C.36. Pfaffian 的完全展开

设 $A$ 是 $n$ 级阵. 我们定义了 $A$ 的行列式$$\begin{array}{r}\det (A)=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{1,1},& n=1;\\ \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1)),& n⩾2.\end{array}\end{array}$$然后, 我们证明了, 具体地,$$\det (A)=\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,i_2,\dots ,i_n⩽n;\\ i_1,i_2,\dots ,i_n\text{互不相同}\end{array}}s(i_1,i_2,\dots ,i_n)[A{]}_{i_1,1}[A{]}_{i_2,2}\dots [A{]}_{i_n,n},$$(C.36.1)其中,$$\begin{array}{rl}s(i_1,i_2,\dots ,i_n)=& \prod _{1⩽u<v⩽n}\mathrm{sgn}(i_v-i_u),\end{array}$$其中,$$\begin{array}{r}\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0;\\ 0,& x=0;\\ -1,& x<0.\end{array}\end{array}$$式 (C.36.1) 是行列式的完全展开.

设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 我们定义了 $A$ 的 pfaffian$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(A)=\{\begin{array}{ll}0,& n=1;\\ [A{]}_{1,2},& n=2;\\ \sum _{j=2}^n(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j)),& n⩾3.\end{array}\end{array}$$当 $n$ 是奇数时, 我们用数学归纳法证明了, $\mathrm{pf}(A)=0$. 当 $n=2m$ 是偶数时, 我们也能具体地写 $\mathrm{pf}(A)$ 吗?

本节, 我们研究偶数级反称阵的 pfaffian 的完全展开.

定义 C.36.1. 设 $A$ 是 $2m$ 级反称阵. 定义 $A$ 的 “qfaffian” $$\begin{array}{r}\mathrm{qf}(A)=\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_1<j_1,\dots ,i_m<j_m;\\ i_1<\cdots <i_m\end{array}}s(i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_m,j_m}.\end{array}$$

注意, 既然 $i_1<j_1$, $\dots$, $i_m<j_m$, 且 $i_1<\cdots <i_m$, 则 $i_1$ 一定比 $i_2$, $\dots$, $i_m$ 都小, 且 $i_1$ 也比 $j_1$, $\dots$, $j_m$ 都小. 则 $i_1$ 是 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_m$, $j_m$ 的最小的数.

注意, 我们不定义奇数级反称阵的 “qfaffian”.

我们计算小级反称阵的 “qfaffian”.

例 C.36.2. 设 $A$ 是 $2\cdot 1$ 级反称阵. 则, 适合 $i_1<j_1$, 且 $1⩽i_1,j_1⩽2$ 的 $(i_1,j_1)$ 是 $(1,2)$. 则 $\mathrm{qf}(A)=s(1,2)[A{]}_{1,2}=[A{]}_{1,2}$. 注意, $\mathrm{qf}(A)=\mathrm{pf}(A)$.

例 C.36.3. 设 $A$ 是 $2\cdot 2$ 级反称阵. 则, 适合 $i_1<j_1$, $i_2<j_2$, $i_1<i_2$, 且 $1⩽i_1,j_1,i_2,j_2⩽4$ 的 $(i_1,j_1,i_2,j_2)$ 是 $(1,2,3,4)$, $(1,3,2,4)$, $(1,4,2,3)$. 则$$\begin{array}{rl}& \mathrm{qf}(A)\\ =& s(1,2,3,4)[A{]}_{1,2}[A{]}_{3,4}+s(1,3,2,4)[A{]}_{1,3}[A{]}_{2,4}+s(1,4,2,3)[A{]}_{1,4}[A{]}_{2,3}\\ =& 1[A{]}_{1,2}[A{]}_{3,4}+(-1)[A{]}_{1,3}[A{]}_{2,4}+1[A{]}_{1,4}[A{]}_{2,3}\\ =& [A{]}_{1,2}[A{]}_{3,4}-[A{]}_{1,3}[A{]}_{2,4}+[A{]}_{1,4}[A{]}_{2,3}.\end{array}$$注意, $\mathrm{qf}(A)=\mathrm{pf}(A)$.

我们会证明, 对任何 $2m$ 级反称阵 $A$, $\mathrm{qf}(A)=\mathrm{pf}(A)$. 不过, 我们要作准备.

