Boole 值 von Neumann 宇宙

Boole 值 von Neumann 宇宙是 von Neumann 宇宙的 Boole 值推广, 是 ZFC 的 Boole 值模型.

以下固定完备 Boole 代数 $B$.

1定义

定义 1.1 (von Neumann 层级). 对序数 $\alpha$ 归纳定义集合 $V_{\alpha }^{(B)}$ 如下:

•	$V_0^{(B)}=\varnothing$.
•	$V_{\alpha +1}^{(B)}=V_{\alpha }^{(B)}\cup B^{V_{\alpha }^{(B)}}$, 其中 $B^{V_{\alpha }^{(B)}}$ 表示从 $V_{\alpha }^{(B)}$ 到 $B$ 的映射, 它依映射的集合论定义自动与 $V_{\alpha }^{(B)}$ 无交.
•	对极限序数 $\alpha$, $V_{\alpha }^{(B)}={\bigcup }_{\beta <\alpha }{V}_{\beta }^{(B)}$.

依定义, 对 $\beta \le \alpha$ 有 $V_{\beta }^{(B)}\subseteq V_{\alpha }^{(B)}$. 这些 $V_{\alpha }^{(B)}$ 称为 $B$ 值 von Neumann 层级或取值在 $B$ 的 Boole 值 von Neumann 层级.

定义 1.2 (von Neumann 宇宙). 定义类 $V^{(B)}={\bigcup }_{\alpha \in \text{Ord}}{V}_{\alpha }^{(B)}$, 称为 $B$ 值 von Neumann 宇宙或取值在 $B$ 的 Boole 值 von Neumann 宇宙, 其中元素称为 $B$ 值集合或取值在 $B$ 的 Boole 值集合.

定义 1.3 (层级). 如 $x\in B^{V_{\alpha }^{(B)}}$, 则称 $x$ 的层级为 $\alpha$, 记作 $\mathrm{rank}(x)=\alpha$. 容易发现 $V^{(B)}$ 中的每个元素都有唯一的层级.

这里的设想是用函数 $f$ 代表以真值 $f(x)$ 含有元素 $x$ 的 Boole 值集合. 该设想固然美好, 但它有个问题: 同一个集合会被很多不同的函数代表. 例如不论定义域是什么, 只要函数为恒零, 依外延公理这函数就应代表空集. 为解决这一问题, 我们就要重新定义等于. 这样一来, 等量代换就迫使我们重新定义属于.

定义 1.4 (属于和等于). 归纳定义 $V_{\alpha }^{(B)}$ 中的属于和等于如下:

•

极限序数不用做.

•

对后继序数 $\alpha +1$, 设 $V_{\alpha }^{(B)}$ 中的属于和等于已经定义, 现先对 $x\in V_{\alpha }^{(B)}$, $y\in B^{V_{\alpha }^{(B)}}$, 定义$$[x\in y]=\underset{z\in V_{\alpha }^{(B)}}{\bigvee }(y(z)\wedge [x=z]);$$再对 $x,y\in V_{\alpha +1}^{(B)}$, 定义$$[x=y]=\underset{z\in V_{\alpha }^{(B)}}{\bigwedge }[z\in x\leftrightarrow z\in y];$$最后对 $x,y\in V_{\alpha +1}^{(B)}$, 定义$$[x\in y]=\underset{z\in V_{\alpha }^{(B)}}{\bigvee }[z\in y\wedge x=z].$$

注 1.5. 上面的定义有若干歧义, 我们来解决之. 为此需归纳证明外延公理和等量代换.

2ZFC 的模型

本节验证 $V^{(B)}$ 是 ZFC 的 Boole 值模型. 以下验证 ZF 部分时不需要用到选择公理, 只有验证选择公理时需要. 注意由 Boole 值模型的定义, 需验证这些公理的真值都是 $1$.

3函子性

4序数、基数不变性

5相关概念

术语翻译

Boole 值 von Neumann 宇宙 • 英文 Boolean-valued von Neumann universe