7. 仿射六函子

本节用上一节所发展的 $\mathbb{Z}$ 上有限型环的固态化理论来作仿射六函子. 也就是对 $\mathbb{Z}$ 上有限型环的同态 $f:R\to A$, 作$$(f^{\ast },f_{\ast }):\mathsf{D}(R_{■})\rightleftarrows \mathsf{D}(A_{■}),(f_{!},f^{!}):\mathsf{D}(A_{■})\rightleftarrows \mathsf{D}(R_{■}),$$并反哺拟凝聚层 Grothendieck 对偶. 这套东西相比经典代数几何的好处是我们真的有个 $f_{!}$. 这里面前一对伴随函子比较显然, 上一节中已经定义.

至于后一对, 我们模仿平展上同调的做法, 将 $f$ 分解成「开浸入」和「紧映射」. 与那里不同的是, 这里的「紧化」典范, 实际上就是 $(A,R{)}_{■}$. 考虑解析环的同态 $j:(A,R{)}_{■}\to A_{■}$, $\bar{f}:R_{■}\to (A,R{)}_{■}$. 欲将 $f_{!}$ 定义为 ${\bar{f}}_{\ast }{j}_{!}$, 须先定义 $j_{!}$. 为便于之后讨论定义与映射复合的相容性, 我们一并作出环对的 $j_{!}$.

命题 7.1. 对 $\mathbb{Z}$ 上有限型环的同态 $R\to S\to A$, 以 $j:(A,R{)}_{■}\to (A,S{)}_{■}$ 记解析环同态, 则 $j^{\ast }$ 有左伴随, 记为 $j_{!}$, 在 $S=R[x]$ 为一元多项式环时复合函子 $j_{!}{j}^{\ast }$ 有具体形式 $-{\otimes }_{(S,R{)}_{■}}^L(S_{\infty }/S)[-1]$, 其中 $S_{\infty }=R((x^{-1}))$ 如上一节. 一般地, $j_{!}$ 满忠实, $j^{\ast }{j}_{!}=\mathrm{id}$, $j_{!}{j}^{\ast }=-{\otimes }_{(S,R{)}_{■}}^L{j}_{!}S$; 这里滥用记号, 也用 $j$ 表示同态 $(S,R)\to (S,S)$.

证明. 由习题 6.8, 可不妨设 $S=R[x_1,\dots ,x_n]$ 为多项式环. 所以由归纳法只需证一元多项式情形. 此时先证如上具体形式确实给出左伴随 $j_{!}$. 这相当于证明 $j^{\ast }=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_S((S_{\infty }/S)[-1],-)$, 也就是说对于 $(A,R{)}_{■}$ 模 $M$, $M$ 的 $S$-固态化等于 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_S((S_{\infty }/S)[-1],M)$. 这件事与 $M$ 的 $A$ 模结构无关, 故只需对 $(S,R{)}_{■}$ 模证. 由命题 6.10 及 6.11, 只需证

•	$M$ 是 $S_{\infty }$ 模时 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_S((S_{\infty }/S)[-1],M)=0$.
•	$M$ 为 $S$-固态时 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_S((S_{\infty }/S)[-1],M)=M$.

前者是因为 $(S_{\infty }/S)[-1]{\otimes }_{(S,R{)}_{■}}^L{S}_{\infty }=0$, 而后者则是因为此时 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_S(S_{\infty },M)=0$ 从而 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_S((S_{\infty }/S)[-1],M)=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_S(S,M)=M$.

至于最后一句话, 将 $j^{\ast }{j}_{\ast }=\mathrm{id}$ 取左伴随即得 $j^{\ast }{j}_{!}=\mathrm{id}$, 然后由伴随函子抽象废话即知 $j_{!}$ 满忠实. 由于对 $M,N\in \mathsf{D}((A,R{)}_{■})$, $${\mathrm{Hom}}_A(j_{!}{j}^{\ast }M,N)={\mathrm{Hom}}_A(j^{\ast }M,j^{\ast }N)={\mathrm{Hom}}_A(M,j^{\ast }N)={\mathrm{Hom}}_A(M,R{\underline{\mathrm{Hom}}}_A(A,j^{\ast }N))={\mathrm{Hom}}_A(M,R{\underline{\mathrm{Hom}}}_S(j_{!}S,N))={\mathrm{Hom}}_A(M{\otimes }_{(S,R{)}_{■}}^L{j}_{!}S,N),$$所以 $j_{!}{j}^{\ast }=-{\otimes }_{(S,R{)}_{■}}^L{j}_{!}S$.

$\square$

注 7.2. 经典代数几何中 $j^{\ast }$ 并没有左伴随. 比如考虑 $j:A\to A[a^{-1}]$ 为主开集含入, 则我们知道, 一般地对无穷集 $I$ 并没有$$A^I{\otimes }_{A}A[a^{-1}]=A[a^{-1}{]}^I,$$于是 $j^{\ast }$ 并不保持极限, 不可能有左伴随. 但在固态化理论中有$$A^I{\otimes }_{A_{■}}A[a^{-1}{]}_{■}=A[a^{-1}{]}^I,$$所以一切都好了起来, 也有了下叹号.