定理 C.36.4. 设 $A$ 是 $2m$ 级反称阵. 设 $2⩽2k⩽2m$. 设 $1⩽h_1<\cdots <h_{2k}⩽2m$. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{qf}\left(A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{h_1,\dots ,h_{2k}}{h_1,\dots ,h_{2k}}\right)\right)=\sum _{\begin{array}{c}{i}_1,j_1,\dots ,i_k,j_k\text{是}\\ h_1,\dots h_{2k}\text{的排列};\\ i_1<j_1,\dots ,i_k<j_k;\\ i_1<\cdots <i_k\end{array}}s(i_1,j_1,\dots ,i_k,j_k)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_k,j_k}.\end{array}$$

证. 记$$\begin{array}{r}B=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{h_1,\dots ,h_{2k}}{h_1,\dots ,h_{2k}}\right).\end{array}$$则 $B$ 是 $2k$ 级反称阵, 且 $[B{]}_{u,v}=[A{]}_{h_u,h_v}$.

记 $f(h_t)=t$, $t=1$, $\dots$, $2k$. 则若 $h_u<h_v$, 必 $f(h_u)<f(h_v)$; 反过来, 若 $f(h_u)<f(h_v)$, 必 $h_u<h_v$. 那么:

(1) 对任何 $h_1$, $\dots$, $h_{2k}$ 的排列 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_k$, $j_k$, 我们有, $f(i_1)$, $f(j_1)$, $\dots$, $f(i_k)$, $f(j_k)$ 一定是 $1$, $\dots$, $2k$ 的排列. 反过来, 对任何 $1$, $\dots$, $2k$ 的排列 $u_1$, $v_1$, $\dots$, $u_k$, $v_k$, 我们有, $h_{u_1}$, $h_{v_1}$, $\dots$, $h_{u_k}$, $h_{v_k}$, 一定是 $h_1$, $\dots$, $h_{2k}$ 的排列.

(2) 若 $h_1$, $\dots$, $h_{2k}$ 的排列 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_k$, $j_k$ 适合 $i_1<j_1$, $\dots$, $i_k<j_k$, 则对应的 $1$, $\dots$, $2k$ 的排列 $f(i_1)$, $f(j_1)$, $\dots$, $f(i_k)$, $f(j_k)$ 适合 $f(i_1)<f(j_1)$, $\dots$, $f(i_k)<f(j_k)$. 反过来, 若 $1$, $\dots$, $2k$ 的排列 $u_1$, $v_1$, $\dots$, $u_k$, $v_k$ 适合 $u_1<v_1$, $\dots$, $u_k<v_k$, 则对应的 $h_1$, $\dots$, $h_{2k}$ 的排列 $h_{u_1}$, $h_{v_1}$, $\dots$, $h_{u_k}$, $h_{v_k}$ 适合 $h_{u_1}<h_{v_1}$, $\dots$, $h_{u_k}<h_{v_k}$.

(3) 若 $h_1$, $\dots$, $h_{2k}$ 的排列 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_k$, $j_k$ 适合 $i_1<\cdots <i_k$, 则对应的 $1$, $\dots$, $2k$ 的排列 $f(i_1)$, $f(j_1)$, $\dots$, $f(i_k)$, $f(j_k)$ 适合 $f(i_1)<\cdots <f(i_k)$. 反过来, 若 $1$, $\dots$, $2k$ 的排列 $u_1$, $v_1$, $\dots$, $u_k$, $v_k$ 适合 $u_1<\cdots <u_k$, 则对应的 $h_1$, $\dots$, $h_{2k}$ 的排列 $h_{u_1}$, $h_{v_1}$, $\dots$, $h_{u_k}$, $h_{v_k}$ 适合 $h_{u_1}<\cdots <h_{u_k}$.

(4) 既然 $h_u<h_v$ 相当于 $f(h_u)<f(h_v)$, 我们有, $\mathrm{sgn}(f(h_t)-f(h_s))=\mathrm{sgn}(h_t-h_s)$. 则 $s(f(i_1),f(j_1),\dots ,f(i_k),f(j_k))=s(i_1,j_1,\dots ,i_k,j_k)$.

