Kronecker 逼近定理

约定. 在本文中,

• 对 $x\in \mathbb{R}$, $\lfloor x\rfloor$ 表示取整, 即不超过 $x$ 的最大整数;
• $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ 即取小数部分;
• $\Vert x\Vert$ 是 $x$ 到最近整数的距离.
• 对向量 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$, $\Vert \alpha {\Vert }_p$ 表示其 $p$ 范数.

Kronecker 逼近定理是 Leopold Kronecker 在 1884 年一篇论文中证明的 Diophantos 逼近定理, 一个经典版本的叙述是: 如果 $1,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 在 $\mathbb{Z}$ 线性无关, 那么当 $q$ 取遍全体整数时, $(\{q{\alpha }_1\},\cdots ,\{q{\alpha }_n\})\in [0,1{)}^n$ 稠密.

1叙述与证明

定理 1.1 (Kronecker). 同态 $f:{\mathbb{Z}}^n\to {\mathbb{T}}^m$ 像集稠密, 当且仅当对偶同态 $f^{\ast }:{\mathbb{Z}}^m\to {\mathbb{T}}^n$, 即映射 $\mathrm{Hom}({\mathbb{T}}^m,\mathbb{T})\to \mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^n,\mathbb{T})$, $g\mapsto g\circ f$, 为单.

用紧群理论

证明. 由同构定理有 $\ker (f^{\ast })=\mathrm{Hom}({\mathbb{T}}^m/\overline{\mathrm{im}(f)},\mathbb{T})$, 所以当 $\overline{\mathrm{im}(f)}={\mathbb{T}}^m$ 时显然有 $\ker (f^{\ast })=0$, 即 $f$ 的像稠密推出 $f^{\ast }$ 单. 反过来如 $f$ 的像不稠密, 则 ${\mathbb{T}}^m/\overline{\mathrm{im}(f)}$ 是非平凡、交换的紧群, 由紧群的理论知它到 $\mathbb{T}$ 有非平凡同态. (比如由 Peter–Weyl 定理知其有非平凡表示, 注意交换群不可约表示都是一维, 所以非平凡不可约酉表示就给出群到 $\mathbb{T}=\mathrm{U}(1)$ 的非平凡同态.) 于是 $\ker (f^{\ast })\ne 0$.

$\square$

用 Weyl 判别法

证明. 如 $f$ 的像集稠密, 则连续同态 $g:{\mathbb{T}}^m\to \mathbb{T}$ 被其在 $f$ 的像集的限制决定, 即 $f^{\ast }$ 单. 反过来如对偶同态 $f^{\ast }$ 单, 我们来说明更强的一致分布, 即对开方块 $U\subseteq {\mathbb{T}}^m$ 都有$$\underset{N_1,\dots ,N_n\to \infty }{\lim }\frac{\#\{a\in {\mathbb{Z}}^n\cap [0,N_1)\times \cdots \times [0,N_n)\mid f(a)\in U\}}{N_1\cdots N_n}=\mathrm{vol}(U),$$其中 $\mathrm{vol}$ 表示 Lebesgue 测度. 由 Weyl 判别法, 只需对任一 $k\in {\mathbb{Z}}^m\setminus 0$ 证明$$\underset{N_1,\dots ,N_n\to \infty }{\lim }\frac{1}{N_1\cdots N_n}\sum _{a\in {\mathbb{Z}}^n\cap [0,N_1)\times \cdots \times [0,N_n)}\mathbf{e}(⟨k,f(a)⟩)=0,$$其中 $\mathbf{e}(x)=\exp (2\pi \mathrm{i}x)$, 而 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 表示内积 ${\mathbb{Z}}^m\times {\mathbb{T}}^m\to \mathbb{T}$. 由 $f^{\ast }$ 的定义, $⟨k,f(a)⟩=⟨a,f^{\ast }(k)⟩$, 其中等号右边 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 表示内积 ${\mathbb{Z}}^n\times {\mathbb{T}}^n\to \mathbb{T}$. 记 $f^{\ast }(k)=(t_1,\dots ,t_n)\in {\mathbb{T}}^n$, 则由乘法分配律, 上式左边等于$$\underset{N_1,\dots ,N_n\to \infty }{\lim }\prod _{j=1}^n\frac{1}{N_j}\sum _{a_j=0}^{N_j}\mathbf{e}(a_j{t}_j).$$由于 $f^{\ast }$ 单, $k\ne 0$, 存在 $i\in \{1,\dots ,n\}$ 使得 $t_i\ne 0$. 于是对乘积式第 $i$ 个因子用等比数列求和, 其余用 $|\mathbf{e}(x)|\le 1$ 粗犷放缩, 有$$\underset{N_1,\dots ,N_n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\left|\prod _{j=1}^n\frac{1}{N_j}\sum _{a_j=0}^{N_j}\mathbf{e}(a_j{t}_j)\right|\le \underset{N_i\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{N_i}\frac{|1-\mathbf{e}(N_i{t}_i)|}{|1-\mathbf{e}(t_i)|}\le \underset{N_i\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{N_i}\frac{2}{|1-\mathbf{e}(t_i)|}=0,$$此即欲证.

