3.1. 张量积与多线性形式

3.1.1双线性映射

在之前的线性代数中, 我们只讨论了单变量的线性函数, 它们均形如 $f:V\to W$, 其中 $V,W\in {\mathbf{Vect}}_k$. 但如同在微积分中我们需要多元可微函数一样, 在线性代数中, 我们也不免会遇到多元的线性函数.

下面, 我们从最基本的二元形式开始介绍起

定义 3.1.1.1. 设 $V$ 是一 $k$-线性空间. 我们称一个函数 $\beta :V\times V\to k$ 是一个双线性形式 (bilinear form), 当且仅当对于任何 $v\in V$, $\beta (-,v)$ 和 $\beta (v,-)$ 都是线性的.

在此提醒以下读者我们的符号: $\beta (-,v)=w\mapsto \beta (w,v):V\to k,\beta (v,-)=w\mapsto \beta (v,w):V\to k$.

注意到我们也可以略微修改定义, 使得 $\beta$ 的两个变元取值于不同的 $k$-向量空间. 定义的修改留给读者进行.

例 3.1.1.2. 设 $A\in k^{n\times n}$ 为一 $n\times n$ 矩阵. 则 ${\beta }_A(x,y)=x^{T}Ay$ 是向量空间 $k^n$ 上的双线性形式.

例 3.1.1.3. 考虑 $\mathbb{R}[x]$, 这是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间. 那么我们有一 $\mathbb{R}[x]$ 上的双线性形式 $\beta$, 定义如下: $$\beta (f,g)={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx.$$

定义 3.1.1.4. 如果一个双线性形式 $\rho :V\times V\to k$ 对所有 $v,w\in V$ 都满足 $\rho (v,w)=\rho (w,v)$, 则称 $\rho$ 为一对称双线性形式 (symmetric bilinear form), 简称对称形式 (symmetric form).

命题 3.1.1.5. $V$ 上所有双线性形式构成一个 $k$-向量空间, 我们记为 $\mathbf{Bil}(V)$. $V$ 上所有对称双线性形式构成 $\mathbf{Bil}(V)$ 的子空间.

证明. 简单验证定义.

$\square$

定义 3.1.1.6. 设 $V,W,X$ 都是 $k$-线性空间. 我们称一个函数 $f:V\times W\to X$ 是一个双线性映射 (bilinear map), 当且仅当对于任何 $v\in V$ 和 $w\in W$, $f(v,-):W\to X$ 和 $f(-,w):V\to X$ 都是线性的.

不难看出, 双线性形式是双线性映射在 $X=k$ 时的特殊情形. 双线性映射又叫做配对 (pairing). 特别地, 不难看出, 我们还可以将上面的向量空间 (${\mathbf{Vect}}_k$) 的情形推到任意交换环上的模 (${\mathbf{Mod}}_R$), 所有定义保持不变.

3.1.2多重线性形式

下面, 我们把二重线性形式推广到更高维的情形.

定义 3.1.2.1. 设 $V\in {\mathbf{Vect}}_k,n\in \mathbb{N}$. 我们称一个函数 $\omega :V^n\to k$ 是一个多重线性形式 (multilinear form), 当且仅当对于任意 $1\le i\le n,v_1,v_2,\dots ,v_{n-1}\in V$, $\omega (v_1,v_2,\dots ,-,\dots ,v_{n-1}):V\to k$ (其中除第 $i$ 个变元外都被固定) 都是线性的.

$n$ 维的多重线性形式, 我们又称为 $\mathbf{n}$-形式 ($n$-form). 同样, 我们也可以将 $k$ 换成任意 $k$-线性空间, 便得到多重线性映射 (multilinear map) 的定义.