综上, $$\begin{array}{rl}& \mathrm{qf}\left(A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{h_1,\dots ,h_{2k}}{h_1,\dots ,h_{2k}}\right)\right)\\ =& \mathrm{qf}(B)\\ =& \sum _{\begin{array}{c}{i}_1,j_1,\dots ,i_k,j_k\text{是}\\ h_1,\dots h_{2k}\text{的排列};\\ i_1<j_1,\dots ,i_k<j_k;\\ i_1<\cdots <i_k\end{array}}s(f(i_1),f(j_1),\dots ,f(i_k),f(j_k))[B{]}_{f(i_1),f(j_1)}\dots [B{]}_{f(i_k),f(j_k)}\\ =& \sum _{\begin{array}{c}{i}_1,j_1,\dots ,i_k,j_k\text{是}\\ h_1,\dots h_{2k}\text{的排列};\\ i_1<j_1,\dots ,i_k<j_k;\\ i_1<\cdots <i_k\end{array}}s(i_1,j_1,\dots ,i_k,j_k)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_k,j_k}.\end{array}$$

证毕.

定理 C.36.5. 设 $p_1$, $p_2$, $p_3$, $\dots$, $p_n$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 设 $p_1=1$. 则$$\begin{array}{r}s(p_1,p_2,p_3,\dots ,p_n)=(-1{)}^{p_2-2}s(p_3,\dots ,p_n).\end{array}$$

证. 注意, $$\begin{array}{rl}& s(p_1,p_2,p_3,\dots ,p_n)\\ =& \prod _{1⩽u<v⩽n}\mathrm{sgn}(p_v-p_u)\\ =& \left(\prod _{\begin{array}{c}1⩽u<v⩽n\\ u=1\end{array}}\mathrm{sgn}(p_v-p_u)\right)\cdot \left(\prod _{\begin{array}{c}1⩽u<v⩽n\\ u=2\end{array}}\mathrm{sgn}(p_v-p_u)\right)\cdot \left(\prod _{\begin{array}{c}1⩽u<v⩽n\\ u⩾3\end{array}}\mathrm{sgn}(p_v-p_u)\right)\\ =& \left(\prod _{2⩽v⩽n}\mathrm{sgn}(p_v-p_1)\right)\cdot \left(\prod _{3⩽v⩽n}\mathrm{sgn}(p_v-p_2)\right)\cdot s(p_3,\dots ,p_n).\end{array}$$注意, 既然 $p_1=1$, 则 $v\ne 1$ 时, 必 $p_v>1$. 则$$\begin{array}{r}\prod _{2⩽v⩽n}\mathrm{sgn}(p_v-p_1)=1.\end{array}$$注意, 在 $p_3$, $\dots$, $p_n$ 里, 恰有 $p_2-2$ 个数比 $p_2$ 小 (注意, $p_1=1$). 则$$\begin{array}{r}\prod _{3⩽v⩽n}\mathrm{sgn}(p_v-p_2)=(-1{)}^{p_2-2}.\end{array}$$综上, $$s(p_1,p_2,p_3,\dots ,p_n)=(-1{)}^{p_2-2}s(p_3,\dots ,p_n).$$证毕.

现在, 我们证明, “qfaffian” 就是 pfaffian.

定理 C.36.6. 设 $A$ 是 $2m$ 级反称阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(A)=\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_1<j_1,\dots ,i_m<j_m;\\ i_1<\cdots <i_m\end{array}}s(i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_m,j_m}.\end{array}$$

证. 作命题 $P(m)$: 对任何 $2m$ 级反称阵 $A$, $\mathrm{pf}(A)=\mathrm{qf}(A)$. 我们用数学归纳法证明, 对任何正整数 $m$, $P(m)$ 是对的.

$P(1)$ 是对的.

我们设 $P(m-1)$ 是对的. 我们要由此证明, $P(m)$ 是对的.

