5. Grothendieck 构造

设有范畴间的函子 . 则对每个 , 可以考虑纤维 , 它是 的子范畴. 这是一种将 的对象映到范畴的操作. 我们可以问, 这种操作什么时候给出一个 的函子.

事实上, 如果 是某种 “纤维化” (具体见下文), 那么上述构造就能给出函子, 这就称为 Grothendieck 构造. 也就是说, 有如下的对应关系:

在开始之前, 我们先来看一个代数几何中的例子.

例 5.1. 为概形范畴. 对概形 , 记 上拟凝聚层范畴. 这给出了函子

仔细想想, 会发现这实际上并不是函子, 因为复合律只在相差自然同构的意义下成立, 即相差 -态射的意义下成立. 这样的 “函子” 称为 -函子.

我们可以对这个 -函子使用 Grothendieck 构造, 而得到一个 “纤维化”, 记为其于 上的纤维是范畴 . 事实上, 我们可以直接构造一个所有拟凝聚层的范畴 如下:

其对象为二元组 , 其中 是概形, 上的拟凝聚层.

的态射为二元组 , 其中 是概形态射, -模同态 , 或等价地说, -模同态 .

我们有遗忘函子 , 它就是我们想要构造的 “纤维化”. 这就是我们即将定义的推出纤维化的一个例子.

我们将研究以下四种纤维化, 它们对应于范畴到 的函子, 其中 表示群胚的范畴.

纤维化名称函子
左纤维化 群胚余纤维范畴
右纤维化 群胚纤维范畴
推出纤维化 余纤维范畴
拉回纤维化 纤维范畴

群胚纤维范畴

我们先来看左纤维化, 也就是群胚余纤维范畴. 此时, 对每个 , 纤维 应该是群胚; 对 中每个态射 , 应该有纤维间的转移映射 . 为了使这些转移映射能够定义, 我们需要映射 满足下列性质:

对象的转移: 对任何 , 及 中任何态射 , 其中 , 存在 中态射 , 使得 . 画成图表, 就是说有提升性质

态射的转移: 有唯一提升性质

不难看出, 如果满足了上述两条性质, 那么转移映射 就能良好定义, 并且在相差自然同构的意义下是唯一的. 这是因为, 我们可以先选择一种转移对象的方式, 然后态射的转移就能唯一确定.

以下定义是上述两条性质的重新叙述.

定义 5.2. 范畴间的函子 称为左纤维化, 如果它满足下列性质:

有提升性质

有唯一提升性质

其中, 记号 表示它们对应的普通范畴, 准确地说是 .

读者可以证明, 这一定义等价于前面所述的两条转移性质.

注 5.3. 第二条公理中的唯一性实际上是 的提升性质的推论. 因此, 在无穷范畴中, 提升的唯一性将会被高阶的提升性质取代.

在上述定义中, 若将映射 取成 处常值映射, 则可发现, 纤维 中的每个态射都有左逆, 从而 必为群胚.

上述讨论总结如下.

定理 5.4 (Grothendieck 构造). 为小范畴间的左纤维化. 则取 的纤维给出一个 -函子 . 反过来, 每个 -函子 都对应于一个左纤维化 .

证明. 只需再证明最后一句话. 该构造与例 5.1 的方法相同.

类似地, 函子 称为右纤维化, 若 为左纤维化. 在 Grothendieck 构造下, 右纤维化对应于 -函子 .

群胚纤维无穷范畴

接下来, 我们来对无穷范畴定义 Grothendieck 构造. 定义好之后, 我们就可以用它来证明, 对拟范畴 中的对象 , 有同伦等价

定义 5.5. 单纯集的映射 称为左纤维化, 如果对任何 , 都有提升性质

类似地, 称为右纤维化, 如果对任何 , 都有上述提升性质.

上述定义是普通范畴中相应概念的自然推广.

命题 5.6. 是单纯集. 那么, 映射 是左纤维化当且仅当 是 Kan 复形.

证明. 右边蕴涵左边是显然的, 我们来证明另一边. 设 是左纤维化. 则 是拟范畴, 且普通范畴 中, 每个态射都有左逆, 从而 是群胚. 由定理 4.4, 一定是 Kan 复形.

为单纯集, 记 俯范畴, 定义如下:

其对象为映射 .

的态射为一映射 , 使下图交换:

根据 Lurie [HTT] 的方法, 我们即将定义一对伴随函子其中 表示单纯集充实函子构成的 (普通) 范畴. 这对伴随函子将会具有以下性质:

函子 称为拉直 (straightening). 对于左纤维化而言, 该函子将给出其 Grothendieck 构造.

