25. 由    次方程作成的方程组 (1)

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本节是选学内容; 换句话说, 您不学本节, 并不会影响您对任何必学内容 (也就是, 未声明为 “选学内容” 的节) 的理解.

在接下来的若干节里, 我想用行列式讨论由    次方程作成的方程组的解. 我希望您注意到, 方程数 不一定等于未知数之数 .

讨论由    次方程作成的方程组的解时, 我们先对一种特别情形作了定量的讨论 (Cramer 公式), 再对较一般的情形作了定性的讨论; 换句话说, 我们当时是先定量, 再定性. 不过, 这次, 讨论由    次方程作成的方程组时, 我们先定性, 再定量. 这么作, 会较方便一些.

或许, 您记得, 若一个  级阵 的行列式为零, 则 有非零解. 或许, 您还记得, 是否有非零解跟 (有解时) 是否有唯一的解有关. 对一般的由    次方程作成的方程组来说, 我们也有类似的结论.

本节, 我们讨论, 线性方程组有解时, 解是否唯一.

我们先看一个较简单的事实.

定理 25.1. 阵. 设  阵. 设   适合 .

(1) 若 只有零解, 则 的解唯一;

(2) 若存在非零的   使 , 则 的解不唯一.

证. (1) 设   适合 . 则 的一个解. 因为 只有零解, 故 . 从而 .

(2) 因为 , 故 . 因为 , 且 , 故 的解不唯一.

证毕.

由此可见, 若 有非零解, 则 有解时, 其解不唯一. 若 只有零解, 则 有解时, 其解唯一.

接着, 我们讨论, 是否有非零解. 不过, 为了使讨论简单一些, 我们要作一些准备.

定理 25.2. 阵. 若 没有行列式非零的  级子阵, 则对任何高于  的整数 , 没有行列式非零的  级子阵.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设命题 为:

没有行列式非零的  级子阵.

则我们的目标是: 对任何高于  的整数 , 是正确的.

是正确的.

假定 是正确的. 我们由此证, 也是正确的. 若 不存在  级子阵, 此事自然是正确的. 若 存在  级子阵, 利用定义, 按列  展开其行列式, 可知, 此子阵的行列式是    级子阵的行列式的倍的和. 由此可知, 没有行列式非零的  级子阵.

所以, 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

定理 25.3. 阵. 存在一个唯一的非负整数 , 使:

(1) 有一个行列式非零的  级子阵;

(2) 没有行列式非零的  级子阵.

证. 唯一性是较简单的. 设还有非负整数 适合条件:

(1) 有一个行列式非零的  级子阵;

(2) 没有行列式非零的  级子阵.

反设 . 既然 没有行列式非零的  级子阵, 故 没有行列式非零的  级子阵. 这跟 (1) 矛盾. 所以, . 类似地, 我们可证 . 从而 .

下面, 我们说明存在性. 我们设 中的较小者. 若 有行列式非零的  级子阵, 我们可取 ; 否则, 我们代 . 若 有行列式非零的  级子阵, 我们可取 ; 否则, 我们代 . 反复地作下去, 我们一定能找到此 . (注意到, 我们约定 “ 级阵” 的行列式为 , 所以这个过程一定能结束.)

证毕.

定理 25.4 (零的作用). 阵. 设  阵. 设 是一个不超过  的正整数. 作一个  , 其中(通俗地, 是在  的行  下写零行作成的阵.) 再作一个  , 其中(通俗地, 是在  的行  下写零作成的阵.)

(1) 若   适合 , 则 .

(2) 若   适合 , 则 .

(3) 若 有一个行列式非零的  级子阵, 但没有行列式非零的  级子阵, 则 有一个行列式非零的  级子阵, 但没有行列式非零的  级子阵.

(4) 若 有一个行列式非零的  级子阵, 但没有行列式非零的  级子阵, 则 有一个行列式非零的  级子阵, 但没有行列式非零的  级子阵.

证. (1) 设 . 我们要证 .

首先, 的尺寸都是 .

, 则, 则, 则由此可见, .

(2) 设 . 我们要证 .

首先, 的尺寸都是 .

