,0)$. 由此推出有无限个素数.

2.6.9 (Hilbert 空间 ${\ell }^2(\mathbb{N})$). 令 ${\ell }^2(\mathbb{N})$ 为一切满足$$\sum _{n=0}^{\infty }|a(n){|}^2<\infty .$$的映射 $a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ 构成的集合.

1.	定义$$d(a,b)=\sqrt{\sum _{n\in \mathbb{N}}|a(n)-b(n){|}^2}.$$验证 $d$ 是 ${\ell }^2(\mathbb{N})$ 的度量.
2.	证明 $(\alpha ,a)\mapsto \alpha \cdot a:\mathbb{R}\times {\ell }^2(\mathbb{N})\to {\ell }^2(\mathbb{N})$ 与 $(a,b)\mapsto a+b:{\ell }^2(\mathbb{N})\times {\ell }^2(\mathbb{N})\to {\ell }^2(\mathbb{N})$ 是连续映射. [因此 ${\ell }^2(\mathbb{N})$ 是一个拓扑向量空间 (topological vector space).]
3.	证明 ${\ell }^2(\mathbb{N})$ 是第二可数 Hausdorff 空间.
4.	证明 Hilbert 方块 $I^{\infty }=\{a\in {\ell }^2(\mathbb{N}):|a(n)|\le 1/n\}$ 在 ${\ell }^2(\mathbb{N})$ 中内部为空.
5.	证明 $I^{\infty }$ 同胚于积空间 ${\prod }_{n\in \mathbb{N}}[0,1]$. $\boxed{†}$

脚注

1.	“开” 在这里是形容词, 不是动词.
2.	图 3 所画的 $M$ 是从 ${\mathbb{R}}^2$ 到 ${\mathbb{R}}^3$ 的映射$$x=(1+(0.5)u\cos (v/2))\cos (v),y=(1+0.5u\cos (v/2))\sin (v),z=0.5u\sin (u/2)$$的像. 黑色的 ${\mathbb{S}}^1$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 子空间 $u=0$ 的像.
3.	On the infinitude of primes. American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. 1955.