这样就能定义 $f_{!}$.

定义 7.3. 对 $\mathbb{Z}$ 上有限型环对的同态 $f:(A,R)\to (B,S)$, 将其分解为 $\bar{f}:(A,R)\to (B,R)$, $j:(B,R)\to (B,S)$, 定义 $f_{!}={\bar{f}}_{\ast }{j}_{!}:\mathsf{D}((B,S{)}_{■})\to \mathsf{D}((A,R{)}_{■})$. 依定义, ${\bar{f}}_{\ast }$ 就是将 $\mathsf{D}((B,R{)}_{■})$ 中复形视为 $\mathsf{D}((A,R{)}_{■})$ 中. 由于两个导出范畴里的余极限都是复形余极限再 $R$-固态化, 所以 ${\bar{f}}_{\ast }$ 保持余极限. 这样一来 $f_{!}$ 保持余极限. 由伴随函子定理其有右伴随, 记为 $f^{!}$.

命题 7.4. 对 $\mathbb{Z}$ 上有限型环对的同态 $f:(A,R)\to (B,S)$, $g:(B,S)\to (C,T)$, $(gf{)}_{!}=f_{!}{g}_{!}$. 从而 $(gf{)}^{!}=g^{!}{f}^{!}$.

证明. 作交换图$$(A,R)(B,R)(C,R)(B,S)(C,S)(C,T)\bar{f}f{\bar{g}}^{\prime }j{j}^{\prime }\bar{g}gk$$由于 $f_{!}={\bar{f}}_{\ast }{j}_{!}$, $g_{!}={\bar{g}}_{\ast }{k}_{!}$, $(gf{)}_{!}=({\bar{g}}^{\prime }\bar{f}{)}_{\ast }(k{j}^{\prime }{)}_{!}={\bar{f}}_{\ast }{\bar{g}}_{\ast }^{\prime }{j}_{!}^{\prime }{k}_{!}$, 故只需证 $j_{!}{\bar{g}}_{\ast }={\bar{g}}_{\ast }^{\prime }{j}_{!}^{\prime }$. 这是因为对 $M\in \mathsf{D}((C,S{)}_{■})$, $${\bar{g}}_{\ast }^{\prime }{j}_{!}^{\prime }M={\bar{g}}_{\ast }^{\prime }(M{\otimes }_{(S,R{)}_{■}}^L{j}_{!}^{\prime }S)={\bar{g}}_{\ast }M{\otimes }_{(S,R{)}_{■}}^L{j}_{!}S=j_{!}{\bar{g}}_{\ast }M.$$其中第二个等号是因为这些张量积的 $B$ 模、$C$ 模结构只来源于第一个张量因子, 而下星无非是把 $C$ 模忘却为 $B$ 模.

$\square$

注 7.5. 在无穷范畴的语境下这一命题比较微妙, 不能指望复合与下叹号严格交换. 正确的陈述方式是用 Descartes 纤维化.

$(f_{!},f^{!})$ 在以下特殊情形有较好性质:

定理 7.6. 将 $\mathbb{Z}$ 上有限型环同态 $f:R\to A$ 视为环对同态 $f:(R,R)\to (A,A)$, 仍记 $j:(A,R)\to (A,A)$, $\bar{f}:(R,R)\to (A,R)$. 则 $f_{!}$ 保持伪凝聚对象, $f^{!}$ 保持离散对象, 且有投影公式$$f_{!}(f^{\ast }M{\otimes }_{A_{■}}^{L}N)=M{\otimes }_{R_{■}}^L{f}_{!}N$$以及内伴随性$$R{\underline{\mathrm{Hom}}}_A(N,f^{!}M)=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_R(f_{!}N,M)$$对 $M\in \mathsf{D}(R_{■})$, $N\in \mathsf{D}(A_{■})$, 其中等号右边的 $A$ 模结构来自 $j_{!}N$. 特别地, $f^{!}M=R{\mathrm{Hom}}_R(f_{!}A,M)$.

当 $f$ 具有有限 $\mathrm{Tor}$ 维数时, $f_{!}$ 保持紧对象, $f^{!}$ 与余极限交换, 保持完美复形, 且$$f^{!}M=f^{\ast }M{\otimes }_A^L{f}^{!}R$$对 $M\in \mathsf{D}(R_{■})$.

