C.37. Sylvester 阵与结式

本节, 我们用行列式研究整式的一些性质.

为方便, 我们作一个有名的 (有名字的) 假定. 我们会反复地说它.

假定 C.37.1. 设 $n$, $m$ 是非负整数, 且 $m+n⩾1$. 设$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^{n-k}=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n,\\ g(x)& =\sum _{k=0}^m{b}_k{x}^{m-k}=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m.\end{array}$$为方便, 我们约定: 若 $k<0$ 或 $k>n$, 则 $a_k=0$; 若 $k<0$ 或 $k>m$, 则 $b_k=0$.

定义 C.37.2. 设假定 C.37.1 成立. 定义 $f$, $g$ 的 Sylvester 阵为 $m+n$ 级阵 $S(f,g;n,m)$, 其中, $$\begin{array}{r}[S(f,g;n,m){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{a}_{i-j},& j⩽m;\\ b_{i-(j-m)},& j>m.\end{array}\end{array}$$$f$, $g$ 的 Sylvester 阵的行列式 $\det (S(f,g;n,m))$ 是 $f$, $g$ 的结式.

我们看几个例.

例 C.37.3. 设假定 C.37.1 成立. 设 $n=2$, 且 $m=5$. 则 $f$, $g$ 的 Sylvester 阵 $S(f,g;2,5)$ 是$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& a_{-3}& a_{-4}& b_0& b_{-1}\\ a_1& a_0& a_{-1}& a_{-2}& a_{-3}& b_1& b_0\\ a_2& a_1& a_0& a_{-1}& a_{-2}& b_2& b_1\\ a_3& a_2& a_1& a_0& a_{-1}& b_3& b_2\\ a_4& a_3& a_2& a_1& a_0& b_4& b_3\\ a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& b_5& b_4\\ a_6& a_5& a_4& a_3& a_2& b_6& b_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_0& 0& 0& 0& 0& b_0& 0\\ a_1& a_0& 0& 0& 0& b_1& b_0\\ a_2& a_1& a_0& 0& 0& b_2& b_1\\ 0& a_2& a_1& a_0& 0& b_3& b_2\\ 0& 0& a_2& a_1& a_0& b_4& b_3\\ 0& 0& 0& a_2& a_1& b_5& b_4\\ 0& 0& 0& 0& a_2& 0& b_5\end{array}\right].\end{array}$$

例 C.37.4. 设假定 C.37.1 成立. 设 $m=n=1$. 则 $f(x)=a_{0}x+a_1$, 且 $g(x)=b_{0}x+b_1$. 则 $f$, $g$ 的 Sylvester 阵$$\begin{array}{r}S(f,g;1,1)=\left[\begin{array}{cc}{a}_0& b_0\\ a_1& b_1\end{array}\right],\end{array}$$且$$\begin{array}{r}\det (S(f,g;1,1))=a_0{b}_1-b_0{a}_1.\end{array}$$

例 C.37.5. 设假定 C.37.1 成立. 设 $n=0$. 则 $f(x)=a_0$. 则 $m$ 级阵 $S(f,g;0,m)$ 适合, $$\begin{array}{r}[S(f,g;0,m){]}_{i,j}=a_{i-j}=\{\begin{array}{ll}{a}_0,& i=j;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$则 $S(f,g;0,m)=a_0{I}_m$, 且 $\det (S(f,g;0,m))=a_0^m$.

类似地, 若 $m=0$, 则 $n$ 级阵 $S(f,g;n,0)=b_0{I}_n$, 且 $\det (S(f,g;n,0))=b_0^n$.

例 C.37.6. 设假定 C.37.1 成立. 设 $a_0=0=b_0$. 则 $k⩽0$ 时, $a_k=0=b_k$. 注意, 当 $j⩽m$ 时, $[S(f,g;n,m){]}_{1,j}=a_{1-j}$, 而 $1-j⩽0$, 则 $[S(f,g;n,m){]}_{1,j}=0$. 当 $j>m$ 时, $[S(f,g;n,m){]}_{1,j}=b_{1-(j-m)}$, 而 $1-(j-m)⩽0$, 则 $[S(f,g;n,m){]}_{1,j}=0$. 则 $S(f,g;n,m)$ 的行 $1$ 的元全是 $0$. 则 $\det (S(f,g;n,m))=0$.

我们给一个研究 Sylvester 阵的可能的原因. 设假定 C.37.1 成立. 设数 $c$ 适合, $f(c)=0=g(c)$. 则$$\begin{array}{rl}{a}_0{c}^n+a_1{c}^{n-1}+\cdots +a_n& =0,\\ b_0{c}^m+b_1{c}^{m-1}+\cdots +b_m& =0.\end{array}$$若我们分别以 $c^{m-1}$, $c^{m-2}$, $\dots$, $1$ 乘等式 1, 且分别以 $c^{n-1}$, $c^{n-2}$, $\dots$, $1$ 乘等式 2, 我们有$$\begin{array}{rl}{a}_0{c}^{m+n-1}+a_1{c}^{m+n-2}+\cdots +a_{n-1}{c}^m+a_n{c}^{m-1}& =0,\\ a_0{c}^{m+n-2}+a_1{c}^{m+n-3}+\cdots +a_{n-1}{c}^{m-1}+a_n{c}^{m-2}& =0,\\ \dots \dots \dots & \dots ,\\ a_0{c}^n+a_1{c}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}c+a_{n}1& =0,\\ b_0{c}^{m+n-1}+b_1{c}^{m+n-2}+\cdots +b_{m-1}{c}^n+b_m{c}^{n-1}& =0,\\ b_0{c}^{m+n-2}+b_1{c}^{m+n-3}+\cdots +b_{m-1}{c}^{n-1}+b_m{c}^{n-2}& =0,\\ \dots \dots \dots & \dots ,\\ b_0{c}^m+b_1{c}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}c+b_{m}1& =0.\end{array}$$回想, 当 $k<0$ 或 $k>n$ 时, $a_k=0$, 且当 $k<0$ 或 $k>m$ 时, $b_k=0$. 于是, 我们可写$$\begin{array}{rl}{a}_0{c}^{m+n-1}+a_1{c}^{m+n-2}+\cdots +a_{m+n-2}c+a_{m+n-1}1& =0,\\ a_{-1}{c}^{m+n-1}+a_0{c}^{m+n-2}+\cdots +a_{m+n-3}c+a_{m+n-2}1& =0,\\ \dots \dots \dots & \dots ,\\ a_{1-m}{c}^{m+n-1}+a_{2-m}{c}^{m+n-2}+\cdots +a_{n-1}c+a_{n}1& =0,\\ b_0{c}^{m+n-1}+b_1{c}^{m+n-2}+\cdots +b_{m+n-2}c+b_{m+n-1}1& =0,\\ b_{-1}{c}^{m+n-1}+b_0{c}^{m+n-2}+\cdots +b_{m+n-3}c+b_{m+n-2}1& =0,\\ \dots \dots \dots & \dots ,\\ b_{1-n}{c}^{m+n-1}+b_{2-n}{c}^{m+n-2}+\cdots +b_{m-1}c+b_{m}1& =0.\end{array}$$作 $1\times (m+n)$ 阵 $C=[c^{m+n-1},c^{m+n-2},\dots ,c,1]$. 则$$\begin{array}{r}S(f,g;n,m{)}^{\mathrm{T}}{C}^{\mathrm{T}}=0.\end{array}$$注意, 线性方程组 $S(f,g;n,m{)}^{\mathrm{T}}X=0$ 有非零的解 $X=C^{\mathrm{T}}$. 故, 由 Cramer 公式 (见第一章, 节 21) 与反证法, $S(f,g;n,m{)}^{\mathrm{T}}$ 的行列式一定是 $0$. 故 $\det (S(f,g;n,m))=0$.

