6. 模型范畴与局部化

在讲义的开头, 我们曾提到, 如果 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 是弱等价范畴, 那么通过将 $\mathsf{W}$ 中的箭头变得可逆, 我们能得到 $\infty$-范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$. 并且, 如果 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 是通过模型范畴 $(\mathsf{C},\mathsf{W},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib})$ 得到的, 那么该 $\infty$-范畴就更便于描述.

在本节中, 我们详细地说明这一点, 即模型范畴如何帮助我们描述 $\infty$-范畴.

无穷范畴的局部化

首先, 我们来描述对弱等价范畴 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 进行局部化, 而得到 $\infty$-范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 的过程. 这里, 我们也允许 $\mathsf{C}$ 是 $\infty$-范畴.

定义 6.1. 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴, 设 $\mathsf{W}$ 为 $\mathsf{C}$ 中一些边 (即 $1$ 维单形) 的集合. 则 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 的局部化 (如果存在) 为一个拟范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 满足下述泛性质:

•	对任何拟范畴 $\mathsf{D}$, 及任何实线图表$$\mathsf{C}\mathsf{D}\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]\text{ ,}F\exists !$$如果 $F$ 将 $\mathsf{W}$ 中的边都映到 $\mathsf{D}$ 中的可逆边, 则存在 “唯一” 的虚线箭头, 使得图表交换.

这里, “唯一” 的意思是, 有拟范畴的范畴等价$$\mathsf{Fun}(\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}],\mathsf{D})\text{∼}\to {\mathsf{Fun}}_{\mathsf{W}\mapsto \mathrm{eq}}(\mathsf{C},\mathsf{D}),$$其中右边是 $\mathsf{Fun}(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 中所有将 $\mathsf{W}$ 中的边映到可逆边的函子张成的满子范畴.

在上述定义中, 局部化是通过泛性质定义的, 因此它理应具有某种唯一性. 事实上, 它在相差一个范畴等价的意义下唯一, 而该等价又在相差一个高维等价的意义下唯一, 以此类推. 也就是说, 所有局部化构成一个可缩空间.

要证明局部化的存在性, 我们需要使用标记单纯集 (定义 5.25) 这一工具. 我们来引入标记单纯集范畴 ${\mathsf{sSet}}^{+}$ 上的一种模型结构.

定义 6.2. 设 $X$ 为单纯集.

•	标记单纯集 $X^{♯}$ 定义为单纯集 $X$, 其所有边都是标记边.
•	标记单纯集 $X^{♭}$ 定义为单纯集 $X$, 其中只有退化边是标记边.
•	若 $X$ 为拟范畴, 则定义标记单纯集 $X^{♮}$ 为单纯集 $X$, 其中标记边是所有可逆边.

定理 6.3. 范畴 ${\mathsf{sSet}}^{+}$ 具有推出–拉回模型结构 ((co)cartesian model structure), 其中

•	余纤维化为单射.
•	弱等价为映射 $f:X\to Y$, 使得对任意拟范畴 $Z$, 有拟范畴的范畴等价$${\mathsf{sSet}}^{+}(Y,Z^{♮})\text{∼}\to {\mathsf{sSet}}^{+}(X,Z^{♮}),$$其中两边都是单纯集的映射空间的满子范畴.
•	纤维化为所有同构于某个 $X^{♮}$ 的对象, 其中 $X$ 为拟范畴.

见 [HTT, Proposition 3.1.3.7].

局部化的存在性就是上述定理的推论.

推论 6.4. 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴, 设 $\mathsf{W}$ 为 $\mathsf{C}$ 中一些边的集合. 则局部化 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 存在.

证明. 不妨假设 $\mathsf{W}$ 包含所有退化边. 则 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 是标记单纯集. 考虑其纤维性替换, 它是纤维性对象, 从而存在拟范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 使得 $R(\mathsf{C},\mathsf{W})\simeq \mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}{]}^{♮}$. 则对任何拟范畴 $\mathsf{D}$, 有$${\mathsf{sSet}}^{+}(\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}{]}^{♮},{\mathsf{D}}^{♮})\text{∼}\to {\mathsf{sSet}}^{+}((\mathsf{C},\mathsf{W}),{\mathsf{D}}^{♮}).$$$\square$

上述证明十分抽象, 且并未告诉我们如何具体地构造局部化. 但实际上, 局部化有一种十分清晰的构造方法, 由 Dwyer 和 Kan [DK2] 给出:

构造 6.5. 设 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 为弱等价范畴. 我们构造单纯范畴 $\mathsf{L}(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 如下: 其对象与 $\mathsf{C}$ 相同, 且对任意 $X,Y\in \mathsf{C}$, 单纯集 $\mathsf{L}(\mathsf{C},\mathsf{W})(X,Y)$ 定义为$$\mathsf{L}(\mathsf{C},\mathsf{W})(X,Y{)}_n=\{\bullet \bullet \cdots \bullet \bullet \bullet \cdots \bullet XY⋮⋮⋮\bullet \bullet \cdots \bullet \}/\sim ,$$其中

