用户: 秋逸笛/加元曲线 (adelic curve) 初步/乘积公式

本节介绍函数域、数域、算术函数域 ($\mathbb{Q}(X)$) 上的乘积公式

1函数域的乘积公式

令 $C$ 为代数闭域 $k$ 上的光滑曲线, $\Omega =C(k)$ 是所有 $k$ 点的集合, $k(C)$ 为 $C$ 的 函数域, 则

定理 1.1. $\forall f\in k(C{)}^{\times },{\sum }_{\omega \in \Omega }{\mathrm{ord}}_{\omega }(f)=0$

2数域上的乘积公式

定理 2.1. 记 $M_K$ 为数域 $K$ 的所有位点, $||\cdot |{|}_v$ 为归一化的绝对赋值, 那么$$\forall x\in K^{\times },\prod _{v\in M_K}||x|{|}_v=1$$

(先跳过证明)

3$\mathbb{Q}(X)$ 上的乘积公式

令 $K=\mathbb{Q}(X)$ 是有理数域上的一元函数域. 那么, 对任何闭点 $x\in {\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}}^1=\mathrm{Spec}(\mathbb{Q}[X])$, 存在不可约多项式 $F_x(X)\in \mathbb{Z}[X]$ 使得 $x$ 对应的素理想正是由 $F_x$ 生成的, 且 $F_x$ 在相差±1 的意义下是唯一的. 令$$H(x):=e^{{\int }_0^1\log |F_x(e^{2\pi it})|dt}$$

($H$ 即 $x$ 以及 $F_x$ 的马勒测度). 简单计算知

引理 3.1 (琴生公式). 考虑复数域上的因式分解 $F_x=a_d{x}^d+\cdots +a_0=a_d(X-{\alpha }_1)\cdots (X-{\alpha }_d)$, 则$$H(x)=|a_d|\prod _{j=1}^d\max \{1,|{\alpha }_j|\}\ge 1$$

证明. 提示: 先证一次的情况. 略...

$\square$

由于 $\mathbb{Q}[X]$ 是唯一分解整环, 对任何 $F\in \mathbb{Q}(X)$, 有分解 $F=F_x^{a}G$ 使得 $G$ 与 $F$ 互素. 我们直接定义

定义 3.2. ${\mathrm{ord}}_x(F):=a$

定义 3.3 (横平赋值). $|\cdot {|}_x:\forall \phi \in \mathbb{Q}(X),|\phi {|}_x=H(x{)}^{-{\mathrm{ord}}_x(\phi )}$

不难知道 $|\cdot {|}_x$ 定义了一个 $\mathbb{Q}(X)$ 上的绝对赋值. 称这种来自 $x\in \mathrm{Spec}(\mathbb{Q}[X])\backslash \{0\}$ 的为横平的

对素数 $p$, 定义绝对赋值 $|\cdot {|}_p$ 为:

定义 3.4 (竖直赋值). $|\cdot {|}_p:\forall \frac{a_n{X}^n+\cdots +a_0}{b_m{X}^m+\cdots +b_0}\in \mathbb{Q}(X)$, 定义$${\left|\frac{a_n{X}^n+\cdots +a_0}{b_m{X}^m+\cdots +b_0}\right|}_p=\frac{\max \{|a_n{|}_p,\cdots ,|a_0{|}_p\}}{\max \{|b_m{|}_p,\cdots ,|b_0{|}_p\}}$$

不难知道 $|\cdot {|}_p$ 也是 $\mathbb{Q}(X)$ 上的绝对赋值. 称这种来自 $p\in \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})\backslash \{0\}$ 的赋值为竖直的.

横平和竖直的赋值统称为于有限远位的赋值.

对 $[0,1{]}_{\ast }:=\{t\in [0,1]:e^{2\pi it}是超越数\}$ 的元素 $t$, 定义于无穷远位 $t$ 的绝对赋值 $|\cdot {|}_t$ 为:

定义 3.5 (无穷远位). $|\cdot {|}_t:\forall \phi \in \mathbb{Q}(X),|\phi {|}_t=|\phi (e^{2\pi it})|$

其中右边的 $|\cdot |$ 为复数的模长. 不难验证这种赋值是阿基米德的.

整理上文, 我们已经有了来自

定义 3.6 ($\mathbb{Q}(X)$ 的绝对赋值). $$\{\begin{array}{rl}{\Omega }_{横}:=& \mathrm{Spec}(\mathbb{Q}[X])\backslash \{0\}\\ {\Omega }_{竖}:=& \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})\backslash \{0\}\\ {\Omega }_{有限}:=& {\Omega }_{横}⨆{\Omega }_{竖}\\ {\Omega }_{\infty }:=& [0,1{]}_{\ast }\\ \Omega :=& {\Omega }_{有限}⨆{\Omega }_{\infty }\end{array}$$

的各种绝对赋值. 考虑全体这些赋值, 有:

命题 3.7 ($\mathbb{Q}(X)$ 上的乘积公式). $\forall f\in \mathbb{Q}(X{)}^{\times }$, $$\sum _{\omega \in {\Omega }_{有限}}\log |f{|}_{\omega }+{\int }_{[0,1{]}_{\ast }}\log |f{|}_{\omega }d\omega =0$$这里积分是在通常的勒贝格测度上做.

证明是容易的.