定理 C.37.7. 设假定 C.37.1 成立. 设存在数 $c$, 使 $f(c)=0=g(c)$. 则$$\begin{array}{r}\det (S(f,g;n,m))=0.\end{array}$$

我们进一步地研究 Sylvester 阵.

定理 C.37.8. 设假定 C.37.1 成立. 作 $1\times (m+n)$ 阵 $C_{m+n}$, 其中 $[C_{m+n}{]}_{1,j}=x^{m+n-j}$. 设 $Y$ 是 $(m+n)\times 1$ 阵. 记$$\begin{array}{r}u(x)=\sum _{k=0}^{m-1}[Y{]}_{k+1,1}{x}^{m-1-k},v(x)=\sum _{k=0}^{n-1}[Y{]}_{m+1+k,1}{x}^{n-1-k}.\end{array}$$

(1) $C_{m+n}S(f,g;n,m)$ 是 $1\times (m+n)$ 阵, 且$$\begin{array}{r}[C_{m+n}S(f,g;n,m){]}_{1,j}=\{\begin{array}{ll}f(x)x^{m-j},& j⩽m;\\ g(x)x^{n-(j-m)},& j>m.\end{array}\end{array}$$

(2) $C_{m+n}S(f,g;n,m)Y$ 是 $1$ 级阵, 且$$\begin{array}{r}[C_{m+n}S(f,g;n,m)Y{]}_{1,1}=f(x)u(x)+g(x)v(x).\end{array}$$

(3) 记$$\begin{array}{r}f(x)u(x)+g(x)v(x)=\sum _{k=0}^{m+n-1}{c}_k{x}^{m+n-1-k}.\end{array}$$则 $S(f,g;n,m)Y$ 是 $(m+n)\times 1$ 阵, 且$$\begin{array}{r}{c}_k=[S(f,g;n,m)Y{]}_{k+1,1}.\end{array}$$

证. (1) 注意, $$\begin{array}{rl}[C_{m+n}S(f,g;n,m){]}_{1,j}=& \sum _{\ell =1}^{m+n}[C_{m+n}{]}_{1,\ell }[S(f,g;n,m){]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{1⩽\ell ⩽m+n}[S(f,g;n,m){]}_{\ell ,j}{x}^{m+n-\ell }.\end{array}$$若 $j⩽m$, 则 $[S(f,g;n,m){]}_{\ell ,j}=a_{\ell -j}$. 则$$\begin{array}{rl}& [C_{m+n}S(f,g;n,m){]}_{1,j}\\ =& \sum _{1⩽\ell ⩽m+n}{a}_{\ell -j}{x}^{m+n-\ell }\\ =& \sum _{1-j⩽\ell -j⩽m+n-j}{a}_{\ell -j}{x}^{n-(\ell -j)+(m-j)}\\ =& \sum _{1-j⩽h⩽n+(m-j)}{a}_h{x}^{n-h}{x}^{m-j}\\ =& \sum _{0⩽h⩽n}{a}_h{x}^{n-h}{x}^{m-j}+\sum _{\begin{array}{c}1-j⩽h<0\\ \text{或}n<h⩽n+(m-j)\end{array}}{a}_h{x}^{n-h}{x}^{m-j}\\ =& \left(\sum _{0⩽h⩽n}{a}_h{x}^{n-h}\right)x^{m-j}+\sum _{\begin{array}{c}1-j⩽h<0\\ \text{或}n<h⩽n+(m-j)\end{array}}0x^{n-h}{x}^{m-j}\\ =& f(x)x^{m-j}.\end{array}$$若 $j>m$, 则 $[S(f,g;n,m){]}_{\ell ,j}=b_{\ell -(j-m)}$. 为方便, 记 $k=j-m$. 则$$\begin{array}{rl}& [C_{m+n}S(f,g;n,m){]}_{1,j}\\ =& \sum _{1⩽\ell ⩽m+n}{b}_{\ell -k}{x}^{m+n-\ell }\\ =& \sum _{1-k⩽\ell -k⩽m+n-k}{b}_{\ell -k}{x}^{m-(\ell -k)+(n-k)}\\ =& \sum _{1-k⩽h⩽m+(n-k)}{b}_h{x}^{m-h}{x}^{n-k}\\ =& \sum _{0⩽h⩽m}{b}_h{x}^{m-h}{x}^{n-k}+\sum _{\begin{array}{c}1-k⩽h<0\\ \text{或}m<h⩽m+(n-k)\end{array}}{b}_h{x}^{m-h}{x}^{n-k}\\ =& \left(\sum _{0⩽h⩽m}{b}_h{x}^{m-h}\right)x^{n-(j-m)}+\sum _{\begin{array}{c}1-k⩽h<0\\ \text{或}m<h⩽m+(n-k)\end{array}}0x^{m-h}{x}^{n-k}\\ =& g(x)x^{n-(j-m)}.\end{array}$$

(2) 注意, $$\begin{array}{rl}& [C_{m+n}S(f,g;n,m)Y{]}_{1,1}\\ =& [(C_{m+n}S(f,g;n,m))Y{]}_{1,1}\\ =& \sum _{j=1}^{m+n}[C_{m+n}S(f,g;n,m){]}_{1,j}[Y{]}_{j,1}\\ =& \sum _{j=1}^m[C_{m+n}S(f,g;n,m){]}_{1,j}[Y{]}_{j,1}+\sum _{j=m+1}^{m+n}[C_{m+n}S(f,g;n,m){]}_{1,j}[Y{]}_{j,1}\\ =& \sum _{j=1}^{m}f(x)x^{m-j}[Y{]}_{j,1}+\sum _{j=m+1}^{m+n}g(x)x^{n-(j-m)}[Y{]}_{j,1}\\ =& f(x)\sum _{j=1}^m{x}^{m-j}[Y{]}_{j,1}+g(x)\sum _{j=m+1}^{m+n}{x}^{n-(j-m)}[Y{]}_{j,1}\\ =& f(x)\sum _{j=1}^m{x}^{m-1-(j-1)}[Y{]}_{(j-1)+1,1}+g(x)\sum _{j=m+1}^{m+n}{x}^{n-1-(j-m-1)}[Y{]}_{m+1+(j-m-1),1}\\ =& f(x)\sum _{k=0}^{m-1}[Y{]}_{k+1,1}{x}^{m-1-k}+g(x)\sum _{k=0}^{n-1}[Y{]}_{m+1+k,1}{x}^{n-1-k}\\ =& f(x)u(x)+g(x)v(x).\end{array}$$

