8. 稳定范畴

从本节开始, 除非特别说明, -范畴都指拟范畴.

在代数拓扑中, 我们知道有同伦推出、同伦拉回图表我们在上一节也解释了这一点. 在稳定 -范畴中, 我们则有推出–拉回图表也就是说, 函子 互为逆. 例如, 我们将看到, 对链复形而言, 分别是链复形的平移 . 因此, 链复形的 -范畴就是稳定 -范畴的一个例子.

稳定 -范畴中的同伦论称为稳定同伦论. 因此, 同调代数是稳定同伦论的一个特例.

我们还将介绍一种稳定化的过程, 它将普通的 -范畴变成稳定 -范畴. 例如, 拓扑空间范畴的稳定化就是拓扑谱范畴, 其中的同伦论也就是经典意义的稳定同伦论.

稳定 -范畴

定义 8.1. -范畴 称为带点的, 如果它具有零对象 , 即同时是始对象、终对象的对象.

定义 8.2. 为带点 -范畴.

中的三角指图表

中的余纤维序列指同时是推出图表的三角. 此时, 称 为映射 同伦余纤维.

中的纤维序列指同时是拉回图表的三角. 此时, 称 为映射 同伦纤维.

定义 8.3. 稳定 -范畴是指带点 -范畴 , 满足以下条件:

中每个态射都有同伦余纤维、同伦纤维.

中的三角是余纤维序列, 当且仅当它是纤维序列.

定义 8.4. 是带点 -范畴. 定义函子 如下:

和在代数拓扑里一样, 这里 构成一对伴随, 因为对任意 , 有

是稳定 -范畴, 容易看出 互为逆函子. 此时记对非负整数 , 记

定理 8.5. 是带点 -范畴. 则下列命题等价:

稳定.

带有推出, 且 是等价.

带有拉回, 且 是等价.

带有推出和拉回, 且 中任何推出图表都是拉回图表, 反之亦然.

见 [HA, Proposition 1.1.3.4, Corollary 1.4.2.27].

定义 8.6. 为稳定 -范畴. 函子 称为正合函子, 如果它保持零对象, 并保持余纤维序列、纤维序列.

稳定范畴的同伦范畴

这一节的目标是证明下面的定理.

定理 8.7. 是稳定 -范畴. 则同伦范畴 具有自然的三角范畴结构.

证明. 首先, 我们证明 是加性范畴.

具有有限余积.

由命题 7.8, 只要证明 中有余积, 因为 中的余积与之相同. 由定义, 有始对象. 故只需证明对任意 , 存在余积 . 我们在 中作余纤维序列 就是我们要的余积 , 因为其中第二步是因为, 取余纤维与取余极限交换 (这一性质可以通过同伦余极限的定义来证明).

是加性范畴.

对任意 , 有因此, 是 Abel 群. 留给读者验证复合是双线性的.

对映射 , 怎么得到 ?

的映射可以看成一个图表如果交换两个 的位置, 映射就会反号. 换言之, 如果这个图表对应映射 , 则它的转置就对应映射 . 这是因为映射空间上的群结构由下面的同构定义: 其中交换两个 的效果是将环路空间中的环路反向.

特别地, 当 时, 上面的方块是推出–拉回, 其转置给出 的自同构 .

接下来, 我们定义 上的三角范畴结构.

定义正合三角.

定义 中的序列 为正合三角, 当且仅当它同构于一个可以提升为 中图表的三角. 此时 一定等价于 , 因为外层的长方形也是推出–拉回图表.

(TR 1)

正合三角被同构保持.

对任何对象 , 有正合三角

任何态射 都能延伸为一个正合三角

这些都是显然的.

(TR 2) 如果是正合三角, 那么也是正合三角.

为证之, 在 中作图表两个大长方形都是推出–拉回图表, 说明 , . 图表中的映射 就是 , 因为它由图表之间的映射诱导. 然而, 为了和正合三角的定义一致, 我们需要将这个图表做转置, 故正合三角中的映射 .

(TR 3) 给定实线图表如果两行都是正合三角, 则存在虚线箭头, 使整个图表交换.

这是因为 中取余纤维是函子性的. (在三角范畴中, 这个构造变得不函子性. 这是三角范畴的一个缺点, 说明稳定 -范畴是更自然的对象.)

(TR 4) 八面体公理.

证明不难, 我们略过.

我们这就证明了 是三角范畴.

拓扑谱与稳定同伦论

下面, 我们简要回顾拓扑谱的理论, 也就是经典的稳定同伦论. 从拓扑空间到拓扑谱的过程叫做稳定化, 下一节将把这一过程推广到一般的 -范畴, 而得到稳定 -范畴.

经典的稳定同伦论考虑的是将纬悬函子 作用于一个空间上足够多次后, 逐渐变得稳定的性质. 例如, 带点拓扑空间 稳定同伦群定义为其中 . 例如, 由 Freudenthal 纬悬定理, 有拓扑谱的作用就是记住这些稳定同伦意义下的信息.

定义 8.8. 拓扑谱 由以下信息组成.

一列带点拓扑空间

对每个 , 有映射

拓扑谱 之间的映射是一列带点拓扑空间的映射使得对任意 , 有 .

拓扑谱的范畴记为 .

例 8.9. 为带点拓扑空间. 其纬悬谱 定义为其结构映射为 . 这里, 记号 是为了说明它记录了 时的性质.

特别地, 球谱 定义为从而 .

