广义 Riemann 猜想

广义 Riemann 猜想是 Riemann 猜想的一系列推广, 有多种越来越广的形式, 最广者是关于算术 $\zeta$ 函数的.

1Dirichlet $L$ 函数

猜想 1.1. 对 Dirichlet 特征 $\chi$, 其 $L$ 函数 $L(s,\chi )$ 在区域 $0<\Re (s)<1$ 内的零点都在 $\Re (s)=1/2$ 上.

注 1.2. 此处需限制在 $0<\Re (s)<1$ 内, 是因为当 $\chi$ 不为本原特征或 $\chi (-1)=1$ 时, $L(s,\chi )$ 在 $\Re (s)=0$ 上会出现零点.

2Dedekind $\zeta$ 函数

猜想 2.1. 对数域 $K$, 其 Dedekind $\zeta$ 函数 ${\zeta }_K(s)$ 在区域 $0<\Re (s)<1$ 内的零点都在 $\Re (s)=1/2$ 上.

注 2.2. 对正整数 $n$, 取 $K=\mathbb{Q}({\zeta }_n)$, 则$${\zeta }_K(s)=\prod _{\chi \in ((\mathbb{Z}/n{)}^{\times }{)}^{\ast }}L(s,\chi ),$$所以分圆域 Dedekind $\zeta$ 函数的 Riemann 猜想等价于 Dirichlet $L$ 函数的 Riemann 猜想.

注 2.3. 这里限制在区域 $0<\Re (s)<1$ 是因为外面的零点都相对 “平凡”, 实际上来自 $\zeta$ 函数定义中无穷位点的欠缺. 如将其乘上表示无穷位点的因子, 则猜想可陈述为所有的零点都在 $\Re (s)=1/2$ 上.

3算术 $\zeta$ 函数

猜想 3.1. 对 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形 $X$, 设 $n=\dim X$. 则其算术 $\zeta$ 函数 ${\zeta }_X(s)$ 在区域 $0<\Re (s)<n$ 内的零点实部都是半整数, 极点实部都是整数.

注 3.2. 如 $X$ 在某个 ${\mathbb{F}}_p$ 上, 则这是 Weil 猜想, 已被 Grothendieck 和 Deligne 于 20 世纪六七十年代解决. 如 $K$ 是数域, $X=\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_K$, 则这就是 Dedekind $\zeta$ 函数的 Riemann 猜想.

注 3.3. 和上面一样, 这里限制在区域 $0<\Re (s)<n$ 是因为外面的零点都相对 “平凡”, 来自无穷位点的欠缺. 如将其乘上适当的表示无穷位点的因子, 则猜想可陈述为所有零点实部都是 $[0,n]$ 中的半整数, 所有极点实部都是 $[0,n]$ 中的整数.

4相关概念

•	Riemann 猜想
•	大 Riemann 猜想
•	$L$ 函数

术语翻译

广义 Riemann 猜想 • 英文 generalized Riemann hypothesis • 德文 verallgemeinerte Riemannsche Vermutung • 法文 hypothèse de Riemann généralisée