6. 解析环

解析环是前述固态化理论的封装、推广, 是 Huber 环对的正确版本. 事实上它甚至可以处理 Archimedes 的解析几何.

定义 6.1. 预解析环 $\mathcal{A}$ 指三元组 $(\underline{\mathcal{A}},\mathcal{A}[-],\alpha )$, 其中 $\underline{\mathcal{A}}$ 为凝聚态交换环, $\mathcal{A}[-]:\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}\to \mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\underline{\mathcal{A}})$ 为函子, 保持有限余极限, $\alpha :\underline{\mathcal{A}}[-]\to \mathcal{A}[-]$ 为自然变换. 其中 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\underline{\mathcal{A}})$ 指 (凝聚态) $\underline{\mathcal{A}}$ 模范畴, $\underline{\mathcal{A}}[-]$ 指自由 $\underline{\mathcal{A}}$ 模. $\underline{\mathcal{A}}$ 称为底环, $\mathcal{A}[-]$ 称为自由 $\mathcal{A}$ 模. 在 $\alpha$ 容易看出时常将其省略. 预解析环的同态有显然的定义.

记号 6.2. 对凝聚态集 $X$, 可用极不连通空间的无交并超覆盖之, 然后作用 $\mathcal{A}[-]$, 其中无穷无交并的 $\mathcal{A}[-]$ 直接定义为无穷直和, 就得到一个 $\underline{\mathcal{A}}$ 链复形, 记作 $\mathcal{A}[X]\in {\mathsf{D}}_{\ge 0}(\underline{\mathcal{A}})$, 也可称为自由 $\mathcal{A}$ 模. 这良定, 因为它无非是 $\mathcal{A}[-]:\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}\to \mathsf{D}(\underline{\mathcal{A}})$ 沿着 $\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}\hookrightarrow \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 左 Kan 扩张.

例 6.3.

1.	对任意凝聚态环 $R$, $R=(R,R[-],\mathrm{id})$ 为预解析环.
2.	${\mathbb{Z}}_{■}=(\mathbb{Z},\mathbb{Z}[-{]}^{■},{-}^{■})$ 为预解析环.
3.	一般地对于有限型 $\mathbb{Z}$ 代数 $R$, 定义 $R_{■}[S]=\lim R[S_i]$, 其中 $S=\lim S_i$, $S_i$ 有限, 则 $R_{■}=(R,R_{■}[-])$ 为预解析环.
4.	对于有限型 $\mathbb{Z}$ 代数之间的映射 $R\to A$, $(A,R{)}_{■}=(A,R_{■}[-]{\otimes }_{R}A)$ 为预解析环.
5.	类似地, 定义 ${\mathbb{Z}}_p[S{]}^{■}={\lim }_i{\mathbb{Z}}_p[S_i]={\lim }_{n,i}\mathbb{Z}/p^n[S_i]$, 则 ${\mathbb{Z}}_{p,■}=({\mathbb{Z}}_p,{\mathbb{Z}}_p[-{]}^{■})$ 为预解析环.
6.	类似地, $({\mathbb{Q}}_p,{\mathbb{Z}}_p{)}_{■}=({\mathbb{Q}}_p,{\mathbb{Z}}_p[-{]}^{■}{\otimes }_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p)$ 为预解析环.
7.	对 $0<p\le 1$, 定义 ${\mathbb{R}}_{{\ell }^p}[S]={\bigcup }_{r>0}{\lim }_i\mathbb{R}[S_i{]}_{{\ell }^p\le r}$, 则 ${\mathbb{R}}_{{\ell }^p}=(\mathbb{R},{\mathbb{R}}_{{\ell }^p}[-])$ 为预解析环.
8.	对 $0<p\le 1$, 定义 ${\mathbb{R}}_{{\ell }^{<p}}[S]={\mathrm{colim}}_{q<p}{\mathbb{R}}_{{\ell }^q}[S]$, 则 ${\mathbb{R}}_{{\ell }^{<p}}=(\mathbb{R},{\mathbb{R}}_{{\ell }^{<p}}[-])$ 为预解析环.

