稳定向量丛

稳定向量丛是一类全纯向量丛或代数向量丛, 主要应用于向量丛的模空间理论中. 这些向量丛没有非平凡的自同态, 故而其模叠具有较好的性质, 常常可以构造出概形作为模空间; 而若考虑一般的向量丛, 则通常只有模叠, 而没有这样好的模空间.

向量丛的稳定性来源于几何不变量理论中的稳定性. 然而, 这种稳定性在弦论中有一种自然的解释, 来源于 [Douglas–Fiol–Römelsberger 2005], 另见 [nLab] 的解释. 大致地说, 向量丛对应于 D 膜, 其中的稳定向量丛则对应于 BPS 态.

1定义

代数曲线上

定义 1.1. 设 $X$ 是紧 Riemann 面, $E$ 是 $X$ 上的全纯向量丛.

•	$E$ 的次数定义为$$\mathrm{deg}(E)=\frac{c_1(E)}{\omega }\in \mathbb{Z},$$其中 $\omega \in H^2(X;\mathbb{Z})$ 是 $X$ 的定向类.

•	$E$ 的斜率定义为$$\mu (E)=\frac{\mathrm{deg}(E)}{\mathrm{rank}(E)}\in \mathbb{Q},$$其中 $\mathrm{rank}(E)$ 是 $E$ 的秩.

•	$E$ 称为稳定向量丛, 若对任意子丛 $0⊊F⊊E$, 都有$$\mu (F)<\mu (E).$$

•	$E$ 称为半稳定向量丛, 若对任意子丛 $0⊊F⊊E$, 都有$$\mu (F)\le \mu (E).$$

•	$E$ 称为不稳定向量丛, 若 $E$ 不是半稳定向量丛.

一般定义

2相关概念

•	稳定性条件 ∘ Bridgeland 稳定性条件
•	稳定主丛
•	Donaldson–Uhlenbeck–丘定理

3参考文献

•	Michael R. Douglas, Bartomeu Fiol, Christian Römelsberger (2005). “Stability and BPS branes”. J. High Energy Phys. 2005 (09), 006, 14 pp. arXiv: hep-th/0002037. (doi)

•	nLab. Bridgeland stability condition.

术语翻译

稳定向量丛 • 英文 stable vector bundle • 德文 stabiles Vektorbündel • 法文 fibré vectoriel stable

半稳定向量丛 • 英文 semistable vector bundle • 德文 semistabiles Vektorbündel • 法文 fibré vectoriel semistable