35.   次方程组

本节, 我们讨论如何求解方程组(35.1)其中 (, ).

我们看一个简单的例.

例 35.1. 解方程组

注意到联立 , 可解出联立 , 可解出经验证, , , 都是解.

不难算出 的判别式所以, 理论地, 确实可被写为二个   次式的积. 不过, 的判别式所以, 不可被写为二个   次式的积.

由此可见, 若我们能写方程组 (35.1) 的一个方程的左侧为二个   次式的积, 则我们可解二次 (dufoje)   次方程, 以算出方程组的解.

不过, 不是所有的方程组都这么简单.

例 35.2. 解方程组

我们试用老方法解此方程组. 不过, 试了试, 发现 好像都 “不可被分解”. 此时, 我们来计算判别式. ,  的判别式分别是看来, 我们没法像上个例那样简单地解此方程组.

不过, 我们并非无计可施.

定理 35.3. 是复数. 则方程组 (35.1) 与方程组(35.2)同解.

证. 任取方程组 (35.1) 的一个解 . 于是, . 从而 . 也就是说, 方程组 (35.1) 的每一个解都是方程组 (35.2) 的解.

反过来, 任取方程组 (35.2) 的一个解 . 于是, . 从而 . 也就是说, 方程组 (35.2) 的每一个解都是方程组 (35.1) 的解.

证毕.

根据上个定理, 方程组 (35.1) 与方程组 (35.2) 同解. 那么, 能否取适当的 , 使方程组 (35.2) 的首个方程的左侧可被写为二个   次式的积? 我们计算 的判别式:其中,  的判别式 (, ), 且 是一个 (关于  的)   次式, 故 是一个   次方程. 理论地, 这是可解的. 解出一个 . 从而, 我们可用 “老方法” 解跟方程组 (35.1) 同解的方程组 (35.2), 进而得到方程组 (35.1) 的解.

例 35.4. 我们解当时未能求解的方程组

待定复数 . 作出同解方程组其中计算 的判别式所以, 我们可取 . 则从而 . 联立 , 可解出联立 , 可解出经验证, , , , 都是解.