证明. 对保持拟凝聚性与紧性, 由于 $\mathsf{D}(A_{■})$ 中伪凝聚对象为一些 $A^I$ 构成的右有界复形, 紧对象为其中有界者的直和项, 故只需证 $f_{!}{A}^I$ 伪凝聚, 且在 $f$ 具有有限 $\mathrm{Tor}$ 维数时紧. 可将 $f$ 分解为一元多项式环与满射分别证. $A=R[x]$ 时$$f_{!}{A}^I={\bar{f}}_{\ast }{j}_{!}{A}^I={\bar{f}}_{\ast }{j}_{!}{j}^{\ast }(R^I{\otimes }_{R}A)=R^I{\otimes }_{R}A{\otimes }_{(A,R{)}_{■}}^L(A_{\infty }/A)[-1]=R^I{\otimes }_{R_{■}}^L(A_{\infty }/A)[-1]=R^{I\times \omega }[-1]$$为 $\mathsf{D}(R_{■})$ 中紧. $f:R\twoheadrightarrow A$ 时 $f_{!}=f_{\ast }$, $f_{!}{A}^I$ 即 $A^I$ 视为 $R$ 模. 由 $R$ Noether, 取 $A$ 的有限自由 $R$ 模消解 $C_{\bullet }\to A$, 得 $A^I=C_{\bullet }^I$ 为 $\mathsf{D}(R_{■})$ 中伪凝聚. 当 $f$ 具有有限 $\mathrm{Tor}$ 维数时, 分解出来的满射也具有有限 $\mathrm{Tor}$ 维数. 此时 $C_{\bullet }$ 可取成有界复形, 从而 $f_{!}{A}^I$ 紧.

投影公式是因为$$f_{!}(f^{\ast }M{\otimes }_{A_{■}}^{L}N)={\bar{f}}_{\ast }{j}_{!}{j}^{\ast }({\bar{f}}^{\ast }M{\otimes }_{(A,R{)}_{■}}^{L}N)=((M{\otimes }_R^{L}A){\otimes }_{(A,R{)}_{■}}^{L}N){\otimes }_{(A,R{)}_{■}}^L{j}_{!}A=M{\otimes }_{R_{■}}^L(N{\otimes }_{(A,R{)}_{■}}^L{j}_{!}A)=M{\otimes }_{R_{■}}^L{f}_{!}N.$$作从投影公式出发的 $\mathrm{Hom}$, 由张量积和 $R\underline{\mathrm{Hom}}$ 伴随, 立得内伴随性. 于是如 $M$ 离散, 由 $f_{!}A$ 伪凝聚以及 $R{\underline{\mathrm{Hom}}}_R(R^I,M)=M^{\oplus I}$ 离散即知 $f^{!}M=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_R(f_{!}A,M)$ 离散.

下设 $f$ 具有有限 $\mathrm{Tor}$ 维数. 此时 $f^{!}$ 与余极限交换是因为 $\mathsf{D}(A_{■})$ 紧生成且 $f_{!}$ 保持紧对象. 欲证 $f^{!}$ 保持完美复形, 只需证 $f^{!}R$ 为完美 $A$ 复形. 仍将 $f$ 分解为一元多项式环与满射分别证. $A=R[x]$ 时$$f^{!}R=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_R(f_{!}A,R)=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_R((A_{\infty }/A)[-1],R)=A[1]$$甚至是可逆复形, 其中配对 $A\times A_{\infty }/A\to R$ 为留数配对, 即乘起来取 $-1$ 次项系数. $f:R\twoheadrightarrow A$ 时由 $\mathrm{Tor}$ 维数有限, $f_{!}A=f_{\ast }A\in \mathsf{D}(R)$ 完美, 得 $f^{!}R=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_R(f_{!}A,R)$ 为完美 $R$ 复形, 然后由叠计划 0658 即完美等价于伪凝聚且 $\mathrm{Tor}$ 范围有限, 不难得到其作为 $A$ 复形亦完美.

对 $M\in \mathsf{D}(R_{■})$, 有自然同态$$M=R{\underline{\mathrm{Hom}}}_R(R,M)\to R{\underline{\mathrm{Hom}}}_R(f_{!}{f}^{!}R,M)=f_{\ast }R{\underline{\mathrm{Hom}}}_A(f^{!}R,f^{!}M).$$由伴随这给出自然同态 $f^{\ast }M{\otimes }_A^L{f}^{!}R\to f^{!}M$. 两边都与 $M$ 的余极限交换, 而 $\mathsf{D}(R_{■})$ 由形如 $R^I$ 者生成, 故只需验证 $M=R^I$ 情形它是同构. 事实上$$f^{\ast }(R^I){\otimes }_A^L{f}^{!}R=A^I{\otimes }_A^L{f}^{!}R=(f^{!}R{)}^I=f^{!}(R^I),$$其中第一个等号是因为 $R^I$ 和 $A^I$ 分别是解析环 $R_{■}$ 和 $A_{■}$ 的自由模; 第二个等号是因为 $f^{!}R$ 完美; 第三个等号是因为 $f^{!}$ 是右伴随, 和极限交换.

$\square$

由于这里的 $f^{!}$ 保持离散对象, 它还原了经典对偶理论中的 $f^{!}$.