函子 称为还原 (unstraightening). 对于函子 , 也就是 , 该函子将给出反向 Grothendieck 构造.

在合适的模型结构下, 伴随函子对 将成为 Quillen 等价.

下面, 我们开始构造.

定义 5.7. 为单纯集. 其连结 (join) 为单纯集 , 其 维单形为其面映射和退化映射以自然的方式定义.

换言之, 就是向 添加所有可能的从 的箭头和高维箭头, 而得到的单纯集. 例如, 我们有

特别地, 对单纯集 , 我们分别定义 右锥左锥其中 是一个单点集, 点 称为锥顶点.

构造 5.8. 为单纯集间的映射. 我们如下定义函子, 定义其中, 单纯范畴 定义为

这一构造过程也可以描述如下: 首先, 在 的左边添加点 , 得到 . 接下来, 对每个 , 将纤维 压缩成一个点. 这样的到的范畴就是 , 它也就是将 拉直得到的范畴. 此时, 态射空间 保存了关于纤维 的信息, 因为它由所有从 的态射构成. 我们将看到, 如果 是左纤维化, 那么该态射空间就弱同伦等价于 .

构造 5.9. 为单纯范畴之间的函子. 我们来构造左纤维化从而 成为 的右伴随. 我们定义它带有到 的自然映射.

换言之, 其 维单形也就是 “从 的映射”, 但准确地说, 这里 应该换成其 Grothendieck 构造, 也就是 . 这解释了如此构造的原因.

由上述构造, 函子 确实构成伴随函子有时, 我们也会忽略下标 , 直接将这两个函子记为 .

例 5.10. 我们来考虑最简单的情况, 即 的情况. 此时, Grothendieck 构造将到 的纤维化对应于其纤维. 我们猜测, 对应关系应该将每个单纯集对应到与之等价的单纯集.

由定义, 我们有其中 是后者的第 个面 , 而 是在 中将第 个面 压缩成一个点而得到的单纯集; 我们将这个点记为 .

我们定义 中的余单纯对象 (即余单纯单纯集) 如下: 则伴随函子 在构造 3.8 的意义下由 给出. 经过仔细计算 (我们在此忽略, 见 [HTT, Remark 2.2.2.6]), 我们发现有拓扑空间的同胚并且它与两个余单纯对象的面映射相容 (但不与退化映射相容). 由此可以推出, 对任何 , 都有同胚从而 弱等价于 .

该计算也说明 保持余纤维化、平凡余纤维化, 从而 是 Quillen 等价.

对一般的 , 我们有如下结论:

定理 5.11. 范畴 具有协变模型结构 (covariant model structure), 其中

的成员是所有映射 , 使得诱导的映射是范畴等价.

.

.

纤维性对象为 上的左纤维化.

范畴 具有投射模型结构 (projective model structure), 其中

.

.

由提升性质确定.

在上述模型结构下, 伴随函子对是 Quillen 等价.

见 [HTT, Theorem 2.2.1.2].

推论 5.12 (Grothendieck 构造). 函子在相差弱等价的意义下互为逆函子, 其中

的纤维性替换函子.

上左纤维化的范畴, 它是 的满子范畴.

中的弱等价为逐纤维的同伦等价.

中的弱等价为逐点的同伦等价.

证明. 为左纤维化, 设 为函子. 则单位、余单位映射都是范畴等价 (命题 2.25). 这里 可取成恒同函子, 从而映射都是弱等价. 至于 中弱等价的描述, 见 [HTT, Corollary 2.2.3.13].

注 5.13. 类似地, 对右纤维化而言, 在 上有反变模型结构 (contravariant model structure), 并且有 Quillen 等价其中 带有投射模型结构.

下面, 我们来证明一个我们想要的性质, 也就是左纤维化的 Grothendieck 构造确实给出该纤维化的纤维.

命题 5.14.

为左纤维化. 则对每个 , 有弱同伦等价

为函子. 则对每个 , 有 Kan 复形的同伦等价

证明. 先证明第二部分. 由还原函子的定义, 有其中第二个等价使用了例 5.10.

再证明第一部分. 由推论 5.12, 我们有 上左纤维化的弱等价也就是逐纤维的同伦等价. 从而, 对每个 , 有由第二部分, 我们就完成了证明.

下面, 我们通过 Grothendieck 构造来研究拟范畴的态射空间.

是拟范畴, 是单纯集. 设 是单纯集的映射, 我们看作 中的交换图表.

定义 5.15. 俯范畴 是一个拟范畴, 其 维单形为类似地, 仰范畴 是一个拟范畴, 定义为

以下是命题 5.14 的推论.