(3) 注意, $$\begin{array}{rl}[C_{m+n}S(f,g;n,m)Y{]}_{1,1}=& [C_{m+n}(S(f,g;n,m)Y){]}_{1,1}\\ =& \sum _{j=1}^{m+n}[C_{m+n}{]}_{1,j}[S(f,g;n,m)Y{]}_{j,1}\\ =& \sum _{j=1}^{m+n}{x}^{m+n-j}[S(f,g;n,m)Y{]}_{j,1}\\ =& \sum _{j=1}^{m+n}[S(f,g;n,m)Y{]}_{(j-1)+1,1}{x}^{m+n-1-(j-1)}\\ =& \sum _{k=0}^{m+n-1}[S(f,g;n,m)Y{]}_{k+1,1}{x}^{m+n-1-k}.\end{array}$$故, 对不超过 $m+n-1$ 的非负整数 $k$, $$[S(f,g;n,m)Y{]}_{k+1,1}=c_k.$$证毕.

定理 C.37.9. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 则存在 $n\times 1$ 阵 $P$, 使$$\begin{array}{r}[AP{]}_{i,1}=\{\begin{array}{ll}\det (A),& i=n;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$进一步地, 我们可要求, $P\ne 0$.

证. 设 $W$ 是 $A$ 的古伴 $\mathrm{adj}(A)$ 的列 $n$. 则$$\begin{array}{rl}[AW{]}_{i,1}=& \sum _{j=1}^n[A{]}_{i,j}[W{]}_{j,1}\\ =& \sum _{j=1}^n[A{]}_{i,j}[\mathrm{adj}(A){]}_{j,n}\\ =& [A\mathrm{adj}(A){]}_{i,n}\\ =& [\det (A)I_n{]}_{i,n}\\ =& \det (A)[I_n{]}_{i,n}.\end{array}$$取 $P$ 为 $W$ 即可.

设, 进一步地, 我们要求, $P\ne 0$. 若 $W\ne 0$, 则我们仍取 $P$ 为 $W$. 若 $W=0$, 则 $\det (A)=[AW{]}_{i,n}=[A0{]}_{i,n}=[0{]}_{i,n}=0$. 则, 由第一章, 节 23, 或由第一章, 节 25, 存在非零的 $n\times 1$ 阵 $Q$, 使 $AQ=0$. 取 $P$ 为 $Q$ 即可.

证毕.

定理 C.37.10. 设假定 C.37.1 成立.

(1) 存在整式 $u$, $v$, 使$$\begin{array}{r}f(x)u(x)+g(x)v(x)=\det (S(f,g;n,m)).\end{array}$$注意, 上式的右侧不含 $x$.

(2) 设存在数 $c$, 使 $f(c)=0=g(c)$. 则$$\begin{array}{r}\det (S(f,g;n,m))=0.\end{array}$$

证. (1) 我们知道, 存在 $(m+n)\times 1$ 阵 $P$, 使$$\begin{array}{r}[S(f,g;n,m)P{]}_{i,1}=\{\begin{array}{ll}\det (S(f,g;n,m)),& i=m+n;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$记$$\begin{array}{r}u(x)=\sum _{k=0}^{m-1}[P{]}_{k+1,1}{x}^{m-1-k},v(x)=\sum _{k=0}^{n-1}[P{]}_{m+1+k,1}{x}^{n-1-k}.\end{array}$$则$$\begin{array}{r}f(x)u(x)+g(x)v(x)=\sum _{k=0}^{m+n-1}{c}_k{x}^{m+n-1-k},\end{array}$$其中, $$\begin{array}{r}{c}_k=[S(f,g;n,m)P{]}_{k+1,1}=\{\begin{array}{ll}\det (S(f,g;n,m)),& k=m+n-1;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

(2) 我们其实已证它, 但我们现在别地证它. 注意, 代 $x$ 以 $c$, 得$$\det (S(f,g;n,m))=f(c)u(c)+g(c)v(c)=0.$$证毕.

定理 C.37.11. 设假定 C.37.1 成立.

(1) $S(g,f;m,n)$ 是 $m+n$ 级阵, 且 $S(f,g;n,m)$ 的列 $j$ 是 $S(g,f;m,n)$ 的列 $n+j$ (若 $j⩽m$) 或 $S(g,f;m,n)$ 的列 $j-m$ (若 $j>m$).

(2) $\det (S(g,f;m,n))=(-1{)}^{mn}\det (S(f,g;n,m))$.

证. 注意, $S(g,f;m,n)$ 是这样的 $m+n$ 级阵: $$\begin{array}{r}[S(g,f;m,n){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{b}_{i-j},& j⩽n;\\ a_{i-(j-n)},& j>n.\end{array}\end{array}$$故, 若 $j⩽m$, $$\begin{array}{r}[S(f,g;n,m){]}_{i,j}=a_{i-j}=a_{i-(n+j-n)}=[S(g,f;m,n){]}_{i,n+j},\end{array}$$且若 $j>m$, $$\begin{array}{r}[S(f,g;n,m){]}_{i,j}=b_{i-(j-m)}=[S(g,f;m,n){]}_{i,j-m}.\end{array}$$

(2) 若 $m=0$ 或 $n=0$, 则这是平凡地对的 (见例 C.37.5).

设 $m⩾1$ 且 $n⩾1$. 对 $S(g,f;m,n)$, 交换列 $n+1$ 与列 $n$, 再交换新的阵的列 $n$ 与列 $n-1$, …… 再交换新的阵的列 $2$ 与列 $1$, 我们作了 $n$ 次相邻的列的交换, 使 $S(g,f;m,n)$ 的列 $n+1$ 到列 $1$, 且其他的列的相对位置不变. 类似地, 我们也可让这个阵的列 $n+2$, $\dots$, $n+m$ 分别地到列 $2$, $\dots$, $m$. 则 $S(g,f;m,n)$ 的列 $1$, $\dots$, $n$ 分别地到列 $m+1$, $\dots$, $m+n$. 则 $n\cdot m$ 次相邻的列的交换变 $S(g,f;m,n)$ 为 $S(f,g;n,m)$. 则 $\det (S(g,f;m,n))=(-1{)}^{mn}\det (S(f,g;n,m))$.

证毕.

定理 C.37.12. 设假定 C.37.1 成立. 设 $t$ 是数, 且$$\begin{array}{r}h(x)=f(x)(x-t)=\sum _{k=0}^{n+1}{c}_k{x}^{n+1-k}.\end{array}$$我们约定, 若 $k<0$ 或 $k>n+1$, 则 $c_k=0$. 则$$\begin{array}{r}\det (S(h,g;n+1,m))=\det (S(f,g;n,m))g(t),\end{array}$$且$$\begin{array}{r}\det (S(g,h;m,n+1))=(-1{)}^m\det (S(g,f;m,n))g(t).\end{array}$$

证. 我们证式 1; 您用式 1 与定理 C.37.11 证式 2.