任取 $2m$ 级反称阵 $A$. 记 $i_1=1$. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A)=& \sum _{2⩽j_1⩽2m}(-1{)}^{j_1}[A{]}_{i_1,j_1}\mathrm{pf}(A(i_1,j_1|i_1,j_1))\\ =& \sum _{\begin{array}{c}{i}_1=1;\\ i_1<j_1⩽2m\end{array}}(-1{)}^{j_1}[A{]}_{i_1,j_1}\mathrm{pf}(A(i_1,j_1|i_1,j_1)).\end{array}$$由假定, $$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A(i_1,j_1|i_1,j_1))=& \mathrm{qf}(A(i_1,j_1|i_1,j_1))\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\ne i_1;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\ne j_1;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_2<j_2,\dots ,i_m<j_m;\\ i_2<\cdots <i_m\end{array}}s(i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_2,j_2}\dots [A{]}_{i_m,j_m}.\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(A)\\ =& \sum _{\begin{array}{c}{i}_1=1;\\ i_1<j_1⩽2m\end{array}}(-1{)}^{j_1}[A{]}_{i_1,j_1}\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\ne i_1;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\ne j_1;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_2<j_2,\dots ,i_m<j_m;\\ i_2<\cdots <i_m\end{array}}s(i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_2,j_2}\dots [A{]}_{i_m,j_m}\\ =& \sum _{\begin{array}{c}{i}_1=1;\\ i_1<j_1⩽2m\end{array}}\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\ne i_1;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\ne j_1;\\ i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_2<j_2,\dots ,i_m<j_m;\\ i_2<\cdots <i_m\end{array}}(-1{)}^{j_1}[A{]}_{i_1,j_1}s(i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_2,j_2}\dots [A{]}_{i_m,j_m}\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,j_1,i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_1,j_1,i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_1<j_1,i_2<j_2,\dots ,i_m<j_m;\\ i_1<i_2<\cdots <i_m\end{array}}(-1{)}^{j_1-2}s(i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_1,j_1}[A{]}_{i_2,j_2}\dots [A{]}_{i_m,j_m}\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_1<j_1,\dots ,i_m<j_m;\\ i_1<\cdots <i_m\end{array}}s(i_1,j_1,i_2,j_2,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_1,j_1}[A{]}_{i_2,j_2}\dots [A{]}_{i_m,j_m}\\ =& \mathrm{qf}(A).\end{array}$$

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

既然我们有了 pfaffian 的完全展开, 我们就不再说 “qfaffian”, 且不再用记号 $\mathrm{qf}$.

值得提, $2m$ 级反称阵的 pfaffian 有 $(2m-1)\cdot (2m-3)\cdot \cdots \cdot 1$ 项. 毕竟, 若互不相同的 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_m$, $j_m$ 适合 $i_1<j_1$, $\dots$, $i_m<j_m$, 且 $i_1<\cdots <i_m$, 则 $i_1$ 一定是 $1$, $2$, $\dots$, $2m$ 的最小的数, $1$. 则 $j_1$ 有 $2m-1$ 种选择. 则 $i_2$ 一定是剩下的 $2m-2$ 个数的最小的数. 则 $j_2$ 有 $2m-3$ 种选择. …… 则 $i_m$ 一定是剩下的 $2$ 个数的较小的数. 则 $j_m$ 有 $1$ 种选择. 由分步乘法计数原理, 这样的 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_m$, $j_m$ 的个数是$$\begin{array}{r}1\cdot (2m-1)\cdot 1\cdot (2m-3)\cdot \cdots \cdot 1\cdot 1=(2m-1)\cdot (2m-3)\cdot \cdots \cdot 1.\end{array}$$

Pfaffian 的完全展开有如下的变体:

定理 C.36.7. 设 $A$ 是 $2m$ 级反称阵. 则$$\begin{array}{rl}& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m⩽2m;\\ u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m\text{互不相同}\end{array}}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[A{]}_{u_1,v_1}\dots [A{]}_{u_m,v_m}\\ =& 2^{m}m!\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_1<j_1,\dots ,i_m<j_m;\\ i_1<\cdots <i_m\end{array}}s(i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_m,j_m},\end{array}$$其中, $m!=m\cdot (m-1)\cdot \cdots \cdot 1$. 所以, $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(A)=\frac{1}{2^{m}m!}\sum _{\begin{array}{c}1⩽u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m⩽2m;\\ u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m\text{互不相同}\end{array}}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[A{]}_{u_1,v_1}\dots [A{]}_{u_m,v_m}.\end{array}$$