定义 8.10. 拓扑谱 稳定同伦群定义为其中 .

例如, 对带点拓扑空间 , 有

注意到纬悬函子 和平移函子 (即向左移动一位) 对稳定同伦群的作用效果是相同的. 事实上, 在定义了 上的同伦论后, 我们就能证明这两个函子在同伦意义下是等价的.

定义 8.11. 拓扑谱 称为 -谱, 如果对任何 , 由 诱导的映射都是弱同伦等价.

此时, 记 . 则对每个 , 有 .

定理 8.12. 范畴 具有稳定模型结构, 其中

诱导所有稳定同伦群同构的映射 .

逐个空间的余纤维化 .

纤维性对象是所有 -谱.

并且, 伴随函子是 Quillen 等价, 其导出函子同构于平移函子: 它们是 的函子.

推论 8.13. 由上述模型结构定义的 -范畴, 即拓扑谱的 -范畴, 是稳定 -范畴.

特别地, 同伦范畴 带有三角范畴的结构.

拓扑谱还可以从另一个观点来看待, 也就是将它们看成广义上同调理论的表出对象.

定义 8.14. 一个广义上同调理论是一族函子其中 是带点拓扑空间的范畴, 并满足以下公理:

(同伦性) 若 是弱同伦等价, 则 是同构.

(正合性) 每个同伦余纤维列 都诱导正合列

(纬悬) 有自然同构

(加性) 将余积映到积:

例如, 以任何 Abel 群为系数的约化奇异上同调理论都是广义上同调理论. 另外, 拓扑 理论也是广义上同调理论.

定理 8.15 (Brown). 每个广义上同调理论 都能被一个拓扑谱 表出. 也就是说, 对任何空间 , 有

特别地, Abel 群系数的奇异上同调由相应的 Eilenberg–Mac Lane 谱表出.

因此, 拓扑谱的范畴, 也就是拓扑空间范畴的 “稳定化”, 在同伦意义下等价于拓扑空间的所有广义上同调理论构成的范畴.

稳定化

是具有有限极限的 -范畴. 在本小节中, 我们构造 谱对象的稳定 -范畴 . 它具有以下万有性质: 它带有函子并且, 对任何稳定 -范畴 , 任何保持有限极限的函子 都以唯一的方式穿过函子 .

在介绍一般的构造之前, 我们先引入另一种理解拓扑谱的观点.

-谱, 记 为所有同伦等价于有限 CW 复形的带点拓扑空间的范畴. 我们可以定义一个函子它将每个球面 映射到空间 . 注意到, 该性质表明 将推出方块映到拉回方块: 如果我们加强这一性质, 要求 将任何推出方块映到拉回方块, 则 在同伦等价的意义下就能被完全确定, 具体的构造留给读者. 这里, 我们用到了空间 可以任意多次解环, 这是由于 -谱的假设.

函子 将推出方块映到拉回方块, 这一性质类似于同调理论中的切除性质. 从这个角度说, 谱可以看作是某种 “取值于拓扑空间的同调理论”.

在一般情形下, 我们即将定义 谱对象为拓扑空间的 “取值于 中的同调理论”.

定义 8.16.-范畴.

假设 具有推出. 称 的函子 切除函子 (excisive functor), 如果它将推出方块映到拉回方块.

假设 具有零对象. 称 的函子 约化函子 (reduced functor), 如果它保持零对象.

分别为 的约化函子、约化切除函子的范畴, 它们都是 的全子范畴.

我们回忆空间范畴 , 即 Kan 复形的 -范畴.

定义 8.17. 有限空间的范畴 定义为 的全子范畴, 其对象为几何实现等价于有限 CW 复形的 Kan 复形. 令为带点有限空间的范畴.

定义 8.18.-范畴. 谱对象的范畴定义为定义函子它将谱对象映到其在 处的值.

例如, 上述讨论说明, 我们应该有

注 8.19. 事实上, 约化切除函子 由空间 和等价 确定. 由此可以说明 等价于同伦极限

定理 8.20., -范畴.

具有有限极限, 则 是稳定 -范畴.

更一般地, 若 具有有限余极限, 具有有限极限, 则 是稳定 -范畴.

证明. 只需证明第二部分. 函子 诱导了 上相应的函子. (余) 极限的一个性质是, 中的 (余) 极限能在 中直接计算, 只要 中具有这些 (余) 极限. 因此, 自身的 函子与 诱导的函子相同. 设 . 则对任意 , 由拉回方块这说明有等价因此, 的逆. 由 (8.5), 是稳定 -范畴.

命题 8.21. 是具有有限极限的 -范畴. 则 是稳定 -范畴, 当且仅当函子 是等价.

证明. 略.

命题 8.22., -范畴.

是稳定 -范畴, 具有有限极限, 则函子 诱导了等价其中 左正合函子的范畴, 即保持有限极限的函子构成的范畴.

更一般地, 若 具有零对象、有限极限, 具有有限极限, 则函子 诱导了等价

证明. 只需证明第二部分. 因为 是稳定 -范畴, 所以

这就证明了下面的定理.

定理 8.23. 有一对伴随函子其中

中由稳定 -范畴和正合函子构成的子范畴.

中由具有有限极限的 -范畴和左正合函子构成的范畴.

是含入函子, 是上面构造的函子, 称为稳定化.

事实上, 这可以看成 -范畴间的伴随函子, 因为我们证明了其中态射空间作为 -范畴等价, 而不只是作为空间等价.