定义 6.4. 解析环 $\mathcal{A}$ 指满足如下条件的预解析环: 对各项为一些 $\mathcal{A}[T]$, $T\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 的直和的右有界链复形 $C$, 以及 $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$, 有$$R{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\underline{\mathcal{A}}}(\mathcal{A}[S],C)=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\underline{\mathcal{A}}}(\underline{\mathcal{A}}[S],C).$$故由命题 4.6, 满足以上条件的 $\underline{\mathcal{A}}$ 模构成 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\underline{\mathcal{A}})$ 的满子范畴, 对极限、余极限、扩张皆封闭, 称为 $\mathcal{A}$ 模, 记为 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A})$; 满足以上条件的 (不必右有界的) 链复形构成 $\mathsf{D}(\underline{\mathcal{A}})$ 的满子范畴, 对极限、余极限、扩张皆封闭, 记为 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$; $\mathsf{D}(\mathcal{A})={\mathsf{D}}_{\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A})}(\underline{\mathcal{A}})\cong \mathsf{D}(\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A}))$. 含入函子 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A})\hookrightarrow \mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\underline{\mathcal{A}})$ 与 $\mathsf{D}(\mathcal{A})\hookrightarrow \mathsf{D}(\underline{\mathcal{A}})$ 都有左伴随, 记作 $-{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\mathcal{A}$ 与 $-{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}^L\mathcal{A}$.

解析环同态指预解析环同态 $f:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, 满足 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{B})$ 中的东西作为 $\underline{\mathcal{A}}$ 模都在 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A})$ 中; 显然这等价于对任意 $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$, $\mathcal{B}[S]\in \mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A})$. 此时有自然的忘却函子 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{B})\to \mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A})$, $\mathsf{D}(\mathcal{B})\to \mathsf{D}(\mathcal{A})$, 都记作 $f_{\ast }$; 它有左伴随 $-{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}^L\underline{\mathcal{B}}{\otimes }_{\underline{\mathcal{B}}}^L\mathcal{B}$, 简作 $-{\otimes }_{\mathcal{A}}^L\mathcal{B}$, 也记作 $f^{\ast }:\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A})\to \mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{B})$, $f^{\ast }:\mathsf{D}(\mathcal{A})\to \mathsf{D}(\mathcal{B})$. 由例 6.3.1, 有自然的解析环同态 $\underline{\mathcal{A}}\to \mathcal{A}$, 记号 $-{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}^L\mathcal{A}$ 便是 $-{\otimes }_{\mathcal{A}}^L\mathcal{B}$ 的特殊情况.

常把解析环想成某种完备理论, $\mathcal{A}$ 模即 $\underline{\mathcal{A}}$ 模中完备者, $-{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\mathcal{A}$ 即完备化. 依记号 6.2, 不难发现 $\underline{\mathcal{A}}[X]{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\mathcal{A}=\mathcal{A}[X]$. 类似地 $\mathcal{A}[X]{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}=\mathcal{B}[X]$.

例 6.5. 例 6.3 中除 7 之外都是解析环. 这之中除 8 之外都不算难证.

$\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(\mathcal{A})$ 和 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 都有对称幺半结构, 记作 $-{\otimes }_{\mathcal{A}}-$ 与 $-{\otimes }_{\mathcal{A}}^L-$. 依记号 6.2, $\mathcal{A}[X]{\otimes }_{\mathcal{A}}^L\mathcal{A}[Y]=\mathcal{A}[X\times Y]$.

警告. 一般情况下 $-{\otimes }_{\mathcal{A}}^L-$ 未必是 $-{\otimes }_{\mathcal{A}}-$ 的导出函子, 因极不连通空间的乘积不再极不连通. 不过对本节讨论的环这都是导出函子. 这记号并不带来混淆, 因为 $-{\otimes }_{\mathcal{A}}-$ 的导出函子没有意义.