证. 数的乘法适合结合律与交换律. 那么, 对任何项$$\begin{array}{r}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[A{]}_{u_1,v_1}\dots [A{]}_{u_m,v_m},\end{array}$$适当地交换 $[A{]}_{u_1,v_1}$, $\dots$, $[A{]}_{u_m,v_m}$ 的次序, 并注意, $[A{]}_{i,j}=-[A{]}_{j,i}$, 我们可变它为 $\sigma (u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_m,j_m}$, 其中, $\sigma (u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)$ 是由 $u_1$, $v_1$, $\dots$, $u_m$, $v_m$ 确定的数 ($1$ 或 $-1$), $i_1<j_1$, $\dots$, $i_m<j_m$, 且 $i_1<\cdots <i_m$. 我们说明, $$\begin{array}{r}\sigma (u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)=s(i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m),\end{array}$$从而$$\begin{array}{r}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[A{]}_{u_1,v_1}\dots [A{]}_{u_m,v_m}=s(i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_m,j_m}.\end{array}$$

回想, 交换排列的二个数, 则它的符号变为原符号的相反数 (见 “排列”). 那么, $$\begin{array}{rl}s(\dots ,u_p,v_p,\dots ,u_q,v_q,\dots )=& (-1)s(\dots ,u_q,v_p,\dots ,u_p,v_q,\dots )\\ =& (-1)(-1)s(\dots ,u_q,v_q,\dots ,u_p,v_p,\dots )\\ =& s(\dots ,u_q,v_q,\dots ,u_p,v_p,\dots ).\end{array}$$这里, 未写的元是不变的, 下同. 则$$\begin{array}{rl}& s(\dots ,u_p,v_p,\dots ,u_q,v_q,\dots )(\dots [A{]}_{u_p,v_p}\dots [A{]}_{u_q,v_q}\dots )\\ =& s(\dots ,u_q,v_q,\dots ,u_p,v_p,\dots )(\dots [A{]}_{u_q,v_q}\dots [A{]}_{u_p,v_p}\dots ).\end{array}$$另外, $$\begin{array}{r}s(\dots ,u_p,v_p,\dots )=(-1)s(\dots ,u_q,v_p,\dots ),\end{array}$$且$$\begin{array}{r}(\dots [A{]}_{u_q,v_q}\dots )=(-1)(\dots [A{]}_{v_q,u_q}\dots ),\end{array}$$故$$\begin{array}{r}s(\dots ,u_p,v_p,\dots )(\dots [A{]}_{u_q,v_q}\dots )=s(\dots ,v_p,u_p,\dots )(\dots [A{]}_{v_q,u_q}\dots ).\end{array}$$

对 $1$, $2$, $\dots$, $2m$ 的任何排列 $u_1$, $v_1$, $\dots$, $u_m$, $v_m$, 我们分它的 $2m$ 个数为 $m$ 个偶 $(u_1,v_1)$, $\dots$, $(u_m,v_m)$. 考虑由此排列确定的项$$\begin{array}{r}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[A{]}_{u_1,v_1}\dots [A{]}_{u_m,v_m}.\end{array}$$前面的计算说明, 交换这 $m$ 个偶的次序不改变项的结果, 且交换一个偶的二个数的次序也不改变项的结果. 故$$\begin{array}{r}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[A{]}_{u_1,v_1}\dots [A{]}_{u_m,v_m}=s(i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_m,j_m},\end{array}$$其中, $i_1<j_1$, $\dots$, $i_m<j_m$, 且 $i_1<\cdots <i_m$.

