3.2. 交替 k-形式与外代数

3.2.1多线性形式的空间

设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间. 我们之前提到, $V$ 上所有 $n$-线性形式构成一个向量空间, 可记为 ${\mathcal{L}}^n(V)$.

设 $\omega$ 和 $\phi$ 分别是 $V$ 上的 $k$-和 $l$-形式. 我们之前提到过多线性形式的张量积构造: $\omega \otimes \phi$ 是一个 $k+l$ 形式. 这使得我们猜想: 是否 ${\mathcal{L}}^k(V)\otimes {\mathcal{L}}^l(V)$ 正是 ${\mathcal{L}}^{k+l}(V)$. 答案是肯定的, 下面我们证明这一结论.

命题 3.2.1.1. ${\mathcal{L}}^k(V)\otimes {\mathcal{L}}^l(V)$ 与 ${\mathcal{L}}^{k+l}(V)$ 之间有典范的同构.

为简单起见, 我们先证明 $k=l=1$ 的情况. 不难看出 ${\mathcal{L}}^1(V)$ 就是 $V$ 的对偶空间 $V^{\vee }$. 让我们先证明下面的引理.

引理 3.2.1.2. 设 $V,W$ 都是 $k$-向量空间. 则 $V^{\vee }\otimes W^{\vee }\cong (V\otimes W{)}^{\vee }$.

3.2.2分次代数

定义 3.2.2.1. 如果一个环 $R$ (作为阿贝尔群) 能分解为多个 (可能无限个) 环的直和: $$R=\underset{i\in \mathbb{N}}{⨁}{R}_i$$且满足下面的条件: 若 $r\in R_i,s\in R_j$, 则 $rs\in R_{i+j}$, 那么称 $R$ 为分次环 (graded ring). 满足此条件的一种分解, 称之为 $R$ 上的分次结构 (grading).

如果 $r\in R_i$, 则称 $r$ 是 $i$ 次的, 又记为 $\mathrm{deg}r=i$.

例 3.2.2.2. 显然, 任何环 $R$ 上都有平凡的分次结构: 取任意 $i\in \mathbb{N}$, 令 $R_i=R$, 其它构成组分均为零环即可.

例 3.2.2.3. 设 $R$ 为任意交换环. 那么 $S=R[x]$ 上存在典范的分次结构: 令 $S_n$ 为所有 $n$ 次单项式构成的环.

特别地, 如果一个分次环 $A$ 又是 $k$-代数, 那么又称 $A$ 为分次代数 (graded algebra).

定义 3.2.2.4. 设 $V$ 是 $k$-向量空间. 我们定义 $V$ 的张量代数 (tensor algebra) 为直和$$\mathcal{L}(V)=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}{\mathcal{L}}^n(V).$$

这是一个 $k$-代数, 其乘法由多线性形式的张量积给出.

由 3.2.1.1 可知, $\mathcal{L}(V)$ 是一个分次 $k$-代数.

3.2.3外积和外代数