定义 3.1.2.2. 设 $\omega$ 是 $V$ 上的 $n$-形式. 如果对任何 $1\le i,j\le n,i\ne j$, 只要 $v_i=v_j$ 都使得 $\omega (v_1,\dots ,v_n)=0$, 则称 $\beta$ 为交替多重线性形式 (alternating multilinear form) 或交替 $\mathbf{n}$-形式 (alternating $n$-form), 或简称 $\omega$ 是 “交替的” (alternating).

命题 3.1.2.3. 设 $\omega$ 是交替 $n$-形式. 若 $v_1,\dots ,v_n$ 是线性相关的, 则 $\omega (v_1,\dots ,v_n)=0$.

证明. 我们注意到如果 $v_1,\dots ,v_n$ 是线性相关的, 那么其中必有一个 $v_k$ 可以写作其它 $v_1,\dots v_{k-1},v_{k+1},\dots ,v_n$ 的线性组合. 那么由 $\omega$ 的多重线性可知$$\begin{array}{rl}& \omega (v_1,\dots ,v_{k-1},\sum r_i{v}_i,v_{k+1},\dots ,v_n)\\ =& \sum r_i\omega (v_1,\dots ,v_{k-1},v_i,v_{k+1},\dots ,v_n)\\ =& \sum r_i\cdot 0=0.\end{array}$$

$\square$

命题 3.1.2.4. 设 $\omega$ 是多重线性形式. 若 $\omega$ 是交替的, 那么它必然是反对称的, 即替换两个变元的次序使得 $\omega$ 取值变号, 而反之亦然. 换言之, 交替性和反对称性等价.

证明. 我们取任意 $1\le i,j\le n$, 固定除了 $v_i$ 和 $v_j$ 以外其它所有变元, 那么对任意的 $i,j$ 和 $v_1,\dots ,v_{i-1},v_{i+1},\dots ,v_{j-1},v_{j+1},\dots ,v_n$ 的选择, 我们都能得到一个双线性形式: $$\beta (x,y)=\omega (v_1,\dots ,v_{i-1},x,v_{i+1},\dots ,v_{j-1},y,v_{j+1},\dots ,v_n).$$

设 $\omega$ 是交替的. 那么我们显然有: $$\beta (x+y,x+y)=\beta (x,x)+\beta (x,y)+\beta (y,x)+\beta (y,y)=\beta (x,y)+\beta (y,x)$$而注意到 $\beta (x+y,x+y)=0$, 所以必有 $\beta (x,y)=-\beta (y,x)$, 亦即: $$\omega (v_1,\dots ,v_{i-1},x,v_{i+1},\dots ,v_{j-1},y,v_{j+1},\dots ,v_n)=-\omega (v_1,\dots ,v_{i-1},y,v_{i+1},\dots ,v_{j-1},x,v_{j+1},\dots ,v_n).$$

反之, 如果 $\omega$ 是反对称的, 我们必然有 $\beta (x,x)=-\beta (x,x)$, 显而易见 $\beta (x,x)=0$, 所以 $\omega$ 也是交替的.

$\square$

对熟悉简单群论语言的读者, 我们还可以这么描述反对称性: 设 $\omega$ 是交替 $n$-形式, $\sigma \in S_n$, 那么$$\omega (v_1,\dots ,v_n)=\mathrm{sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (n)}).$$

命题 3.1.2.5. 若 $V\in {\mathbf{Vect}}_k$, 则 $V$ 上的 $n$-形式构成一个 $k$-线性空间. 特别地, $V$ 上所有交替 $n$-形式构成其子空间, 我们记为 ${\mathrm{Alt}}_n(V)$.

证明. 简单验证定义即可.

$\square$

$m$-形式和 $n$-形式可以组合成 $(m+n)$-形式:

定义 3.1.2.6. 设 $V\in {\mathbf{Vect}}_k$, $\omega ,\phi$ 分别是 $V$ 上的 $m$-和 $n$-形式, 那么我们定义 $\omega$ 和 $\phi$ 的张量积 (tensor product) 为$$(\omega \otimes \phi )(v_1,\dots ,v_m,v_{m+1},\dots ,v_{m+n})=\omega (v_1,\dots ,v_m)\phi (v_{m+1},\dots ,v_{m+n}).$$

命题 3.1.2.7. $\omega \otimes \phi$ 是 $(m+n)$-形式.