$\square$

注 1.2. 事实上该证明的 $\mathbf{e}(⟨\cdot ,x⟩)$ 就是上一个证明的不可约表示. 此种等分布问题一般都与群表示有关.

初等方法

本小节中我们把定理 1.1 初等地重述如下:

定理 1.3 (Kronecker). 设 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 是 $m$ 行 $n$ 列的实矩阵, 那么如下两条件等价:

1.	对任意 $ϵ>0$ 和列向量 $\beta \in {\mathbb{R}}^m$, 存在 $\alpha \in {\mathbb{Z}}^n,\gamma \in {\mathbb{Z}}^m$ 使得$$\Vert A\alpha -\beta -\gamma {\Vert }_{\infty }\le ϵ,$$
2.	$\{\gamma \in {\mathbb{Z}}^m:A^{\mathrm{T}}\gamma \in {\mathbb{Z}}^n\}=\{0\}$.

证明. 先证较易的 1 推 2. 反设 2 不真, 即存在 $A^{\mathrm{T}}\gamma \in {\mathbb{Z}}^n,\gamma \in {\mathbb{Z}}^m\backslash \{0\}$. 这说明 $A\alpha$ 总落在 $S=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m:{\gamma }^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\in \mathbb{Z}\}$ 内. 注意到这些超平面的距离两两不小于 $\Vert \gamma {\Vert }_2^{-1}$, 故 $S$ 不在整个 ${\mathbb{R}}^m$ 稠密. 由 $S$ 平移到每个整点取并还是 $S$ 自身和 $S$ 是非稠密闭集, 1 的逼近无法对 $\beta \notin S$ 达成.

对于 2 推 1, 我们引入下一系列定义和数个引理.

定义 1.4. 设 $\Gamma$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个 $n$ 维的完备格, $C$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个关于 $0$ 中心对称, 维度 $n$ 的有界凸闭集 (下文中遇见的凸集 $C$ 和格 $\Gamma$ 如无特别说明, 始终要求这些条件). 记$$\begin{array}{rl}\lambda (C,\Gamma )& :=\inf \{\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}:\lambda C\cap \Gamma \ne \{0\}\},\\ \mu (C,\Gamma )& :=\inf \left\{\mu \in {\mathbb{R}}_{+}:\bigcup _{\gamma \in \Gamma }(\mu C+\gamma )={\mathbb{R}}^n\right\}.\end{array}$$再记$$\begin{array}{rl}{\Gamma }^{\ast }& :=\{\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n:{\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\in \mathbb{Z},\forall \mathbf{x}\in \Gamma \}\\ C^{\ast }& :=\{\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n:{\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\le 1,\forall \mathbf{x}\in C\}\end{array}$$显然 ${\Gamma }^{\ast },C^{\ast }$ 也是符合条件的格和凸闭集.