•	图中共有 $n+1$ 行, 而列数任意; 每个圆点 (除了省略号中的点) 代表 $\mathsf{C}$ 的一个对象, 箭头代表 $\mathsf{C}$ 中的态射.
•	水平的箭头可以向左或向右, 但同一列的水平箭头必须指向同一个方向.
•	向左和向下的箭头都必须在 $\mathsf{W}$ 中.
•	等价关系 $\sim$ 由相邻的同向水平箭头的复合生成.

单纯范畴 $\mathsf{L}(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 称为 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 的梭形局部化 (hammock localization).

由上述构造, 不难看出 $\mathsf{L}(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 的同伦范畴等价于构造 1.7 中的普通范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$.

定理 6.6. 设 $(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 为弱等价范畴. 则有标记单纯集的弱等价$$(\mathrm{N}\mathsf{C},\mathsf{W})\simeq (\mathfrak{N}R\mathsf{L}(\mathsf{C},\mathsf{W}){)}^{♮},$$其中 $\mathrm{N}$ 表示普通范畴的脉, $R:{\mathsf{Cat}}_{\mathsf{sSet}}\to {\mathsf{Cat}}_{\mathsf{Kan}}$ 是纤维性替换函子. 特别地, 有拟范畴的范畴等价$$\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]\simeq \mathfrak{N}R\mathsf{L}(\mathsf{C},\mathsf{W}).$$

见 [Hinich2, §1.2].

作为推论, 拟范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 的同伦范畴等价于构造 1.7 中的普通范畴 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$.

单纯模型范畴

下面, 我们考虑带有相容单纯结构的模型范畴, 称为单纯模型范畴. 这种额外结构的好处是, 由单纯模型范畴局部化而得到的 $\infty$-范畴会比较好描述.

模型结构和单纯结构的相容条件并不是很容易定义. 我们首先需要一些准备知识.

为简单起见, 在考虑幺半范畴时, 我们只考虑对称幺半范畴, 即其张量积操作满足交换律的幺半范畴.

定义 6.7. 对称幺半范畴由以下信息组成:

•	幺半范畴 $\mathsf{V}$.
•	自然等价$$T_{X,Y}:X\otimes Y\to Y\otimes X,$$其中 $X,Y\in \mathsf{V}$,

满足以下条件:

•	$T\circ T=1$.
•	对任意 $X,Y,Z\in \mathsf{V}$, 有交换图$$(X\otimes Y)\otimes Z(Y\otimes X)\otimes ZY\otimes (X\otimes Z)X\otimes (Y\otimes Z)(Y\otimes Z)\otimes XY\otimes (Z\otimes X)\text{ .}$$

可以证明, 上面的最后一条公理足以保证, 有限多个对象以任意次序进行张量积操作, 得到的结果是同构的, 该同构也是唯一确定的. 其本质原因是, $\mathsf{Cat}$ 是 $2$-范畴, 故没有高于 $2$ 阶的高阶结构. 也许我们之后会详细解释这一点.

到目前为止, 我们提到过的所有幺半范畴都是对称幺半范畴.

例 6.8. 我们看一个不对称的幺半范畴的例子. 设 $R$ 为非交换环, 考虑 $R$-双模的范畴, 其幺半结构由双模的张量积给出. 这个幺半范畴就是不对称的.

定义 6.9. 对称幺半范畴 $\mathsf{V}$ 称为闭 (closed) 的, 如果存在幂函子 (internal hom functor) $$(-{)}^{(-)}:\mathsf{V}\times {\mathsf{V}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{V},$$使得有自然同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{V}}(X\otimes Y,\mathsf{Z})\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{V}}(X,Z^Y),$$其中 $X,Y,Z\in \mathsf{V}$. 简言之, 张量积函子有右伴随.

有时, 我们也直接将 $Y^X$ 记为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{V}}(X,Y)$.

例 6.10. 以下是闭对称幺半范畴的例子和反例.

•	对称幺半范畴 $(\mathsf{Set},\times )$ 是闭的, 其幂函子就是集合论中的幂集.
•	对称幺半范畴 $(\mathsf{sSet},\times )$ 是闭的, 其幂函子是单纯集的映射空间 (定义 4.8).
•	对称幺半范畴 $(\mathsf{Top},\times )$ 不是闭的. 正因如此, 在代数拓扑中, 常常将 $\mathsf{Top}$ 换成别的范畴, 例如紧生成空间的范畴. 后者关于由 $\times$ 给出的幺半结构是闭的, 其幂函子是拓扑学中的映射空间, 带有紧开拓扑.