证明. 验证定义即可.

$\square$

命题 3.1.2.8. 张量积满足结合律, 即 $(\omega \otimes \phi )\otimes \psi =\omega \otimes (\phi \otimes \psi )$.

证明. 同样, 验证定义即可.

$\square$

3.1.3模的张量积

多重线性代数又常常被称为张量代数. 顾名思义, 其中最重要的构造之一就是模 (或向量空间的) 张量积, 以及其诱导出的元素的张量积. 我们虽然有模的笛卡尔积, 但它的表现与代数意义上的 “积” 却有所不同. 因此, 我们引入张量积的概念. 在这一节中, 我们只考虑交换环上的模, 因此对左右模不必做区分.

模的张量积有很多构造, 下面给出一种构造:

定义 3.1.3.1. 设 $R$ 是交换环, $M,N\in {\mathbf{Mod}}_R$. 定义 $L=⟨M\times N⟩$ (即将 $M,N$ 看作集合并取 $M\times N$ 生成的自由 $R$-模), 并记 $(m,n),m\in M,n\in N$ 对应的 $L$ 的基元素为 $m\otimes n$.

令 $m,m^{\prime }\in M,n,n^{\prime }\in N,r\in R$, 记所有形如$$\begin{array}{rl}& (m+m^{\prime })\otimes n-m\otimes n-m^{\prime }\otimes n,\\ & m\otimes (n+n^{\prime })-m\otimes n-m\otimes n^{\prime },\\ & (rm)\otimes n-r(m\otimes n),\\ & m\otimes (rn)-r(m\otimes n)\end{array}$$的元素生成的子模为 $D$. 我们定义 $M$ 和 $N$ 的张量积为$$M\otimes N=L/D.$$

然而张量积的定义过于繁琐, 所以我们一般用下面的泛性质刻画张量积:

命题 3.1.3.2 (张量积的泛性质). 设 $R$ 是交换环, $M,N\in {\mathbf{Mod}}_R$. $M$ 和 $N$ 的张量积 $M\otimes N$ 和配对映射 $\otimes :M\times N\to M\otimes N,(m,n)\mapsto m\otimes n$ 是唯一满足如下泛性质的 $R$-模和 $R$-线性映射:

对任何 $R$-模 $P$ 和双线性映射 $f:M\times N\to P$ 都有唯一的线性映射 $\tilde{f}:M\otimes N\to P$ 使得下图交换$$M\times NM\otimes NP\otimes f\tilde{f}$$

证明. 这里略去, 有兴趣的读者可以参阅相关参考资料.

$\square$

下面介绍几个关于的张量积基本性质:

命题 3.1.3.3. 设 $V,W\in {\mathbf{Vect}}_k$, 则 $\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$.

证明. 设 $\{d_i{\}}_{i\in I}$ 是 $V$ 的一组基, $\{e_j{\}}_{j\in J}$ 是 $W$ 的一组基, 利用张量积的构造可知所有形如 $d_i\otimes e_j,(i,j)\in I\times J$ 的元素组成 $V\otimes W$ 的一组基. 具体验证较为繁复, 因此不在此详细说明.

$\square$

命题 3.1.3.4. 张量积是 (弱) 结合的. 换言之, 存在从 $(M\otimes N)\otimes P$ 到 $M\otimes (N\otimes P)$ 的典范线性映射.

证明. 用万有性质和追图法可证得.

$\square$

在下一讲, 我们会看到上面定义的多重线性形式的张量积和向量空间张量积的关系.