最后定义度量 $d_C(x,y)=\inf \{d\in {\mathbb{R}}_{+}:x\in y+dC\}$, 显然它满足正定, 对称和三角不等式.

引理 1.5. 给定 $\Gamma$ 和 $C$, 记$${\mu }_k=\inf \left\{\mu \in {\mathbb{R}}_{+}:\bigcup _{\gamma \in \Gamma }(\mu C+\gamma )\text{ 与一切 }n-k\text{ 维仿射子空间都相交}\right\}.$$则 $2{\mu }_{k-1}\ge {\mu }_k$ 对一切 $1<k\le n$. 另外 ${\mu }_1\le 1/\lambda (C^{\ast },{\Gamma }^{\ast })$

引理证明.

引理证明. 对 $2{\mu }_{k-1}\ge {\mu }_k$ 只需证 $k=n$, 其余情况投影即可. 记 $\lambda =\lambda (C,\Gamma )$, 现取定 $v\in (\lambda C\cap \Gamma )\backslash \{0\}$ 相当于格点中到 $0$ 的 $d_C$ 距离最小者, $V=\mathbb{R}v$, $\pi$ 是沿着 $V$ 投到 $V^{\perp }$ 的投影算子, 以下为行文方便记 $\pi (\bullet )={\bullet }^{\prime }$. 对任意 $p\in {\mathbb{R}}^n$ 下证 $p\in 2{\mu }_{n-1}C+\Gamma$, 换言之 $d_C(p,\Gamma )\le 2{\mu }_{n-1}$. 分类讨论如下:

1 倘若 $p^{\prime }\notin {\Gamma }^{\prime }$. 此时 $p^{\prime }\in {\mu }_{n-1}{C}^{\prime }+l_1^{\prime }=S$ 对某 $l_1\in \Gamma$. 设 $w$ 在 $S\subset V^{\perp }$ 的边界且在 $l_1^{\prime }{p}^{\prime }$ 射线上. 因为 ${\mu }_{n-1}{C}^{\prime }+{\Gamma }^{\prime }=V^{\perp }$ 故 $w\in {\mu }_{n-1}{C}^{\prime }+l_2^{\prime }$ 且 $l_1^{\prime }\ne l_2^{\prime },l_2\in \Gamma$. 设 $s_1,s_2$ 是过 $l_1^{\prime },l_2^{\prime }$ 平行 $v$ 的直线. 我们声称: $p$ 到 $s_1$ 和 $s_2$ 直线上的 $\Gamma$ 格点 $d_C$ 距离最小者不超过 $2{\mu }_{n-1}$. 利用 $w$ 过渡我们知道: $$d_C(s_1,s_2)\le d_C(p^{\prime },l_1^{\prime })+d_C(p^{\prime },w)+d_C(w,l_2^{\prime })\le 2{\mu }_{n-1}.$$由 $\lambda$ 定义, $s_1$ 上的一个格点到 $s_2$ 距离最近的两个格点的和不超过 $4{\mu }_{n-1}+\lambda \ge 2\lambda$, 这推出 $\lambda \le 4{\mu }_{n-1}$. 另一方面 $p$ 到 $s_1$ 和 $s_2$ 距离最近的各两个, 共四个格点的距离和不超过 $4{\mu }_{n-1}+2\lambda \le 8{\mu }_{n-1}$. 于是 $p$ 到最近格点距离不超过 $2{\mu }_{n-1}$.

2 倘若 $p^{\prime }\in {\Gamma }^{\prime }$, 因为 $\lambda \le 4{\mu }_{n-1}$ 与 $p$ 的选取无关故它仍然成立, 设 $s$ 是过 $p^{\prime }$ 平行 $v$ 的直线, 这次 $p$ 到 $s$ 上最近的两个格点距离的和是 $\lambda$ 于是总有一个格点与 $p$ 距离不超过 $2{\mu }_{n-1}$.