注意, 由整式的乘法, $$\begin{array}{r}{c}_k=\{\begin{array}{ll}{a}_0,& k=0;\\ a_k-t{a}_{k-1},& 1⩽k⩽n;\\ -t{a}_n,& k=n+1.\end{array}\end{array}$$回想, 若 $k<0$ 或 $k>n$, 则 $a_k=0$. 于是, 统一地, $c_k=a_k-t{a}_{k-1}$. 注意, $a_k=c_k+t{a}_{k-1}$.

我们记 $g_{\ell }(x)=0$ (若 $\ell <0$), 且 $g_{\ell }(x)=g_{\ell -1}(x)x+b_{\ell }$ (若 $\ell ⩾0$). 则对任何整数 $\ell$, 有 $g_{\ell }(t)=b_{\ell }+t{g}_{\ell -1}(t)$. 注意, $b_{\ell }=g_{\ell }(t)-t{g}_{\ell -1}(t)$.

注意, $m+n+1$ 级阵 $S(h,g;n+1,m)$ 等于$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccccccc}{c}_0& c_{-1}& c_{-2}& \cdots & c_{1-m}& b_0& b_{-1}& \cdots & b_{-n}\\ c_1& c_0& c_{-1}& \cdots & c_{2-m}& b_1& b_0& \cdots & b_{1-n}\\ c_2& c_1& c_0& \cdots & c_{3-m}& b_2& b_1& \cdots & b_{2-n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_n& c_{n-1}& c_{n-2}& \cdots & c_{n+1-m}& b_n& b_{n-1}& \cdots & b_0\\ c_{n+1}& c_n& c_{n-1}& \cdots & c_{n+2-m}& b_{n+1}& b_n& \cdots & b_1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{m+n}& c_{m+n-1}& c_{m+n-2}& \cdots & c_{n+1}& b_{m+n}& b_{m+n-1}& \cdots & b_m\end{array}\right],\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \cdots & a_{1-m}& g_0(t)& g_{-1}(t)& \cdots & g_{-n}(t)\\ c_1& c_0& c_{-1}& \cdots & c_{2-m}& b_1& b_0& \cdots & b_{1-n}\\ c_2& c_1& c_0& \cdots & c_{3-m}& b_2& b_1& \cdots & b_{2-n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_n& c_{n-1}& c_{n-2}& \cdots & c_{n+1-m}& b_n& b_{n-1}& \cdots & b_0\\ c_{n+1}& c_n& c_{n-1}& \cdots & c_{n+2-m}& b_{n+1}& b_n& \cdots & b_1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{m+n}& c_{m+n-1}& c_{m+n-2}& \cdots & c_{n+1}& b_{m+n}& b_{m+n-1}& \cdots & b_m\end{array}\right].\end{array}$$我们加行 $1$ 的 $t$ 倍到行 $2$, 再加行 $2$ 的 $t$ 倍到行 $3$, …… 再加行 $m+n$ 的 $t$ 倍到行 $m+n+1$, 得 $m+n+1$ 级阵$$\begin{array}{r}{S}_1=\left[\begin{array}{ccccccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \cdots & a_{1-m}& g_0(t)& g_{-1}(t)& \cdots & g_{-n}(t)\\ a_1& a_0& a_{-1}& \cdots & a_{2-m}& g_1(t)& g_0(t)& \cdots & g_{1-n}(t)\\ a_2& a_1& a_0& \cdots & a_{3-m}& g_2(t)& g_1(t)& \cdots & g_{2-n}(t)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & a_{n+1-m}& g_n(t)& g_{n-1}(t)& \cdots & g_0(t)\\ a_{n+1}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_{n+2-m}& g_{n+1}(t)& g_n(t)& \cdots & g_1(t)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m+n}& a_{m+n-1}& a_{m+n-2}& \cdots & a_{n+1}& g_{m+n}(t)& g_{m+n-1}(t)& \cdots & g_m(t)\end{array}\right].\end{array}$$我们知道, $\det (S_1)=\det (S(h,g;n+1,m))$.

我们加列 $m+2$ 的 $-t$ 倍到列 $m+1$, 再加列 $m+3$ 的 $-t$ 倍到列 $m+2$, …… 再加列 $m+n+1$ 的 $-t$ 倍到列 $m+n$, 得 $m+n+1$ 级阵$$\begin{array}{r}{S}_2=\left[\begin{array}{ccccccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \cdots & a_{1-m}& b_0& b_{-1}& \cdots & g_{-n}(t)\\ a_1& a_0& a_{-1}& \cdots & a_{2-m}& b_1& b_0& \cdots & g_{1-n}(t)\\ a_2& a_1& a_0& \cdots & a_{3-m}& b_2& b_1& \cdots & g_{2-n}(t)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & a_{n+1-m}& b_n& b_{n-1}& \cdots & g_0(t)\\ a_{n+1}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_{n+2-m}& b_{n+1}& b_n& \cdots & g_1(t)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m+n}& a_{m+n-1}& a_{m+n-2}& \cdots & a_{n+1}& b_{m+n}& b_{m+n-1}& \cdots & g_m(t)\end{array}\right].\end{array}$$我们知道, $\det (S_2)=\det (S_1)$. 则 $\det (S_2)=\det (S(h,g;n+1,m))$. 注意, $$\begin{array}{r}[S_2{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{a}_{i-j},& j⩽m;\\ b_{i-(j-m)},& m<j⩽m+n;\\ g_{i-1-n}(t),& j=m+n+1.\end{array}\end{array}$$于是, 当 $i=m+n+1$ 时, 若 $j⩽m$, 则 $[S_2{]}_{i,j}=a_{n+1+(m-j)}=0$ (注意, $n+1+(m-j)>n$), 且若 $m<j⩽m+n$, 则 $[S_2{]}_{i,j}=b_{m+1+(m+n-j)}=0$ (注意, $m+1+(m+n-j)>m$). 注意, $S_2(m+n+1|m+n+1)=S(f,g;n,m)$. 注意, $g_m(t)=g(t)$. 于是, 按行 $m+n+1$ 展开, 有$$\begin{array}{rl}& \det (S(h,g;n+1,m))\\ =& \det (S_2)\\ =& (-1{)}^{(m+n+1)+(m+n+1)}{g}_m(t)\det (S_2(m+n+1|m+n+1))\\ =& \det (S(f,g;n,m))g(t).\end{array}$$

证毕.

定理 C.37.13. 设假定 C.37.1 成立. 若 $f(x)=a_0(x-x_1)\dots (x-x_n)$, 则$$\begin{array}{r}\det (S(f,g;n,m))=a_0^{m}g(x_1)g(x_2)\dots g(x_n).\end{array}$$类似地, 若 $g(x)=b_0(x-y_1)\dots (x-y_m)$, 则$$\begin{array}{r}\det (S(f,g;n,m))=(-1{)}^{mn}{b}_0^{n}f(y_1)f(y_2)\dots f(y_m).\end{array}$$

证. 我们证式 1; 您用式 1 与定理 C.37.11 证式 2.