3.1.4张量范畴引论

定义 3.1.4.1. 设 $\mathcal{C}$ 是一范畴. 一个 (弱) 幺半范畴 ((weak) monoidal category) 是一个三元组 $(\mathcal{C},\otimes ,I)$, 其中:

•	$\otimes :\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 是一个双函子, 称为张量积;
•	$I:\mathcal{C}$ 是一个对象, 称为 $\mathcal{C}$ 的幺半单位元 (monoidal unit);

且有自然同构 $\alpha :((-)\otimes (-))\otimes (-)\to (-)\otimes ((-)\otimes (-)),\lambda :(I\otimes (-))\to (-),\rho :(-)\otimes I\to (-)$, 其组成态射分别记为 ${\alpha }_{X,Y,Z},{\lambda }_X,{\rho }_X$, 使得下面的交换图交换: $$(W\otimes X)\otimes (Y\otimes Z)((W\otimes X)\otimes Y)\otimes ZW\otimes (X\otimes (Y\otimes Z))(W\otimes (X\otimes Y))\otimes ZW\otimes ((X\otimes Y)\otimes Z){\alpha }_{W\otimes X,Y,Z}{\alpha }_{W,X,Y\otimes Z}{1}_A\otimes {\alpha }_{Y,Z,W}{\alpha }_{W,X\otimes Y,Z}{\alpha }_{W,X,Y}\otimes 1_Z$$$$X\otimes (I\otimes Y)(X\otimes I)\otimes YX\otimes Y{\alpha }_{X,I,Y}{1}_X\otimes {\lambda }_Y{\rho }_X\otimes 1_Y$$

若我们对任何 $X,Y,Z$ 都有 $(X\otimes Y)\otimes Z=X\otimes (Y\otimes Z),1\otimes X=X,X\otimes 1=X$, 则称之为严格幺半范畴 (strict monoidal category).

例 3.1.4.2. 任何有有限积和终对象的范畴都可以看作幺半范畴: 定义 $X\otimes Y=X\times Y$ 并令 $I$ 为终对象. 这样的范畴又称为笛卡尔幺半范畴 (cartesian monoidal category).

例 3.1.4.3. 令 $R$ 为交换环, 则 ${\mathbf{Mod}}_R$ 是幺半范畴, 其张量积是模的张量积, 幺半单位元是 $R$.

定义 3.1.4.4. 设 $\mathcal{C}=(\mathcal{C},\otimes ,I)$ 为一幺半范畴. 若有一自然同构$$B_{X,Y}:X\otimes Y\to Y\otimes X$$满足一系列连贯性条件 (在此处略去) , 则称 $\mathcal{C}$ 为编织幺半范畴 (braided monoidal category). 其中, $B$ 称为 $\mathcal{C}$ 上的编织 (braiding).

特别地, 如果 $B_{Y,X}\circ B_{X,Y}=1_{X\otimes Y}$, 则称 $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴 (symmetric monoidal category).

命题 3.1.4.5. 设 $R$ 是交换环, 则 ${\mathbf{Mod}}_R$ 是对称幺半范畴.

例 3.1.4.6. 下面给出一个反例. 令 $X$ 为一 $\mathbb{C}$-向量空间; 如果它同时带有拓扑空间的结构, 使得其自带的运算 $+:X\times X\to X$ 和 $\cdot :\mathbb{C}\times X\to X$ 都是连续映射, 则称 $X$ 为 拓扑向量空间 (topological vector space). 拓扑向量空间构成一范畴 $\mathbf{TVS}$, 它是 ${\mathbf{Vect}}_{\mathbb{C}}$ 的子范畴.

自从拓扑向量空间被发明以来, 数学家一直在寻找其上良好的张量积结构. 最后这一尝试由 Grothendieck (1955) 给出了否定答案: 现在我们知道 ${\mathbf{Vect}}_{\mathbf{C}}$ 上的幺半结构不能诱导出 $\mathbf{TVS}$ 上的幺半结构.