由命题 4.7, ${\mathbb{Z}}_{■}$ 是解析环. 本节主要目标是证明如下定理.

定理 6.6. 对 $\mathbb{Z}$ 上有限型环之间的映射 $R\to A$, $(A,R{)}_{■}$ 为解析环. 不仅如此, 对 $S\in \mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$, 复形 $(A,R{)}_{■}[S]$ 都集中在 $0$ 处, 且等于 $R^I{\otimes }_{R}A$ 对某个集合 $I$; 它们紧投射, 生成 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}((A,R{)}_{■})$.

于是我们称一个 $R$ 模为 $R$-固态, 指它是 $R_{■}$ 模, 链复形也是.

习题 6.7. 对 $\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}\ni S=\lim S_i$, $S_i\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$, $C(S,\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^{\oplus I}$, 证明 ${\lim }_{i}R[S_i]=R^I$.

习题 6.8. 如 $R\twoheadrightarrow S\to A$, 证明 $(A,R{)}_{■}=(A,S{)}_{■}$. 即 $(A,R{)}_{■}$ 只依赖于 $\mathrm{im}(R\to A)$. 特别地, 如 $R\twoheadrightarrow A$, 则 $(A,R{)}_{■}=A_{■}$. 事实上只要 $R\to S$ 有限就有 $(A,R{)}_{■}=(A,S{)}_{■}$.

习题 6.9. 证明只要 $R_{■}$ 解析, 就有 $(A,R{)}_{■}$ 解析, 且 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}((A,R{)}_{■})$ 与 $\mathsf{D}((A,R{)}_{■})$ 分别是 $\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}(A)$ 与 $\mathsf{D}(A)$ 中 $R$-固态的对象组成的满子范畴. 从而将定理 6.6 化归到 $A=R=\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$ 情形.

由命题 4.8, 4.9, $A=R=\mathbb{Z}$ 时定理成立. 所以只需证:

命题 6.10. 只要 $A_{■}$ 解析, 且对 $S\in \mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$, $A_{■}[S]=A^I$, 是紧投射生成元, 那么对 $B=A[x]$ 也成立一样的事情.

证明. 注意条件推出 $A^I{\otimes }_{A_{■}}{A}^J=A^{I\times J}$ 以及对离散 $A$ 模 $M$, $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_A(A^I,M)=M^{\oplus I}$.

定义 $B_{\infty }=A((x^{-1}))=A[[t]][x]/(1-xt)$, 则 $B_{\infty }/B=x^{-1}A[[x^{-1}]]$ 是紧投射 $A_{■}$ 模, 且由于 $A[[t]][x]=A[[t]]{\otimes }_{A}B$ 是紧投射 $(B,A{)}_{■}$ 模, $B_{\infty }$ 是 $\mathsf{D}((B,A{)}_{■})$ 的紧对象. $B_{\infty }$ 将起到命题 4.7 中 $\mathbb{R}$ 所起的作用, 但此处比命题 4.7 简明得多.

先证明 $B_{\infty }{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{\infty }=B_{\infty }$. 依定义左边即$$A[[t]][x]/(1-xt){\otimes }_{A[x]}^{L}A[[s]][x]/(1-xs){\otimes }_A^L{A}_{■}=(A[[t]][x]/(1-xt){\otimes }_A^{L}A[[s]])/(1-xs){\otimes }_A^L{A}_{■}=(A[[t]]{\otimes }_A^{L}A[[s]])[x]/(1-xt,1-xs){\otimes }_A^L{A}_{■},$$而 $-{\otimes }_A^L{A}_{■}$ 与余极限交换, 又由 $A^I{\otimes }_{A_{■}}{A}^J=A^{I\times J}$, 故上式即$$(A[[t]]{\otimes }_{A_{■}}A[[s]])[x]/(1-xt,1-xs)=A[[t,s]][x]/(1-xt,1-xs)=A[[t]][x]/(1-tx),$$即 $B_{\infty }{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{\infty }=B_{\infty }$. $B_{\infty }$ 可想成 $\infty \in {\mathbf{P}}_A^1$ 的去心形式邻域, 是 $B_{■}$ 的某种补集.