若 $m=0$, 则式 1 的左侧是 $b_0^n$, 且式 1 的右侧是 $a_0^{0}g(x_1)\dots g(x_n)=1\cdot b_0^n$ (注意, $g(x)=b_0$).

以下, 我们设 $m⩾1$.

记 $F_0(x)=a_0$, 且 $F_i(x)=F_{i-1}(x)(x-x_i)$. 则$$\begin{array}{rl}\det (S(f,g;n,m))=& \det (S(F_n,g;n,m))\\ =& \det (S(F_{n-1},g;n-1,m))g(x_n)\\ =& \det (S(F_{n-2},g;n-2,m))g(x_{n-1})g(x_n)\\ =& \dots \dots \dots \dots \\ =& \det (S(F_0,g;0,m))g(x_1)g(x_2)\dots g(x_n)\\ =& a_0^{m}g(x_1)g(x_2)\dots g(x_n).\end{array}$$

证毕.

定理 C.37.14. 设假定 C.37.1 成立.

(1) 设存在数 $c$, 使 $f(c)=0=g(c)$. 则 $\det (S(f,g;n,m))=0$.

(2) 设 $\det (S(f,g;n,m))=0$. 则 $a_0=0=b_0$, 或当 $a_0\ne 0$ 或 $b_0\ne 0$ 时, 存在数 $c$, 使 $f(c)=0=g(c)$.

证. (1) 定理 C.37.7.

(2) 若 $a_0=0=b_0$, 则 $\det (S(f,g;n,m))=0$.

若 $a_0\ne 0$, 则我们可写 $f(x)=a_0(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$, 其中, $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ 是数 (注意, $f(x_1)$, $f(x_2)$, $\dots$, $f(x_n)$ 都是 $0$). 则$$\begin{array}{r}0=\det (S(f,g;n,m))=a_0^{m}g(x_1)g(x_2)\dots g(x_n).\end{array}$$因为 $a_0\ne 0$, 我们说, 在 $g(x_1)$, $g(x_2)$, $\dots$, $g(x_n)$, $0$ 必存在.

若 $b_0\ne 0$, 您可类似地证它: 您用$$\begin{array}{r}0=\det (S(f,g;n,m))=(-1{)}^{mn}{b}_0^{n}f(y_1)f(y_2)\dots f(y_m),\end{array}$$其中, $g(x)=b_0(x-y_1)(x-y_2)\dots (x-y_m)$.

证毕.

我们看几个例.

例 C.37.15. 解方程组$$\{\begin{array}{l}11x^2-2xy-44y^2-x+26y-32=0,\\ 4x^2-18xy+49y^2-4x+9y-118=0.\end{array}$$(C.37.1)

设 $x=a$, $y=b$ 是方程组 (C.37.1) 的一个解. 则$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}0=& 11a^2-2ab-44b^2-a+26b-32\\ =& 11a^2+(-2b-1)a+(-44b^2+26b-32),\end{array}\\ & \begin{array}{rl}0=& 4a^2-18ab+49b^2-4a+9b-118\\ =& 4a^2+(-18b-4)a+(49b^2+9b-118).\end{array}\end{array}$$我们记$$\begin{array}{rl}f(x;y)& =11x^2+(-2y-1)x+(-44y^2+26y-32),\\ g(x;y)& =4x^2+(-18y-4)x+(49y^2+9y-118).\end{array}$$则 $f(a;b)=0=g(a;b)$. 故$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}11& 0& 4& 0\\ -2b-1& 11& -18b-4& 4\\ -44b^2+26b-32& -2b-1& 49b^2+9b-118& -18b-4\\ 0& -44b^2+26b-32& 0& 49b^2+9b-118\end{array}\right]\end{array}$$的行列式是 $0$. 可以算出, 此阵的行列式是 $342125(b^2-1)(b^2-4)$. 于是, 若 $x=a$, $y=b$ 是方程组 (C.37.1) 的一个解, 则 $b=1$ 或 $b=-1$ 或 $b=2$ 或 $b=-2$. 则 (代 $b$ 以 $1$) $$\{\begin{array}{l}11a^2-2a-44-a+26-32=0,\\ 4a^2-18a+49-4a+9-118=0;\end{array}$$(C.37.2)或 (代 $b$ 以 $-1$) $$\{\begin{array}{l}11a^2+2a-44-a-26-32=0,\\ 4a^2+18a+49-4a-9-118=0;\end{array}$$(C.37.3)或 (代 $b$ 以 $2$) $$\{\begin{array}{l}11a^2-4a-176-a+52-32=0,\\ 4a^2-36a+196-4a+18-118=0;\end{array}$$(C.37.4)或 (代 $b$ 以 $-2$) $$\{\begin{array}{l}11a^2+4a-176-a-52-32=0,\\ 4a^2+36a+196-4a-18-118=0.\end{array}$$(C.37.5)方程组 (C.37.2) 的解是 $a=-2$; 方程组 (C.37.3) 的解是 $a=3$; 方程组 (C.37.4) 的解是 $a=4$; 方程组 (C.37.5) 的解是 $a=-5$. 于是, 若 $x=a$, $y=b$ 是方程组 (C.37.1) 的一个解, 必: $$\begin{array}{rl}& a=-2,b=1;\\ \text{或}& a=3,b=-1;\\ \text{或}& a=4,b=2;\\ \text{或}& a=-5,b=-2.\end{array}$$最后, 我们验证这些是否是方程组 (C.37.1) 的解. 可以验证, 它们都是解. 于是, 方程组 (C.37.1) 的解是: $$\begin{array}{rl}& x=-2,y=1;\\ \text{或}& x=3,y=-1;\\ \text{或}& x=4,y=2;\\ \text{或}& x=-5,y=-2.\end{array}$$

例 C.37.16. 设数 $X$, $Y$, $T$ 适合$$X=\frac{1+8T-T^2}{1+T^2},Y=\frac{4T}{1+T^2}.$$(C.37.6)我们可消去 $T$, 以得到 $X$ 与 $Y$ 的关系: 若 $(X,Y,T)=(x,y,t)$ 适合式 (C.37.6), 则 $(X,Y)=(x,y)$ 适合某关系 (不含 $T$), 且反过来, 若 $(X,Y)=(x,y)$ 适合这个不含 $T$ 的关系, 则存在 $t$, 使 $(X,Y,T)=(x,y,t)$ 适合式 (C.37.6).

