58. 关于实数的大小的几个事实

设 $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$ 是若干个实数. 我们总可从大到小地排它们, 故

定理 58.1. 设 $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$ 是若干个实数. 则存在不超过 $n$ 的正整数 $i$, 使对任何不超过 $n$ 的正整数 $k$, 必 $y_i⩾y_k$.

定理 58.2. 设 $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$ 是若干个实数 ($n⩾2$).

(1) 存在不超过 $n$, 且不等的正整数 $i$, $j$, 使对任何不超过 $n$, 且不等于 $i$ 的正整数 $k$, 必 $y_i⩾y_j⩾y_k$.

(2) 对任何不超过 $n$, 且不等于 $i$ 的正整数 $k$, 必 $y_j⩾y_k$.

(3) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $k$, 必 $y_i⩾y_k$.

设 $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$ 是若干个非负实数, 且不全为 $0$. 从而有某不超过 $n$ 的正整数 $p$, 使 $y_p>0$. 再设某不超过 $n$ 的正整数 $i$ 适合: 对任何不超过 $n$ 的正整数 $k$, 必 $y_i⩾y_k$. 则 $y_i⩾y_p>0$. 所以

定理 58.3. 设 $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$ 是若干个非负实数, 且不全为 $0$. 则存在不超过 $n$ 的正整数 $i$, 使对任何不超过 $n$ 的正整数 $k$, 必 $y_i⩾y_k$, 且 $y_i>0$.

定理 58.4. 设 $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$ 是若干个非负实数, 且不全为 $0$ ($n⩾2$).

(1) 存在不超过 $n$, 且不等的正整数 $i$, $j$, 使对任何不超过 $n$, 且不等于 $i$ 的正整数 $k$, 必 $y_i⩾y_j⩾y_k$, 且 $y_i>0$.

(2) 对任何不超过 $n$, 且不等于 $i$ 的正整数 $k$, 必 $y_j⩾y_k$.

(3) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $k$, 必 $y_i⩾y_k$.

(4) 有一个特别的情形值得提. 设 $y_j=0$. 由 (2) 知, 对任何不超过 $n$, 且不等于 $i$ 的正整数 $k$, 必 $0=y_j⩾y_k⩾0$. 故对任何不超过 $n$, 且不等于 $i$ 的正整数 $k$, 必 $y_k=0$.