其次, 注意到类似地,

, 则, 则由此可见, .

(3) 注意到,  的子阵都是  的子阵. 所以, 若 有一个行列式非零的  级子阵, 则 也有一个行列式非零的  级子阵. 对  的每一个子阵来说, 要么 的行  被选中, 要么 的行  不被选中. 所以, 那些 的行  不被选中的  级子阵 (若存在) 一定是   级子阵 (若存在), 故其行列式为零. 而那些 的行  被选中的  级子阵 (若存在) 有一行的元全是零, 故其行列式为零. 从而, 也没有行列式非零的  级子阵.

(4) 对  的每一个子阵来说, 要么 的行  被选中, 要么 的行  不被选中. 设 有一个行列式非零的  级子阵. 那么, 这个子阵一定不含元全为零的行. 特别地, 对此子阵而言, 的行  一定不被选中. 所以, 这也是  的一个  级子阵. 所以, 也有一个行列式非零的  级子阵. 注意到,  的子阵都是  的子阵. 既然 没有行列式非零的  级子阵, 那么 也没有行列式非零的  级子阵.

证毕.

这是本节的首个重要的结论.

定理 25.5. 阵. 设 有一个行列式非零的  级子阵, 但没有行列式非零的  级子阵. 设 . 则 有非零解.

证. 阵.

我们无妨设 . 若 , 我们作一个  级阵 , 其中(通俗地, 是在  的行  下写  个零行作成的阵.) 由此, 不难得到: (a) 若   适合 , 则 ; (b) 有一个行列式非零的  级子阵, 但没有行列式非零的  级子阵. 所以, 若我们找到了 的非零解, 则我们也找到了 的非零解. 以下, 我们设 .

, 我们任取一个非零的  . 则 .

以下, 我们假定 ; 也就是说, 有一个元不是零 (同时, 这也相当于 : 回想  级阵的行列式是什么). 从而 .

我们设   级子阵 的行列式非零, 其中 , 且 . 我们从 , , , 中去除  个整数 , , , ; 此时, 还剩下  个整数, 我们从中选一个为 . 类似地, 我们再从 , , , 中去除  个整数 , , , ; 此时, 还剩下  个整数, 我们从中选一个为 . 作  级阵 . 我们设 , , , 中是第  小的数. 再设 , , , 中是第  小的数. 因为 的一个  级子阵, 故 . 从而 . 注意到 .

接下来, 我们设法由此得到一个 的非零解. 我们作一个  , 其中(通俗地, 我们在适当的位置写零, 变 的列  为一个  .) 因为 , 故 . 我们证明 .

取不超过 的正整数 . 则 等于某个 , 则 不等于 , , , 中的任何一个, 则作一个  级阵 , 其中于是, . 从而

再作一个  级阵 . 不难看出, 适当地交换 的行的次序, 即可变 . 根据反称性, . (具体地, 设 , , , 中是第  小的数. 那么, 当 时, . 当 时, 我们交换行 , 再交换行 , , 再交换行 , 作  次相邻行的交换, 即可变 . 当 时, 我们交换行 , 再交换行 , , 再交换行 , 作  次相邻行的交换, 即可变 .) 因为 的一个  级子阵, 故其行列式为零. 从而

综上, 我们找到了一个   使 , 且 .

证毕.

这是本节的另一个重要的结论.

定理 25.6. 阵. 设 有一个行列式非零的  级子阵 (此时, 当然没有行列式非零的  级子阵). 则 只有零解.

证.  适合 . 设   级子阵的行列式非零, 其中 . 因为 适合 当然也适合. 因为 , 故, 由 Cramer 公式, 有 .

证毕.

现在, 我们作一个小结.

定理 25.7. 阵. 设 有一个行列式非零的  级子阵, 但没有行列式非零的  级子阵.

(1) 若 , 则 有非零解;

(2) 若 , 则 只有零解.

定理 25.8. 阵. 设  阵. 设   适合 ; 也就是说, 有解. 设 有一个行列式非零的  级子阵, 但没有行列式非零的  级子阵.

(1) 若 , 则 的解不唯一;

(2) 若 , 则 的解唯一.