设 $(X,Y,T)=(x,y,t)$ 适合式 (C.37.6). 去分母, 有$$\begin{array}{rl}(1+t^2)x-(1+8t-t^2)& =0,\\ (1+t^2)y-4t& =0,\end{array}$$即$$\begin{array}{rl}(x+1)t^2+(-8)t+(x-1)& =0,\\ y{t}^2+(-4)t+y& =0.\end{array}$$记$$\begin{array}{rl}f(T;X,Y)& =(X+1)T^2+(-8)T+(X-1),\\ g(T;X,Y)& =Y{T}^2+(-4)T+Y.\end{array}$$则 $f(t;x,y)=0=g(t;x,y)$. 反过来, 若 $(X,Y,T)=(x,y,t)$ 适合 $f(T;X,Y)=0=g(T;X,Y)$, 则 $t^2+1\ne 0$. (反证法: 若 $y{t}^2-4t+y=0$, 且 $t^2+1=0$, 则 $4t=0$. 则 $t=0$. 可是, $0^2+1\ne 0$.) 则 $(X,Y,T)=(x,y,t)$ 适合式 (C.37.6).

所以, 若 $(X,Y,T)=(x,y,t)$ 适合式 (C.37.6), 则$$\begin{array}{r}0=\det \left[\begin{array}{cccc}x+1& 0& y& 0\\ -8& x+1& -4& y\\ x-1& -8& y& -4\\ 0& x-1& 0& y\end{array}\right]=4(4x^2-16xy+17y^2-4).\end{array}$$记$$\begin{array}{r}R(X,Y)=4X^2-16XY+17Y^2-4.\end{array}$$则 $R(x,y)=0$. 反过来, 若 $(X,Y)=(x,y)$ 适合 $R(X,Y)=0$, 则 $x+1=0=y$, 或 $x+1\ne 0$ 或 $y\ne 0$ 时, 存在数 $t$, 使 $f(t;x,y)=0=g(t;x,y)$. 所以, 若 $(X,Y)=(x,y)$ 适合 $R(X,Y)=0$, 则 $(x,y)=(-1,0)$, 或 $(x,y)\ne (-1,0)$ 时, 存在数 $t$, 使 $(X,Y,T)=(x,y,t)$ 适合式 (C.37.6). 我们可以验证, 不存在数 $t$, 使 $(X,Y,T)=(-1,0,t)$ 适合式 (C.37.6). (反证法: 若 $0=4t/(1+t^2)$, 则 $t=0$. 可是, $-1\ne (1+8\cdot 0-0^2)/(1+0^2)$.)

综上, $X$, $Y$ 的关系是$$\begin{array}{r}4X^2-16XY+17Y^2-4=0,(X,Y)\ne (-1,0).\end{array}$$

定理 C.37.17. 设假定 C.37.1 成立. 设 $m⩾n$.

设$$\begin{array}{r}q(x)=\sum _{k=0}^{m-n}{c}_k{x}^{m-n-k}.\end{array}$$为方便, 我们约定, 若 $k<0$ 或 $k>m-n$, 则 $c_k=0$.

设$$\begin{array}{r}p(x)=g(x)+f(x)q(x)=\sum _{k=0}^m{d}_k{x}^{m-k}.\end{array}$$为方便, 我们约定, 若 $k<0$ 或 $k>m$, 则 $d_k=0$.

则$$\begin{array}{rl}& \det (S(f,p;n,m))=\det (S(f,g;n,m)),\\ & \det (S(p,f;m,n))=\det (S(g,f;m,n)).\end{array}$$

证. 我们证式 1; 您用式 1 与定理 C.37.11 证式 2.

若 $n=0$, 则 $S(f,p;0,m)$ 与 $S(f,g;0,m)$ 都是 $a_0{I}_m$. 则它们的行列式相等.

以下, 我们设 $n⩾1$.

由整式的加法与乘法, $$\begin{array}{r}{d}_k=\{\begin{array}{ll}{b}_k+\sum _{\ell =0}^k{a}_{k-\ell }{c}_{\ell },& 0⩽k⩽m;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$注意, 若 $0⩽k⩽m$, $$\begin{array}{r}\sum _{\ell =0}^k{a}_{k-\ell }{c}_{\ell }=\sum _{\ell =0}^{m-n}{a}_{k-\ell }{c}_{\ell }.\end{array}$$(若 $k⩽m-n$, 则当 $\ell >k$ 时, $a_{k-\ell }=0$. 若 $k>m-n$, 则当 $\ell >m-n$ 时, $c_{\ell }=0$). 并且, 当 $k<0$ 或 $k>m$ 时, $$\begin{array}{r}\sum _{\ell =0}^{m-n}{a}_{k-\ell }{c}_{\ell }=0.\end{array}$$(若 $k<0$, 则当 $\ell ⩾0$ 时, $k-\ell <0$, 故 $a_{k-\ell }=0$. 若 $k>m$, 则当 $\ell ⩽m-n$ 时, $k-\ell >m-\ell ⩾m-(m-n)=n$, 故 $a_{k-\ell }=0$.) 于是, 统一地, 我们可写$$\begin{array}{r}{d}_k=b_k+\sum _{\ell =0}^{m-n}{a}_{k-\ell }{c}_{\ell }.\end{array}$$我们考虑 $\det (S(f,p;n,m))$ 与 $\det (S(f,g;n,m))$ 的关系.

注意, $m+n$ 级阵 $S(f,g;n,m)$ 等于$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \cdots & a_{1-m}& b_0& b_{-1}& \cdots & b_{1-n}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \cdots & a_{2-m}& b_1& b_0& \cdots & b_{2-n}\\ a_2& a_1& a_0& \cdots & a_{3-m}& b_2& b_1& \cdots & b_{3-n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n-1}& a_{n-2}& a_{n-3}& \cdots & a_{n-m}& b_{n-1}& b_{n-2}& \cdots & b_0\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & a_{n+1-m}& b_n& b_{n-1}& \cdots & b_1\\ a_{n+1}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_{n+2-m}& b_{n+1}& b_n& \cdots & b_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m+n-1}& a_{m+n-2}& a_{m+n-3}& \cdots & a_n& b_{m+n-1}& b_{m+n-2}& \cdots & b_m\end{array}\right],\end{array}$$且 $m+n$ 级阵 $S(f,p;n,m)$ 等于$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \cdots & a_{1-m}& d_0& d_{-1}& \cdots & d_{1-n}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \cdots & a_{2-m}& d_1& d_0& \cdots & d_{2-n}\\ a_2& a_1& a_0& \cdots & a_{3-m}& d_2& d_1& \cdots & d_{3-n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n-1}& a_{n-2}& a_{n-3}& \cdots & a_{n-m}& d_{n-1}& d_{n-2}& \cdots & d_0\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & a_{n+1-m}& d_n& d_{n-1}& \cdots & d_1\\ a_{n+1}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_{n+2-m}& d_{n+1}& d_n& \cdots & d_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m+n-1}& a_{m+n-2}& a_{m+n-3}& \cdots & a_n& d_{m+n-1}& d_{m+n-2}& \cdots & d_m\end{array}\right].\end{array}$$注意, $j>m$ 时, $$\begin{array}{rl}{d}_{i-(j-m)}=& b_{i-(j-m)}+\sum _{0⩽\ell ⩽m-n}{a}_{i-(j-m)-\ell }{c}_{\ell }\\ =& b_{i-(j-m)}+\sum _{j-m⩽j-m+\ell ⩽j-n}{a}_{i-(j-m+\ell )}{c}_{(j-m+\ell )-(j-m)}\\ =& b_{i-(j-m)}+\sum _{j-m⩽r⩽j-m+(m-n)}{c}_{r-(j-m)}{a}_{i-r}.\end{array}$$于是, 对 $S(f,g;n,m)$, 我们加列 $1$ 的 $c_0$ 倍到列 $m+1$, 再加列 $2$ 的 $c_1$ 倍到列 $m+1$, …… 再加列 $m-n+1$ 的 $c_{m-n}$ 倍到列 $m+1$, 且我们加列 $2$ 的 $c_0$ 倍到列 $m+2$, 再加列 $3$ 的 $c_1$ 倍到列 $m+2$, …… 再加列 $m-n+2$ 的 $c_{m-n}$ 倍到列 $m+2$, …… 且我们加列 $n$ 的 $c_0$ 倍到列 $m+n$, 再加列 $n+1$ 的 $c_1$ 倍到列 $m+n$, …… 再加列 $m$ 的 $c_{m-n}$ 倍到列 $m+n$, 则我们得 $S(f,p;n,m)$. 则$$\det (S(f,p;n,m))=\det (S(f,g;n,m)).$$证毕.

