Boole 值模型

Boole 值模型是数理逻辑中模型的推广, 将其中语句的真值推广到任意完备 Boole 代数上. 取适当的 Boole 代数和 Boole 值模型, 可使一些集合论命题成立, 从而证明相容性结论. 这是一种形式的力迫法.

1定义

定义 1.1 (结构). 设 $B$ 是完备 Boole 代数, $\mathcal{L}$ 是一阶语言. $\mathcal{L}$ 的 $B$ 值结构, 或称取值在 $B$ 的 Boole 值结构, 指的是:

•	一个集合 $M$;
•	对 $\mathcal{L}$ 的每个 $n$ 元函数 $f$ 指定一个映射 $f_M:M^n\to M$, 每个 $n$ 元谓词 $p$ 指定一个映射 $p_M:M^n\to B$;

通常以 $M$ 代表以上所有信息, 而在记号中略去 $f_M$, $p_M$ 等.

定义 1.2 (真值). 记号承上. 设 $P(x_1,\dots ,x_n)$ 是 $\mathcal{L}$ 的公式, $x_1,\dots ,x_n$ 是其所有的自由变元. 则对 $m_1,\dots ,m_n\in M$, 递归定义 $P$ 在 $m_1,\dots ,m_n$ 处的真值 $[P(m_1,\dots ,m_n)]\in B$ 如下:

•	如 $P(x_1,\dots ,x_n)=p(t_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,t_k(x_1,\dots ,x_n))$ 是元公式, 其中 $t_1,\dots ,t_k$ 是项, $p$ 是 $k$ 元谓词, 则$$[P(m_1,\dots ,m_n)]=p_M(t_1(m_1,\dots ,m_n),\dots ,t_k(m_1,\dots ,m_n)).$$
•	如 $P=\neg Q$, 则 $[P]=\neg [Q]$.
•	如 $P=Q\wedge R$, 则 $[P]=[Q]\wedge [R]$.
•	如 $P=Q\vee R$, 则 $[P]=[Q]\vee [R]$.
•	如 $P=\forall xQ(x)$, 则 $[P]={\bigwedge }_{m\in M}[Q(m)]$.
•	如 $P=\exists xQ(x)$, 则 $[P]={\bigvee }_{m\in M}[Q(m)]$.

上面在记号中隐去 $P,Q,R$ 的无关自由变元. 注意最后两条用到了 Boole 代数 $B$ 的完备性. 回忆语句指的是没有自由变元的公式, 从而每个语句都有个取值在 $B$ 的真值. 可能有歧义时, 也将 $[P]$ 写作 $[P{]}_M$.

注 1.3. 记号承上. 不难发现如含有自由变元 $\{x_i{\}}_{i\in I}$ 的公式集 $\Phi$ 和公式 $\chi$ 满足 $\Phi ⊢\chi$, 即 $\Phi$ 句法蕴涵 $\chi$, 则对任意指定的 $m_i\in M$ 都有$$\chi (m_i)\le \underset{\phi \in \Phi }{\bigwedge }\phi (m_i).$$

定义 1.4 (模型). 记号承上. 设 $T=(\mathcal{L},\Phi )$ 是一阶理论, 其中 $\Phi$ 是公理集. 如对每个 $\phi \in \Phi$ 都有 $[\phi {]}_M=1$, 则称 $M$ 是 $T$ 的 $B$ 值模型, 或称取值在 $B$ 的 Boole 值模型.

注 1.5. 于是如 $T⊢\chi$, 就有 $[\chi ]=1$.

注 1.6 (真类变体). 有时需要讨论 $M$ 是真类的情形. 此时只要定义中的映射 $f_M$, $p_M$ 都由显式公式给出, 整套定义就可沿用. (注意即便 $M$ 是真类, $\{[Q(m)]\mid m\in M\}\subseteq B$ 也是集合, 所以其在 $B$ 中有上下确界, 从而定义 1.2 没有问题.)

2例子

•	当 Boole 代数 $B=2$ 时, Boole 值模型便退化为模型.
•	Boole 值 von Neumann 宇宙是 ZFC 的 Boole 值模型.

3应用

4相关概念

•	连续统假设
•	力迫法
•	范畴值模型

术语翻译

Boole 值模型 • 英文 Boolean-valued model