定义 6.11. 设 $\mathsf{V}$ 是闭对称幺半范畴, $\mathsf{C}$ 是 $\mathsf{V}$-充实范畴.

•	$\mathsf{C}$ 称为 $\mathsf{V}$-张量的, 如果存在函子$$-\otimes -:\mathsf{V}\times \mathsf{C}\to \mathsf{C},$$及自然同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A\otimes X,Y)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{V}}(A,{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y))$$其中 $A\in \mathsf{V}$, $X,Y\in \mathsf{C}$, 并记 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{V}}$ 为 $\mathsf{V}$ 的幂函子.
•	$\mathsf{C}$ 称为 $\mathsf{V}$-余张量的, 如果存在函子$$(-{)}^{(-)}:\mathsf{C}\times {\mathsf{V}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{C},$$及自然同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y^A)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{V}}(A,{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y))$$其中 $A\in \mathsf{V}$, $X,Y\in \mathsf{C}$, 并记 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{V}}$ 为 $\mathsf{V}$ 的幂函子.

例 6.12.

•	不难看出, $\mathsf{Set}$、$\mathsf{Top}$ 和 $\mathsf{sSet}$ 都是 $\mathsf{Set}$-张量、余张量的.
•	单纯范畴 $\mathsf{Top}$、$\mathsf{sSet}$ 都是 $\mathsf{sSet}$-张量、余张量的.

下面, 我们来定义单纯模型范畴.

定义 6.13. 单纯范畴 $\mathsf{C}$ 的底范畴 ${\mathsf{C}}_0$ 是一个普通范畴, 它将 $\mathsf{C}$ 中态射空间的 $0$-单形看作态射, 然后扔掉所有的高维单形.

定义 6.14. 单纯模型范畴由以下信息组成:

•	单纯范畴 $\mathsf{C}$.
•	在 $\mathsf{C}$ 的底范畴 ${\mathsf{C}}_0$ 上, 有一个模型结构,

满足以下条件:

•	$\mathsf{C}$ 是 $\mathsf{sSet}$-张量、余张量的.
•	对 $\mathsf{sSet}$ 中的任何余纤维化 $i:A\to B$, 及 ${\mathsf{C}}_0$ 中的任何余纤维化 $j:X\to Y$, 明显的映射$$i\square j:A\otimes Y\bigsqcup _{A\otimes X}B\otimes X\to B\otimes Y$$是 ${\mathsf{C}}_0$ 中的余纤维化, 且当 $i$ 或 $j$ 平凡时平凡.

上述最后一个条件可能看起来有些令人困惑, 但它其实很自然, 只要考虑下面的例子就能理解其含义:$$\begin{array}{rlrl}\mathsf{C}& =\mathsf{V}=\mathsf{sSet},& & \\ A& =\{0\}\subset \Delta [1],& B& =\Delta [1],\\ X& =\partial \Delta [2],& Y& =\Delta [2].\end{array}$$这一条件保证了 $\mathsf{C}$ 和 $\mathsf{V}$ 上的模型结构是相容的.

例 6.15. $\mathsf{Top}$ 和 $\mathsf{sSet}$ 都是单纯模型范畴.

值得注意的是, 对于单纯模型范畴而言, 有两种方法从它出发构造 $\infty$-范畴:

•	单纯模型范畴是单纯范畴, 单纯范畴能给出 $\infty$-范畴.
•	单纯模型范畴是弱等价范畴, 通过局部化也能得到一个 $\infty$-范畴.

令人惊讶的是, 通过上述两种方法得到的 $\infty$-范畴是等价的. 因此, 要研究通过局部化得到的 $\infty$-范畴, 我们只需要研究模型范畴的单纯结构, 而后者通常是更容易描述的.

定理 6.16 (Dwyer–Kan). 设 $\mathsf{C}$ 是单纯模型范畴. 则 ${\mathsf{C}}_{\mathrm{cf}}$ 是充实于 Kan 复形的范畴, 并且, 有拟范畴的等价$$\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]\simeq \mathfrak{N}{\mathsf{C}}_{\mathrm{cf}}.$$

见 [HA, Theorem 1.3.4.20].

例 6.17. 现在, 注 4.25 中提到的拟范畴等价终于可以被上一定理说明: 我们有$$\mathsf{S}\simeq \mathsf{sSet}[{\mathsf{W}}^{-1}],{\mathsf{D}}_{\infty }(\mathsf{A})\simeq {\mathsf{Ch}}_{\mathsf{A}}[{\mathsf{W}}^{-1}],$$其中 $\mathsf{A}$ 是 Abel 范畴, 要满足 ${\mathsf{Ch}}_{\mathsf{A}}$ 具有单纯模型范畴的结构, 例如可以取 $\mathsf{A}$ 为交换环上的模范畴.