例 C.37.18. 设假定 C.37.1 成立. 设$$\begin{array}{r}G(x)=\sum _{k=0}^{m+1}{c}_k{x}^{m+1-k},\end{array}$$其中, $c_k=b_{k-1}$; 特别地, $c_0=0$. 注意, 其实, $G(x)=g(x)$, 但$$\begin{array}{r}\sum _{k=0}^m{b}_k{x}^{m-k}\text{与}\sum _{k=0}^{m+1}{c}_k{x}^{m+1-k}\end{array}$$的形式是不同的. $S(f,g;n,m)$ 与 $S(f,G;n,m+1)$ 分别是 $m+n$ 级与 $m+n+1$ 级阵. 我们考虑 $\det (S(f,g;n,m))$ 与 $\det (S(f,G;n,m+1))$ 的关系.

首先, 既然 $c_0=0$, 则 $k⩽0$ 时, $c_k⩽0$. 则 $j>1$ 时, $[S(f,G;n,m+1){]}_{1,j}=0$. (若 $2⩽j⩽m+1$, 则 $[S(f,G;n,m+1){]}_{1,j}=a_{1-j}=0$; 若 $j⩾m+2$, 则 $[S(f,G;n,m+1){]}_{1,j}=c_{1-(j-(m+1))}=c_{m+2-j}=0$.)

另一方面, $(S(f,G;n,m+1))(1|1)=S(f,g;n,m)$. 注意, $$\begin{array}{rl}[S(f,G;n,m+1){]}_{i+1,j+1}=& \{\begin{array}{ll}{a}_{(i+1)-(j+1)},& j+1⩽m+1;\\ c_{(i+1)-(j+1-(m+1))},& j+1>m+1\end{array}\\ =& \{\begin{array}{ll}{a}_{i-j},& j⩽m;\\ c_{i-(j-m)+1},& j>m\end{array}\\ =& \{\begin{array}{ll}{a}_{i-j},& j⩽m;\\ b_{i-(j-m)},& j>m\end{array}\\ =& [S(f,g;n,m){]}_{i,j}.\end{array}$$所以, 由按行 $1$ 展开, $$\begin{array}{rl}& \det (S(f,G;n,m+1))\\ =& (-1{)}^{1+1}[S(f,G;n,m+1){]}_{1,1}\det ((S(f,G;n,m+1))(1|1))\\ =& a_0\det (S(f,g;n,m)).\end{array}$$

注意, $g=G$. 为方便, 我们直接地写$$\begin{array}{r}\det (S(f,g;n,m+1))=a_0\det (S(f,g;n,m)).\end{array}$$由此, 若 $d$ 是非负整数, $$\begin{array}{rl}\det (S(f,g;n,m+d))=& a_0\det (S(f,g;n,m+d-1))\\ =& a_0^2\det (S(f,g;n,m+d-2))\\ =& \dots \dots \dots \dots \\ =& a_0^d\det (S(f,g;n,m)),\end{array}$$其中, $S(f,g;n,m+d)$ 的 $g$ 被认为是$$\begin{array}{r}g(x)=\sum _{k=0}^{m+d}{w}_k{x}^{m+d-k},\end{array}$$其中, $w_k=b_{k-d}$.

最后, 类似地, $$\begin{array}{rl}\det (S(f,g;n+d,m))=& (-1{)}^{m(n+d)}\det (S(g,f;m,n+d))\\ =& (-1{)}^{mn}(-1{)}^{md}{b}_0^d\det (S(g,f;m,n))\\ =& (-1{)}^{md}{b}_0^d\det (S(f,g;n,m)).\end{array}$$

例 C.37.19. 设假定 C.37.1 成立. 设$$\begin{array}{r}F(x)=\sum _{k=0}^n{c}_k{x}^{n-k},G(x)=\sum _{k=0}^m{d}_k{x}^{m-k},\end{array}$$其中, (对任何整数 $\ell$,) $c_{\ell }=a_{n-\ell }$, 且 $d_{\ell }=b_{m-\ell }$. 于是, $$\begin{array}{rl}F(x)& =a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0,\\ G(x)& =b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_0.\end{array}$$我们考虑 $\det (S(F,G;n,m))$ 与 $\det (S(f,g;n,m))$ 的关系.

注意, 若 $j⩽m$, 则$$\begin{array}{rl}[S(F,G;n,m){]}_{i,j}=& c_{i-j}\\ =& a_{n-(i-j)}\\ =& a_{n-i+j}\\ =& a_{m+n+1-i+j-m-1}\\ =& a_{(m+n+1-i)-(m+1-j)}\\ =& [S(f,g;n,m){]}_{m+n+1-i,m+1-j};\end{array}$$若 $j>m$, 则$$\begin{array}{rl}[S(F,G;n,m){]}_{i,j}=& d_{i-(j-m)}\\ =& b_{m-(i-(j-m))}\\ =& b_{m-i+(j-m)}\\ =& b_{m+n+1-i+(j-m)-n-1}\\ =& b_{(m+n+1-i)-(n+1-(j-m))}\\ =& b_{(m+n+1-i)-(m+n+1-(j-m)-m)}\\ =& [S(f,g;n,m){]}_{m+n+1-i,m+n+1-(j-m)}.\end{array}$$作 $m+n$ 级阵 $T$, 使 $[T{]}_{i,j}=[S(f,g;n,m){]}_{m+n+1-i,j}$. 则 $T$ 的行 $i$ 是 $S(f,g;n,m)$ 的行 $m+n+1-i$. 注意, $$\begin{array}{r}[S(F,G;n,m){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[T{]}_{i,m+1-j},& j⩽m;\\ [T{]}_{i,m+n+1-(j-m)},& j>m.\end{array}\end{array}$$则 $T$ 的列 $j$ 是 $S(F,G;n,m)$ 的列 $m+1-j$ (若 $j⩽m$) 或列 $m+n+1-(j-m)$ (若 $j>m$). 我们分别考虑 $\det (T)$, $\det (S(f,g;n,m))$ 的关系, 与 $\det (T)$, $\det (S(F,G;n,m))$ 的关系.