由习题 6.7, 为证 $B_{■}$ 解析, 只需对各项为一些 $B$ 的乘积的直和的右有界链复形 $C$, 以及 $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$, 有$$R{\underline{\mathrm{Hom}}}_B(B_{■}[S],C)=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_B(B[S],C).$$由习题 6.9, $(B,A{)}_{■}$ 解析, 故右边等于 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_B(A_{■}[S]{\otimes }_{A}B,C)$. 再用习题 6.7, 只需证 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_B(B^I,C)=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_B(A^I{\otimes }_{A}B,C)$, 即$$R{\underline{\mathrm{Hom}}}_B(\mathrm{coker}(A^I{\otimes }_{A}B\to B^I),C)=0.$$再用 $A^I{\otimes }_{A_{■}}{A}^J=A^{I\times J}$, 有$$A^I{\otimes }_{A_{■}}{B}_{\infty }/B=A^I{\otimes }_{A_{■}}{x}^{-1}A[[x^{-1}]]=(x^{-1}A[[x^{-1}]]{)}^I=(B_{\infty }/B{)}^I,$$从而 $\mathrm{coker}(A^I{\otimes }_{A}B\to B^I)=\mathrm{coker}(A^I{\otimes }_{A_{■}}{B}_{\infty }\to B_{\infty }^I)$ 为 $B_{\infty }$ 模. 于是只需证$$R{\underline{\mathrm{Hom}}}_B(B_{\infty },C)=0.$$(6.10.1)由于 $B_{\infty }=\mathrm{coker}(1-xt:A[[t]][x]\to A[[t]][x])$, 这相当于验证映射$$1-xt:R{\underline{\mathrm{Hom}}}_A(A[[t]],C)\to R{\underline{\mathrm{Hom}}}_A(A[[t]],C)$$是同构. 由于 $A[[t]]$ 是紧投射 $A_{■}$ 模, 上式关于 $C$ 与余极限交换, 于是立刻化归到 $C=B^I$, 于是又化归到 $C=B$. 此时由 $B$ 离散, 能够具体算出 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_A(A[[t]],B)=B[t^{-1}]$, 其中 $f\in B[t^{-1}]$ 把 $g\in A[[t]]$ 打到 $fg$ 的常数项, $t$ 在 $B[t^{-1}]$ 的作用是乘以 $t$ 然后舍掉正次项. 这样 $xt$ 便局部幂零, 即 $B[t^{-1}]$ 的每个元素都被 $xt$ 的某次方零化. 于是 $1-xt$ 是同构.

至此证明了 $B_{■}$ 解析, 也顺便证明了 $B$ 本身是 $B$-固态的. 尚需对 $S\in \mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$ 证 $B_{■}[S]=B^I$. 由 $B$ 本身 $B$-固态, 得 $B^I$ 也是. 而$$B_{■}[S]=(B,A{)}_{■}[S]{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{■}=A^I{\otimes }_{A}B{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{■},$$故只需证$$\mathrm{coker}(A^I{\otimes }_{A}B\to B^I){\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{■}=0.$$由于这个 $\mathrm{coker}$ 是 $B_{\infty }$ 模, 由以下命题立得结论.

$\square$

命题 6.11. 记号同上. 对于 $(B,A{)}_{■}$ 模或链复形 $M$, $M{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{■}=0$ 当且仅当 $M$ 是 $B_{\infty }$ 模. 此时 $M$ 的 $B_{\infty }$ 模结构唯一; 事实上, $(B,A{)}_{■}$ 模中是 $B_{\infty }$ 模者关于 $B_{\infty }$ 模同态构成的范畴是 $(B,A{)}_{■}$ 模范畴之满子范畴, 含入函子具有左伴随 $B_{\infty }{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L-$.