对于 ${\mu }_1\le 1/\lambda (C^{\ast },{\Gamma }^{\ast })$, 只需证明对 $\lambda <\lambda (C^{\ast },{\Gamma }^{\ast })$, 总有 $C/\lambda +\Gamma$ 和每个超平面都相交. 假如它与 ${\alpha }^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=b$ 不交, 可设 $\alpha \in {\Gamma }^{\ast }$ 否则 $\Gamma$ 中的点可任意逼近该平面. 再令此时 $b$ 为 ${\alpha }^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=b$ 与 $C^{\circ }/\lambda$ 不交的最小正实数. 此时 $b\le 1$ 因为 $b$ 加任意整数仍满足不交条件, 此时 $\lambda C^{\ast }$ 含 $\alpha \in {\Gamma }^{\ast }$ 而矛盾.

至此, 引理得证.

$\square$

推论 1.6. $\lambda (C^{\ast },{\Gamma }^{\ast })\mu (C,\Gamma )\le 2^{n-1}$ 对一切 $\Gamma$ 和 $C$ 成立.

推论证明. 由前一引理, 注意到 $\mu (C,\Gamma )={\mu }_n$ 即得.

$\square$

引理 1.7. 若 $Q,ϵ$ 是正实数, 使得对一切不全为 $0$ 的整数 $g_1,\cdots ,g_m$ 总有$$Q\sum _{j=1}^n\Vert g_1{A}_{1j}+\cdots +g_m{A}_{mj}\Vert +ϵ\sum _{i=1}^m|g_i|\ge 2^{m+n-1},$$那么对一切 $\beta \in {\mathbb{R}}^m$, 存在 $\alpha \in {\mathbb{Z}}^n,\gamma \in {\mathbb{Z}}^m$ 使$$\Vert A\alpha -\beta -\gamma {\Vert }_{\infty }\le ϵ,\Vert \alpha {\Vert }_{\infty }\le Q.$$其中 $A_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 的 $(i,j)$ 元素.

引理证明. 为了适用先前引理, 设 $C=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{m+n}:\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }\le 1\}$, 对应的 $C^{\ast }=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{m+n}:\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1\le 1\}$. 再令 $\Gamma$ 是如下矩阵的列向量生成的完备格, 对应的 ${\Gamma }^{\ast }$ 则是逆矩阵转置的列向量生成的完备格: $$B=\left[\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ 0& ϵI_n/Q\end{array}\right],(B^{-1}{)}^{\text{T}}=\left[\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ Q{A}^{\text{T}}/ϵ& ϵI_n/Q\end{array}\right].$$因此 ${\Gamma }^{\ast }$ 者都形如 $\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ Q(A^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+\mathbf{c})/ϵ\end{array}\right]$, 其中 $\mathbf{a}\in {\mathbb{Z}}^m,\mathbf{c}\in {\mathbb{Z}}^n$. 引理的条件式化作 ${\Vert \left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ Q(A^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+\mathbf{c})/ϵ\end{array}\right]\Vert }_1\ge 2^{m+n-1}/ϵ$. 对一切 $\mathbf{a},\mathbf{c}$ 不同时为 $0$. 于是 $\lambda ({\Gamma }^{\ast },C^{\ast })\ge 2^{m+n-1}/ϵ$, 由前引理得 $\mu (C,\Gamma )\le ϵ$, 这立刻转化为我们欲证的结论.

$\square$

回到原题, 对任意 $ϵ>0$ 取 $Q$ 充分大, 使得 ${\sum }_{i=1}^m|g_i|<2^{m+n-1}/ϵ$ 时 ${\sum }_{j=1}^n\Vert g_1{A}_{1j}+\cdots +g_m{A}_{mj}\Vert \ge 1/Q$. 这总能做到, 因为这只涉及有限个值, 而且原条件 2 告诉我们它始终非零, 进而有最小值. 于是我们总能得到想要的逼近.

