24. 由 $n$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组 (4)

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为 “选学内容” 的节).

本节没有新的知识.

综合前几节的讨论, 我们有如下定理.

定理 24.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵, $B$ 是 $n \times 1$ 阵, $X$ 是未知的 $n \times 1$ 阵.

(1) 当 $det (A) \neq = 0$ 时, $A X = B$ 有唯一的解;

(2) 当 $det (A) = 0$ 时, $A X = B$ 要么无解, 要么有多于一个解.

这就是由 $n$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组的解的定性的理论 (青春版). 不过, 当 $det (A) = 0$ 时, 如何进一步地判断 $A X = B$ 是否有解? 这是此理论无法解答的问题.

若 $det (A) \neq = 0$ , 则, 定量地, 我们可用 Cramer 公式写出 $A X = B$ 的 (唯一的) 解. 不过, 若 $A X = B$ , 但 $det (A) = 0$ , 我们如何写出它的 (所有的) 解?

我会在接下来的几节里, 讨论一般的由 $m$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组, 并解决这些问题.