注意, $1$, $2$, $\dots$, $2m$ 的任何排列 $u_1$, $v_1$, $\dots$, $u_m$, $v_m$ 可被变为某个 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_m$, $j_m$, 其中, $i_1<j_1$, $\dots$, $i_m<j_m$, 且 $i_1<\cdots <i_m$. 反过来, 对于任何这样的 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_m$, $j_m$, 我们分它的 $2m$ 个数为 $m$ 个偶 $(i_1,j_1)$, $\dots$, $(i_m,j_m)$, 并自由地交换偶的次序, 与一个偶的二个数的次序, 可得 $1$, $2$, $\dots$, $2m$ 的一个排列. 我们有 $m\cdot (m-1)\cdot \cdots \cdot 1=m!$ 种交换偶的次序的方式. 偶的次序被给定后, 我们有 $2\cdot 2\cdot \cdots \cdot 2\text{ (m 个 2)}=2^m$ 种交换偶的二个数的次序的方式. 所以, 一个 $i_1$, $j_1$, $\dots$, $i_m$, $j_m$ ($i_1<j_1$, $\dots$, $i_m<j_m$, 且 $i_1<\cdots <i_m$) 给出 $2^{m}m!$ 个 $1$, $2$, $\dots$, $2m$ 的排列, 且由这些排列确定的项是相等的. 故$$\begin{array}{rl}& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m⩽2m;\\ u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m\text{互不相同}\end{array}}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[A{]}_{u_1,v_1}\dots [A{]}_{u_m,v_m}\\ =& 2^{m}m!\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m⩽2m;\\ i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m\text{互不相同};\\ i_1<j_1,\dots ,i_m<j_m;\\ i_1<\cdots <i_m\end{array}}s(i_1,j_1,\dots ,i_m,j_m)[A{]}_{i_1,j_1}\dots [A{]}_{i_m,j_m}.\end{array}$$

证毕.

最后, 我们用 pfaffian 的完全展开证明 pfaffian 的性质.

定理 C.36.8. 设 $A$ 是 $2m$ 级反称阵. 设 $P$ 是 $2m$ 级阵. 则$$\mathrm{pf}(PA{P}^{\mathrm{T}})=\det (P)\mathrm{pf}(A).$$(C.36.2)