证明. 唯一性比较容易, 先证. 由于 $B_{\infty }{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}{B}_{\infty }=B_{\infty }$, 如 $M$ 是有 $B_{\infty }$ 模结构的 $(B,A{)}_{■}$ 模, 那么 $M=M{\otimes }_A{A}_{■}$ 为一些 $B_{\infty }[S]{\otimes }_A^L{A}_{■}=B_{\infty }{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L(B,A{)}_{■}[S]$, $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 的平移的余极限, 故有 $B_{\infty }{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^{L}M=M$. 于是对这样的模 $M,N$, $$R{\mathrm{Hom}}_{B_{\infty }}(M,N)=R{\mathrm{Hom}}_{B_{\infty }}(B_{\infty }{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^{L}M,N)=R{\mathrm{Hom}}_{(B,A{)}_{■}}(M,N).$$对 ${\mathrm{id}}_M$ 用上式即得唯一性.

再证「当」. 如 $M$ 是 $B_{\infty }$ 模, 则上一段已经证明 $M=M{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{\infty }$, 故只需证$$B_{\infty }{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{■}=0.$$为此只需证对任意 $C\in \mathsf{D}(B_{■})$, $R{\mathrm{Hom}}_B(B_{\infty },C)=0$. 注意这里 $R{\mathrm{Hom}}_B$ 也是 $R{\mathrm{Hom}}_{(B,A{)}_{■}}$, 而定理的证明中已经说 $B_{\infty }$ 是 $\mathsf{D}((B,A{)}_{■})$ 的紧对象, 故这个 $R\mathrm{Hom}$ 与余极限交换, 于是可设 $C$ 右有界. 这样就可以用一些 $B_{■}[S]$, $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 的直和来消解 $C$, 便化归到已证式 6.10.1.

最后证「仅当」. 实际上我们来证明对一般的 $M$, $\mathrm{cofib}(M\to M{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{■})$ 是 $B_{\infty }$ 模. 由于 $M$ 是 $B_{\infty }$ 模当且仅当 $M=M{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{\infty }$, 该条件与余极限交换, 而 $M$ 为一些 $(B,A{)}_{■}[S]=A^I{\otimes }_{A}B$, $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 的平移的余极限, 故只需证 $M=A^I{\otimes }_{A}B$ 的情形. 此时由于 $\mathrm{coker}(A^I{\otimes }_{A}B\to B^I)$ 是 $B_{\infty }$ 模, 上一段已经证明其 $B$-固态化为 $0$, 而 $B^I$ 为 $B$-固态, 故 $B^I$ 就是 $A^I{\otimes }_{A}B$ 的 $B$-固态化, 即 $A^I{\otimes }_{A}B{\otimes }_{(B,A{)}_{■}}^L{B}_{■}=B^I$. 从而这个 $\mathrm{cofib}$ 就是 $\mathrm{coker}(A^I{\otimes }_{A}B\to B^I)$, 是 $B_{\infty }$ 模.

$\square$

这样便证明了定理 6.6.

注 6.12. 以后介绍解析环余极限之后便可引入一般的 $(A,R{)}_{■}$. 上面的蹩脚表达「$(B,A{)}_{■}$ 模中是 $B_{\infty }$ 模者」实际上就是 $(B_{\infty },A{)}_{■}$ 模.

习题 6.13. 证明对 $\mathbb{Z}$ 上有限型环对的同态 $f:(A,R)\to (B,S)$, 有自然的解析环同态 $f:(A,R{)}_{■}\to (B,S{)}_{■}$, 并描述伴随对 $(f^{\ast },f_{\ast })$.

术语翻译

解析 • 英文 analytic

预解析 • 英文 pre-analytic