上半连续函数

上半连续是拓扑空间上函数的一个较弱的连续性条件, 大致来说, 连续是说自变量小幅变化时函数值也小幅变化; 上半连续则是说自变量小幅变化时函数值不会大幅增大 (见命题 2.1), 不过可能大幅减小.

1定义

定义 1.1 (上半连续函数). 设 $X$ 为一拓扑空间, 如果函数 $u:X\to [-\infty ,\infty )$ 满足: $$对任意的a\in \mathbb{R},u^{-1}([-\infty ,a))是开集,$$则称 $u$ 为上半连续函数.

注 1.2. 由定义可知, 将上半连续限制在子空间上可得到子空间上的上半连续函数.

注 1.3. 如果函数 $u:X\to (-\infty ,\infty ]$ 满足 $-u$ 是上半连续函数, 那么我们称 $u$ 为下半连续函数.

2基本性质

命题 2.1 (通过极限的刻画). $u$ 为拓扑空间 $X$ 上的上半连续函数当且仅当对于任意的 $x\in X$, 我们有$$\underset{y\to x}{\mathrm{limsup}}u(y):=\underset{U_x\in \mathcal{U}}{\inf }\underset{y\in U_x}{\sup }u(y)=u(x)$$这里的 $\mathcal{U}$ 表示 $x$ 的所有开邻域.

证明.

证明. 由定义可知$$\underset{y\to x}{\mathrm{limsup}}u(y)=\underset{U_x\in \mathcal{U}}{\inf }\underset{y\in U_x}{\sup }u(y)\ge u(x)$$故只需证不等式的另一边,

$\square$

命题 2.2 (紧集上的上半连续函数). 设 $u$ 为拓扑空间 $X$ 上的上半连续函数, $K$ 为 $X$ 中的紧子集. 那么 $u$ 可在 $K$ 上取到 ($K$ 上的) 极大值, 即存在 $x\in K$, 使得$$u(x)=\underset{y\in K}{\sup }u(y)<\infty$$

命题 2.3. 设 $u$ 为拓扑空间 $X$ 上的上半连续函数

1.	上半连续函数的有限正线性组合是上半连续的
2.	设 $\chi :I\to \mathbb{R}$ 为 $\mathbb{R}$ 的一个区间 $I$ 上的递增, 凸函数, 且 $u(X)\subset I$. 那么 $\chi \circ u$ 是上半连续函数.
3.	设 $(u_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ 为一族上半连续函数, 那么 $u={\inf }_{\alpha \in A}{u}_{\alpha }$ 是上半连续函数.

如果 $X=(X,d)$ 是度量空间, 那么 $X$ 上的上半连续函数将有更好的性质:

命题 2.4 (度量空间上的上半连续函数). 设 $u$ 为度量空间 $(X,d)$ 上的上半连续函数, 那么存在一列单调下降的连续函数 $u_1\ge u_2\ge \cdots$ 使得$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=u$$

3上半连续正规化

在此节中我们假设 $X$ 是度量空间 $(X,d)$.

定义 3.1 (上半连续正规化). 设 $X$ 为一个度量空间, $Y$ 为 $X$ 的一个子空间. 对 $u:Y\to [-\infty ,\infty )$ 为 $Y$ 上的函数, 我们定义 $u$ 的上半连续正规化为 $\overline{Y}$ 上的函数 $u^{\ast }:\overline{Y}\to [-\infty ,\infty )$, 对于 $\overline{Y}$ 上的每一点 $x\in \overline{Y}$, 我们有$$u^{\ast }(x)=\underset{y\to x}{\mathrm{limsup}}u(y)=\underset{ϵ>0}{\inf }\underset{y\in B_{ϵ}(x)\cap Y}{\sup }u(y)$$

注 3.2. 我们定义 $u:Y\to (-\infty ,\infty ]$ 的下半连续正规化为 $u_{\ast }:=-(-u{)}^{\ast }$.

命题 3.3.

1.	$u^{\ast }:\overline{Y}\to [-\infty ,\infty )$ 是上半连续函数
2.	若 $u\le v$, 则 $u^{\ast }\le v^{\ast }$

定理 3.4 (Choquet 定理). 设 $(X,d)$ 是可分度量空间, $(u_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ 为一族 $X$ 上的函数, $u_{\alpha }:X\to [-\infty ,\infty )$

1.	若 $(u_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ 上半连续, 则 $u={\inf }_{\alpha \in A}{u}_{\alpha }$ 上半连续. 且存在 $A$ 的可数子集 $A^{\prime }$ 使得 $u={\inf }_{\alpha \in A^{\prime }}{u}_{\alpha }$.
2.	若 $(u_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ 局部有上界, 则 $u=({\sup }_{\alpha \in A}{u}_{\alpha }{)}^{\ast }$ 上半连续. 且存在 $A$ 的可数子集 $A^{\prime }$ 使得 $({\sup }_{\alpha \in A}{u}_{\alpha }{)}^{\ast }=({\sup }_{\alpha \in A^{\prime }}{u}_{\alpha }{)}^{\ast }$

4相关概念

•	连续函数
•	次调和函数
•	下半连续函数

术语翻译

上半连续函数 • 英文 upper semi-continuous function • 德文 oberhalbstetige Funktion • 法文 fonction supérieurement semicontinue • 拉丁文 functio super semicontinua

上半连续性 • 英文 upper semi-continuity • 德文 oberhalbstetigkeit • 法文 semicontinuité supérieure • 拉丁文 semicontinuitas superior

上半连续正规化 • 英文 upper semi-continuous regularization