压缩映射定理

压缩映射定理, 又称 Banach 不动点定理是拓扑学中的基本结论, 它在分析学的很多领域中有重要应用. 它是说如果一个完备度量空间的自映射一致压缩两点之间的距离, 那么它有唯一的不动点.

1陈述

定理 1.1.完备度量空间, 是映射, 满足存在 , 使得对任意 , 有唯一的不动点.

证明. 任取一点 , 考虑点列 , . 则有从而对任意 , 有它在 时趋于 , 因此 是 Cauchy 列, 由完备知它收敛到一点 . 由 的定义知它是不动点. 存在性得证.

如果有两个不动点 , 则因此 , 即有 . 唯一性得证.

2应用

压缩映射定理可用于证明常微分方程解的存在唯一性.

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术语翻译

Banach 不动点定理英文 Banach fixed point theorem德文 Fixpunktsatz von Banach法文 théorème du point fixe de Banach