推论 5.16. 为拟范畴, 设 . 则

并且, 我们还有以下性质.

命题 5.17. 为拟范畴, 设 . 则

证明. 由拉直函子的定义, 有因此, 只需证明函子的映射是弱等价. 事实上, 我们可以证明它是平凡余纤维化. 为此, 只需证明含入映射 中的平凡余纤维化, 也就是对左纤维化具有左提升性质. 这是因为, 该映射是的一个收缩 (retract), 而此映射具有我们想要的左提升性质, 因为它可以通过不断沿左尖角粘贴单形而得到.

通过上述两个命题, 我们得到了弱等价类似地, 对右纤维化进行同样的论述, 也能得到这种等价. 将这些结论组合起来, 就证明了下面的定理.

定理 5.18. 为拟范畴, 设 . 则

以上就是 Grothendieck 构造的第一个应用.

纤维范畴

下面, 我们简要介绍四种纤维化中的另两种, 即推出纤维化与拉回纤维化.

为普通范畴之间的函子. 中态射 称为 -推出 (-cocartesian morphism), 如果有 “推出方块”准确地说, 态射 具有以下泛性质: 对任何实线图表存在唯一的态射 , 使得 .

这一定义可以重新表述如下.

定义 5.19. 为普通范畴间的函子. 中态射 称为 -推出, 如果在图表中, 只要满足 的边 被映到 中的边 , 那么图表就有唯一提升.

定义 5.20. 函子 称为推出纤维化 (cocartesian fibration), 如果 具有所有 “从 出发的推出”: 准确地说, 对任何 中任何态射 , 其中 , 存在 中的 -推出 , 使得 .

推出纤维化使得我们可以直接定义纤维间的转移函子 (细节留给读者). 因此, 我们就得到了下面的定理.

定理 5.21 (Grothendieck 构造). 为小范畴间的推出纤维化. 则取 的纤维给出一个 -函子 . 反过来, 每个 -函子 都对应于一个推出纤维化 .

类似地, 函子 称为拉回纤维化, 若 为推出纤维化. 在 Grothendieck 构造下, 拉回纤维化对应于 -函子 .

纤维无穷范畴

上述推出纤维化的定义能够自然地推广到拟范畴上.

定义 5.22. 是拟范畴间的函子. 中态射 称为 -推出, 如果在图表中, 只要满足 的边 被映到 中的边 , 那么图表就有提升.

与之前一样, 对于拟范畴, 我们不再要求提升的唯一性, 因为高维 (即 更大时) 的提升性质保证了这一点.

下面, 我们来定义拟范畴的推出纤维化.

定义 5.23. 拟范畴间的函子 称为推出纤维化, 如果

对任何 , 我们有提升性质也就是说, 内纤维化 (inner fibration).

具有 “从 出发的推出”: 准确地说, 对任何 中任何态射 , 其中 , 存在 中的 -推出 , 使得 .

其中, 第一条性质是任何普通范畴间的函子都满足的. 我们需要这一性质, 才能保证 的纤维都是拟范畴.

命题 5.24. 态射 是左纤维化, 当且仅当它是推出纤维化, 并且 的每条边都是 -推出.

为了得到拟范畴的 Grothendieck 构造, 我们需要使用拉直、还原函子的 “标记” 版本. 这一构造过程简述如下.

定义 5.25. 标记单纯集 (marked simplicial set) 指二元组 , 其中其中 为单纯集, 为一些标记边 (marked edge), 使得所有退化边都是标记边.

所有标记单纯集构成的范畴记为 , 其中态射要求把标记边都映到标记边.

对单纯集 , 记 为所有边均为标记边的 ; 记 为仅标记退化边的 . 我们记 .

定理 5.26. 在合适的模型结构下, 我们有 Quillen 等价并且,

将所有到 的函子映到推出纤维化.

恢复出推出纤维化的纤维 (在相差范畴等价的意义下).

见 [HTT, Theorem 3.2.0.1].

推论 5.27 (Grothendieck 构造). 函子在相差弱等价的意义下互为逆函子, 其中

的纤维性替换函子.

上推出纤维化的范畴, 它是 的满子范畴.

中的弱等价为逐纤维的范畴等价.

中的弱等价为逐点的范畴等价.

例 5.28. 为拟范畴的拟范畴, 设 为含入函子. 则推出纤维化可以看作是万有纤维化, 因为任何推出纤维化都等价于它的一个拉回. 事实上, 对任何推出纤维化 , 我们有分类映射 (classifying map) 从而这是因为 都是 上的推出纤维化, 并且它们的纤维相同.