对 $S(f,g;n,m)$, 我们交换行 $m+n$, $m+n-1$, 再交换行 $m+n-1$, $m+n-2$, …… 再交换行 $2$, $1$, 得 $m+n$ 级阵 $T_1$. 则 $T_1$ 的行 $1$ 是 $S(f,g;n,m)$ 的行 $m+n$, 且 $T_1$ 的行 $\ell$ 是 $S(f,g;n,m)$ 的行 $\ell -1$ (若 $\ell >1$). 我们作了 $m+n-1$ 次相邻的行的交换. 则 $\det (T_1)=(-1{)}^{m+n-1}\det (S(f,g;n,m))$. 注意, $T_1$ 的行 $1$ 是 $T$ 的行 $1$.

我们可类似地使 $T_1$ 的行 $m+n$ (其是 $S(f,g;n,m)$ 的行 $m+n-1$) 到行 $2$ 的位置, 使 $T_1$ 的行 $1$ 仍在行 $1$ 的位置, 且使 $T_1$ 的行 $\ell$ 在行 $\ell +1$ 的位置 (若 $2<\ell <m+n$), 得 $m+n$ 级阵 $T_2$. 我们作了 $m+n-2$ 次相邻的行的交换. 则$$\begin{array}{rl}\det (T_2)=& (-1{)}^{m+n-2}\det (T_1)\\ =& (-1{)}^{(m+n-1)+(m+n-2)}\det (S(f,g;n,m)).\end{array}$$

……

最后, 我们共作$$\begin{array}{rl}(m+n-1)+(m+n-2)+\cdots +1=& \frac{(m+n)(m+n-1)}{2}\\ =& \frac{m(m-1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}+mn\end{array}$$次相邻的行的交换, 使 $S(f,g;n,m)$ 的行 $\ell$ 到行 $m+n-1-\ell$ 的位置, $\ell =1$, $2$, $\dots$, $m+n$, 得 $m+n$ 级阵 $T$. 则$$\begin{array}{r}\det (T)=(-1{)}^{m(m-1)/2}(-1{)}^{n(n-1)/2}(-1{)}^{mn}\det (S(f,g;n,m)).\end{array}$$

然后, 我们可类似地, 作 $m+(m-1)+\cdots +1=m(m-1)/2$ 次相邻的列的交换, 且再作 $n+(n-1)+\cdots +1=n(n-1)/2$ 次相邻的列的交换, 使 $T$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $m$ 分别地到列 $m$, $m-1$, $\dots$, $1$ 的位置, 且使 $T$ 的列 $m+1$, $m+2$, $\dots$, $m+n$ 分别地到列 $m+n$, $m+n-1$, $\dots$, $m+1$ 的位置, 得 $m+n$ 级阵 $S(F,G;n,m)$. 则$$\begin{array}{rl}& \det (S(F,G;n,m))\\ =& (-1{)}^{n(n-1)/2}(-1{)}^{m(m-1)/2}\det (T)\\ =& (-1{)}^{n(n-1)/2}(-1{)}^{m(m-1)/2}(-1{)}^{m(m-1)/2}(-1{)}^{n(n-1)/2}(-1{)}^{mn}\det (S(f,g;n,m))\\ =& (-1{)}^{mn}\det (S(f,g;n,m)).\end{array}$$

我们以 $a_{\ell }$, $b_{\ell }$ 直接地表示 $S(F,G;n,m)$ 的元: $$\begin{array}{rl}[S(F,G;n,m){]}_{i,j}=& \{\begin{array}{ll}{a}_{n-(i-j)},& j⩽m;\\ b_{m-(i-(j-m))},& j>m;\end{array}\\ =& \{\begin{array}{ll}{a}_{j-i+n},& j⩽m;\\ b_{j-i},& j>m.\end{array}\end{array}$$对适合假定 C.37.1 的 $f$, $g$, 定义 $m+n$ 级阵 $S^{\prime }(f,g;n,m)$, 其中, $$\begin{array}{r}[S^{\prime }(f,g;n,m){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{a}_{j-i+n},& j⩽m;\\ b_{j-i},& j>m.\end{array}\end{array}$$比如, 若 $n=2$, 且 $m=5$, 则 $S^{\prime }(f,g;2,5)$ 等于$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_2& a_3& a_4& a_5& a_6& b_5& b_6\\ a_1& a_2& a_5& a_4& a_5& b_4& b_5\\ a_0& a_1& a_2& a_3& a_4& b_3& b_4\\ a_{-1}& a_0& a_1& a_2& a_3& b_2& b_3\\ a_{-2}& a_{-1}& a_0& a_1& a_2& b_1& b_2\\ a_{-3}& a_{-2}& a_{-1}& a_0& a_1& b_0& b_1\\ a_{-4}& a_{-3}& a_{-2}& a_{-1}& a_0& b_{-1}& b_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_2& 0& 0& 0& 0& b_5& 0\\ a_1& a_2& 0& 0& 0& b_4& b_5\\ a_0& a_1& a_2& 0& 0& b_3& b_4\\ 0& a_0& a_1& a_2& 0& b_2& b_3\\ 0& 0& a_0& a_1& a_2& b_1& b_2\\ 0& 0& 0& a_0& a_1& b_0& b_1\\ 0& 0& 0& 0& a_0& 0& b_0\end{array}\right].\end{array}$$

在一些文献, 一些作者的 “$f$, $g$ 的 Sylvester 阵” 是这儿的 $S^{\prime }(f,g;n,m)$, 且 “$f$, $g$ 的结式” 是 $\det (S^{\prime }(f,g;n,m))$. 形式地, $S(f,g;n,m)$ 是 “降幂的” ($a_0$, $a_1$, $\dots$, $a_n$ 分别是 $f(x)$ 的 $x^n$, $x^{n-1}$, $\dots$, $1$ 项的系数, 且 $b_0$, $b_1$, $\dots$, $b_m$ 分别是 $g(x)$ 的 $x^m$, $x^{m-1}$, $\dots$, $1$ 项的系数), 而 $S^{\prime }(f,g;n,m)$ 是 “升幂的” ($a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_0$ 分别是 $f(x)$ 的 $1$, $x$, $\dots$, $x^n$ 项的系数, 且 $b_m$, $b_{m-1}$, $\dots$, $b_0$ 分别是 $g(x)$ 的 $1$, $x$, $\dots$, $x^m$ 项的系数). 由前面的讨论, 它们的行列式 (即 $f$, $g$ 的二种结式) 至多差正负号: $\det (S^{\prime }(f,g;n,m))=(-1{)}^{mn}\det (S(f,g;n,m))$.

若您想了解结式的更多的性质, 您可以找相关的文献. 我就说这么多.