应用: Suslin 定理

Suslin 定理指的是

定理 1. 复数的代数 理论 到复向量丛的 理论 有自然映射, 对所有正整数 诱导同构 .

本节假设以下 Suslin 刚性定理, 证明 Suslin 定理. 这个定理的证明参见 [Ga92].

定理 2. 对 Hensel 对 , 正整数 , 有 , 即自然映射 之后为同构.

先解释定理中的概念.

定义 3.代数 理论-幺半群生象 的群化, 其中 即有限生成投射 模的群胚, 视为生象. 一般记作 .

定义 4. 复向量丛的拓扑 理论-幺半群生象 的群化, 其中 指有限维复向量空间组成的拓扑群胚. 即考虑对象为自然数集 , 不同对象之间没有映射, 对象 的自同态幺半群为 的拓扑范畴, 将其视为无穷群胚. 为线性空间直和, 即 对角嵌入 . 由于 , 它也是有限维复内积空间群胚关于正交直和的群化. 一般记作 .

熟悉经典定义的读者可验证这与经典定义一致, 即 . 由于以下 Bott 周期律, 的结构比较简单:

定理 5.

故 Suslin 定理相当于联系了复杂的 和简单的 . 为证明此定理, 我们要将代数 理论定义到凝聚态环上.

定义 6., 定义由于 , , 这确实是个凝聚态谱. 如记 为其群化.

以下 不再表示复数域, 而将其视为凝聚态环. 表示其 理论, 为凝聚态谱. 显然 就是复数的代数 理论. 以下定理联系 , 表明后者是前者的「非 Archimedes」部分.

定理 7. , 其中右边指 作为凝聚态群的分类空间. 所以自然映射 给出 , 群化之后给出映射 . 该映射固态化之后为同构, 即 .

证明之前先回忆杠构造.

回忆. 对幺半群 , 其杠构造为单纯集 , 定义为 , , 即在第 个位置插一个 . 以 记其几何实现, 即余极限. 对 -幺半群 , , 其群化由 给出, 参见 [HA], 5.2.6.10.

证明. 对极不连通空间 , 上复值连续函数环 的有限生成投射模的群胚. 投射模的秩局部常, 而秩 处相当于凝聚态群 的主丛, 由引理 5.14 即知 . 由定理 5.13, , 故由以上 的具体构造以及 与余极限交换有再用以下引理即得结论.

引理 8. 中映射 诱导同构 , 则其诱导同构 .

证明. 由以上 的具体形式知 . 而 , 故这相当于 . 于是只需证: 如 中映射 诱导同构 , 则其诱导同构 .

叠计划 08N8, 伴随对 给出自然的增广单纯对象 , 其中 . 注意 分裂, 故自然映射 之后为同构, 所以其本来就是同构, 即 . 而条件 推出单纯对象 各项在固态化之后同构, 故其余极限 固态化之后也同构.

只剩证明 . 由于商 和固态化交换, 相当于证明 固态. 我们证明更强的

命题 9. 离散.

证明. 由命题 5.7, 只需证对任意 , , 与滤余极限交换得 与滤余极限交换, 所以上式左边即 , 其中 表示连续函数芽环. 这是局部环, 极大理想为 , 剩余域为复数. 用定理 2, 只需验证这是 Hensel 局部环, 即证任意形如的多项式都在 上有根. 注意 的根即映射 的不动点, 而故由 , 取 的足够小的紧邻域 可设上述映射为函数空间 上的压缩映射, 有不动点, 即 有在 取值 的根.

这样就证完了定理 1.

注 10. , 之类的凝聚态谱大而无章, 因为其同伦群中有形如 , 的东西. Clausen 在 [Copenhagen] 中说, 这种东西到「合理」对象的映射之中应有初始者. 对非 Archimedes 的 这应为 , 而对 他猜测