$\square$

解析方法

本小节我们将证明:

定理 1.8. 若 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 为关于 $\mathbb{Z}$ 线性无关的实数组, $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 为任意实数组, 则对于任意 $\epsilon ,T_0>0$ 均存在 $t\ge T_0$ 使得: $$\Vert a_{m}t-b_m\Vert <\epsilon ,m=1,2,\dots ,n.$$

现定义 $z_m=e^{2\pi i(a_{m}t-b_m)}$$$f(t)=1+z_1+z_2+\cdots +z_n,$$则只需证明$$L=\underset{t\to \infty }{\mathrm{limsup}}|f(t)|=n+1.$$对于任意 $k\in \mathbb{N}$, 均有整数 $C_{r_1,r_2,\dots ,r_k}$ 使得: $$[f(t){]}^k=\sum _{\begin{array}{c}{r}_1,r_2,\dots ,r_k\ge 0\\ r_1+r_2+\cdots +r_k\le k\end{array}}{C}_{r_1,r_2,\dots ,r_k}{z}_1^{r_1}{z}_2^{r_2}\dots z_n^{r_n}.$$根据

引理 1.9. 若 $\varphi \in C[a,b{]}^n$ 非负, 则有: $$\underset{p\to +\infty }{\lim }{\left({\int }_{[a,b{]}^n}[\varphi (x_1,x_2,\dots ,x_n){]}^p\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\cdots \mathrm{d}{x}_n\right)}^{\frac{1}{p}}=\underset{(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in [a,b{]}^n}{\max }\varphi (x_1,x_2,\dots ,x_n).$$

可知$$L=\underset{k\to +\infty }{\lim }\underset{T\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{T}{\int }_{T_0}^T|f(t){|}^{2k}\mathrm{d}t\right)}^{1/2k},$$所以我们希望通过计算右侧积分来证明 $L=n+1$: $${\int }_{T_0}^T|f(t){|}^{2k}\mathrm{d}t=\sum _{r_1,r_2,\dots ,r_k}\sum _{r_1^{\prime },r_2^{\prime },\dots ,r_k^{\prime }}{C}_{r_1,r_2,\dots ,r_k}{C}_{r_1^{\prime },r_2^{\prime },\dots ,r_k^{\prime }}{\int }_{T_0}^T{z}_1^{r_1-r_1^{\prime }}{z}_2^{r_2-r_2^{\prime }}\cdots z_n^{r_n-r_n^{\prime }}\mathrm{d}t.$$根据 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 的 $\mathbb{Z}$ 线性无关性, 可知右侧积分在所有 $r_m-r_m^{\prime }0$ 为零时取值 $T-T_0$, 反之则有界, 所以有: $$\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{T_0}^T|f(t){|}^{2k}\mathrm{d}t=\sum _{r_1,r_2,\dots ,r_k}{C}_{r_1,r_2,\dots ,r_k}^2={\int }_{[0,1{]}^n}|g(x_1,x_2,\dots ,x_n){|}^{2k}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\cdots \mathrm{d}{x}_n,$$其中$$g(x_1,x_2,\dots ,x_n)=1+e^{2\pi i{x}_1}+e^{2\pi i{x}_2}+\cdots +e^{2\pi i{x}_n}.$$由于 $g(0,0,\dots ,0)=n+1$ 且 $|g(x_1,x_2,\dots ,x_n)|\le n+1$ 在 $[0,1{]}^n$ 中成立, 所以结合引理便得: $$L=\underset{k\to +\infty }{\lim }{\left({\int }_{[0,1{]}^n}|g(x_1,x_2,\dots ,x_n){|}^{2k}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\cdots \mathrm{d}{x}_n\right)}^{1/2k}=n+1.$$故定理得证.

2推论

推论 2.1. 取 $n=1$, 如果 $1,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$ 在 $\mathbb{Z}$ 线性无关, 则 $(\{q{\alpha }_1\},\cdots ,\{q{\alpha }_m\})\in [0,1{)}^m$ 稠密.

3相关概念

•	Diophantos 逼近
•	Dirichlet 逼近定理
•	环面
•	Weyl 判别

术语翻译

Kronecker 逼近定理 • 英文 Kronecker’s approximation theorem • 德文 Kroneckerscher Approximationssatz • 法文 théorème d’approximation de Kronecker