证. 注意, $$\begin{array}{rl}[PA{P}^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=& \sum _{1⩽t⩽2m}[PA{]}_{i,t}[P^{\mathrm{T}}{]}_{t,j}\\ =& \sum _{1⩽t⩽2m}\left(\sum _{1⩽r⩽2m}[P{]}_{i,r}[A{]}_{r,t}\right)[P{]}_{j,t}\\ =& \sum _{1⩽r,t⩽2m}[P{]}_{i,r}[P{]}_{j,t}[A{]}_{r,t}.\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}& [PA{P}^{\mathrm{T}}{]}_{u_1,v_1}\dots [PA{P}^{\mathrm{T}}{]}_{u_m,v_m}\\ =& \left(\sum _{1⩽r_1,t_1⩽2m}[P{]}_{u_1,r_1}[P{]}_{v_1,t_1}[A{]}_{r_1,t_1}\right)\dots \left(\sum _{1⩽r_m,t_m⩽2m}[P{]}_{u_m,r_m}[P{]}_{v_m,t_m}[A{]}_{r_m,t_m}\right)\\ =& \sum _{1⩽r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m⩽2m}[P{]}_{u_1,r_1}[P{]}_{v_1,t_1}\dots [P{]}_{u_m,r_m}[P{]}_{v_m,t_m}\cdot [A{]}_{r_1,t_1}\dots [A{]}_{r_m,t_m}.\end{array}$$为方便, 我们简单地写 “$1⩽u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m⩽2m$” 为 “$u,v\text{:}1,2m$”, 且简单地写 “$u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m$ 互不相同” 为 “$u,v\text{D}$”. 则$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(PA{P}^{\mathrm{T}})\\ =& \frac{1}{2^{m}m!}\sum _{\begin{array}{c}u,v\text{:}1,2m;\\ u,v\text{D}\end{array}}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[PA{P}^{\mathrm{T}}{]}_{u_1,v_1}\dots [PA{P}^{\mathrm{T}}{]}_{u_m,v_m}\\ =& \frac{1}{2^{m}m!}\sum _{\begin{array}{c}u,v\text{:}1,2m;\\ u,v\text{D}\end{array}}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)\\ & \cdot \sum _{r,t\text{:}1,2m}[P{]}_{u_1,r_1}[P{]}_{v_1,t_1}\dots [P{]}_{u_m,r_m}[P{]}_{v_m,t_m}\cdot [A{]}_{r_1,t_1}\dots [A{]}_{r_m,t_m}\\ =& \frac{1}{2^{m}m!}\sum _{\begin{array}{c}u,v\text{:}1,2m;\\ u,v\text{D}\end{array}}\sum _{r,t\text{:}1,2m}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[P{]}_{u_1,r_1}[P{]}_{v_1,t_1}\dots [P{]}_{u_m,r_m}[P{]}_{v_m,t_m}\\ & \cdot [A{]}_{r_1,t_1}\dots [A{]}_{r_m,t_m}\\ =& \frac{1}{2^{m}m!}\sum _{r,t\text{:}1,2m}\sum _{\begin{array}{c}u,v\text{:}1,2m;\\ u,v\text{D}\end{array}}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[P{]}_{u_1,r_1}[P{]}_{v_1,t_1}\dots [P{]}_{u_m,r_m}[P{]}_{v_m,t_m}\\ & \cdot [A{]}_{r_1,t_1}\dots [A{]}_{r_m,t_m}\\ =& \frac{1}{2^{m}m!}\sum _{r,t\text{:}1,2m}\left(\sum _{\begin{array}{c}u,v\text{:}1,2m;\\ u,v\text{D}\end{array}}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[P{]}_{u_1,r_1}[P{]}_{v_1,t_1}\dots [P{]}_{u_m,r_m}[P{]}_{v_m,t_m}\right)\\ & \cdot [A{]}_{r_1,t_1}\dots [A{]}_{r_m,t_m}.\end{array}$$作 $2m$ 级阵 $Q(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m)$ 如下: $$\begin{array}{rl}[Q(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m){]}_{i,2j-1}& =[P{]}_{i,r_j},\\ [Q(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m){]}_{i,2j}& =[P{]}_{i,t_j}.\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}& \sum _{\begin{array}{c}u,v\text{:}1,2m;\\ u,v\text{D}\end{array}}s(u_1,v_1,\dots ,u_m,v_m)[P{]}_{u_1,r_1}[P{]}_{v_1,t_1}\dots [P{]}_{u_m,r_m}[P{]}_{v_m,t_m}\\ =& \det (Q(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m)).\end{array}$$若在 $r_1$, $t_1$, $\dots$, $r_m$, $t_m$, 有二个数相同, 则 $Q(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m)$ 有二列相同. 则 $\det (Q(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m))=0$. 若 $r_1$, $t_1$, $\dots$, $r_m$, $t_m$ 互不相同, 则 (见第一章, 节 11) $$\begin{array}{r}\det (Q(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m))=\det (P)s(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m).\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(PA{P}^{\mathrm{T}})=& \frac{1}{2^{m}m!}\sum _{\begin{array}{c}r,t\text{:}1,2m;\\ r,t\text{D}\end{array}}\det (P)s(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m)[A{]}_{r_1,t_1}\dots [A{]}_{r_m,t_m}\\ =& \frac{1}{2^{m}m!}\det (P)\sum _{\begin{array}{c}r,t\text{:}1,2m;\\ r,t\text{D}\end{array}}s(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m)[A{]}_{r_1,t_1}\dots [A{]}_{r_m,t_m}\\ =& \det (P)\frac{1}{2^{m}m!}\sum _{\begin{array}{c}r,t\text{:}1,2m;\\ r,t\text{D}\end{array}}s(r_1,t_1,\dots ,r_m,t_m)[A{]}_{r_1,t_1}\dots [A{]}_{r_m,t_m}\\ =& \det (P)\mathrm{pf}(A).\end{array}$$

证毕.

定理 C.36.9. 设 $A$ 是 $2m$ 级反称阵. 则 $\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2$.

证. 在式 (C.36.2), 我们取 $P$ 为 $2m$ 级倍加阵 $E(2m;p,q;s)$, 其中, $p\ne q$, 且$$\begin{array}{r}[E(2m;p,q;s){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}s,& \text{i=p, 且 j=q};\\ [I_{2m}{]}_{i,j},& \text{其他},\end{array}\end{array}$$则我们知道, 作一次列的倍加与一次对应的行的倍加不改变 pfaffian, 因为倍加阵的行列式是 $1$.

利用若干次列的倍加, 与对应的行的倍加 (先列后行, 交替地作), 我们可变 $A$ 为$$\begin{array}{r}B=\left[\begin{array}{ccccccc}0& b_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ -b_1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& b_2& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -b_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& b_m\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -b_m& 0\end{array}\right].\end{array}$$则 $\det (B)=\det (A)$, 且 $\mathrm{pf}(B)=\mathrm{pf}(A)$. 最后, 注意, $\det (B)=(\mathrm{pf}(B){)}^2$, 故 $\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2$.

证毕.