11. 等变上同调

从这一节开始, 我们介绍等变上同调的理论. 我们首先从代数拓扑的角度出发, 建立这一理论, 然后把流形的等变上同调也用微分形式表示出来. 这个理论的一个有名的结论是 Atiyah–Bott 局部化公式, 这个公式把等变微分形式的积分化为不动点集上的积分.

等变上同调

设 $X$ 是拓扑空间, 拓扑群 $G$ 左作用在 $X$ 上. 我们想要研究商空间 $X/G$, 也就是所有轨道构成的空间.

一般来说, 这个空间不具有好的性质. 但如果这个作用是自由作用, 也就是说, 它的轨道都同构于 $G$, 那么映射 $X\to X/G$ 就成为一个 $G$-主丛. 当 $G$ 是紧 Lie 群, $X$ 是紧流形时, Lie 理论的一个著名定理说明, 商空间 $X/G$ 也是流形.

代数拓扑中的一个重要的方法是做替换, 以使坏的对象变成好的对象. 我们可以将一端有界的链复形替换成拟同构的投射或内射链复形 (即消解), 也可以将任何的空间替换成弱同伦等价的 CW 复形 (即 CW 逼近). 同样的方法可以应用到带群作用的空间上.

定义 11.1. 定义同伦商 (homotopy quotient) $$X{/}^{\mathrm{h}}G=X^{\prime }/G,$$其中 $X^{\prime }$ 是满足以下条件的空间:

•	$G$ 自由地作用在 $X^{\prime }$ 上, 从而 $X^{\prime }\to X^{\prime }/G$ 是 $G$-主丛.
•	存在 $G$-等变的同伦等价 $X^{\prime }\simeq X$.

例如, 我们可以取$$X^{\prime }=X\times \mathrm{E}G,$$并令 $G$ 分别作用在两个分量上.

可以证明, 同伦商在同伦等价的意义下是唯一的.

定义 11.2. 设 $R$ 是系数环. 则 $X$ 的等变上同调 (equivariant cohomology) 定义为 $$H_G^{\bullet }(X;R)=H^{\bullet }(X{/}^{\mathrm{h}}G;R)\simeq H^{\bullet }((X\times \mathrm{E}G)/G;R).$$

例如, 我们有$$\begin{array}{rl}{H}_G^{\bullet }(G;R)& \simeq H^{\bullet }(\{\ast \};R),\\ H_G^{\bullet }(\{\ast \};R)& \simeq H^{\bullet }(\mathrm{B}G;R).\end{array}$$

下面, 再设 $E\to X$ 是 $G$-等变向量丛. 也就是说, $G$ 作用在全空间 $E$ 上, 元素 $g\in G$ 把纤维 $E_x$ 映到 $E_{g(x)}$, 且这个映射是线性的.

我们可以把 $E$ 拉回到 $X^{\prime }$ 上, 得到 $G$-等变向量丛 $E^{\prime }\to X^{\prime }$. 例如, 若取 $X^{\prime }=X\times \mathrm{E}G$, 则 $E^{\prime }\simeq E\times \mathrm{E}G$.

我们取同伦商, 得到向量丛$$\tilde{E}=E{/}^{\mathrm{h}}G\to X{/}^{\mathrm{h}}G.$$

定义 11.3. 等变向量丛 $E\to X$ 的等变示性类 (equivariant characteristic class) 就是向量丛 $\tilde{E}$ 的示性类, 它是 $H_G^{\bullet }(X;R)$ 的元素.

等变微分形式

接下来, 我们打算用微分形式来描述流形的等变上同调. 事实上, 这不是一件容易的事, 因为对 Lie 群 $G$ 来说, 空间 $\mathrm{E}G$ 通常不是流形, 所以我们需要合理地实现 “$\mathrm{E}G$ 上的微分形式” 这个不存在的概念.

设 $G$ 是紧 Lie 群, 作用在紧流形 $M$ 上. 设 $\mathfrak{g}$ 是 $G$ 的 Lie 代数. 每个元素 $X\in \mathfrak{g}$ 可以看作 $M$ 上的向量场. 这个操作定义了 Lie 代数同态$$\mathfrak{g}\to (\Gamma (TM),[,]).$$

另外, $G$ 还可以作用在 ${\Omega }^{\bullet }(M)$ 上, 每个元素 $g\in G$ 的作用是$$(g^{-1}{)}^{\ast }:{\Omega }^{\bullet }(M)\to {\Omega }^{\bullet }(M).$$然而, 如果我们直接取在这一作用下不变的元素的集合 ${\Omega }^{\bullet }(M{)}^G\subset {\Omega }^{\bullet }(M)$, 并考虑它的上同调, 我们并不能得到等变上同调. 例如, 当 $M=\{\ast \}$ 时, 我们希望得到 $H^{\bullet }(\mathrm{B}G)$, 但这个链复形仍然给出 $H^{\bullet }(\{\ast \})$.

因此, 我们的目标是定义 “de Rham 链复形”$$\text{“}{\Omega }^{\bullet }(M\times \mathrm{E}G)\text{”}\text{和}\text{“}{\Omega }^{\bullet }\left(\frac{M\times \mathrm{E}G}{G}\right)\text{”}.$$

即使 $G$ 在 $M$ 上的作用是自由的, 复形 ${\Omega }^{\bullet }(M/G)$ 也不等于 ${\Omega }^{\bullet }(M{)}^G$. 例如, 我们考虑 $M={\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}x\oplus \mathbb{R}y$, 并令 $G=\mathbb{R}$ 通过 $x$ 方向的平移作用在 $M$ 上. 则$$\begin{array}{rl}{\Omega }^1(M{)}^G& =\{f(y)dx+g(y)dy\},\\ {\Omega }^1(M/G)& =\{g(y)dy\}.\end{array}$$我们真正感兴趣的是第二种微分形式, 也就是下面定义中的 ${\Omega }^{\bullet }(M{)}_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}}$.

定义 11.4. 微分形式 $\alpha \in {\Omega }^{\bullet }(M)$ 称为水平 (horizontal) 的, 如果对任意 $X\in \mathfrak{g}$, 都有 ${\iota }_X\alpha =0$. 定义 $$\begin{array}{rl}{\Omega }^{\bullet }(M{)}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}}& =\{\text{水平的形式}\},\\ {\Omega }^{\bullet }(M{)}_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}}& ={\Omega }^{\bullet }(M{)}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}}^G,\end{array}$$其中, 第二个空间中的微分形式叫做基础 (basic) 的.

我们还需要描述什么是 “${\Omega }^{\bullet }(\mathrm{E}G)$”. 这一描述来自于 Lie 群的陈–Weil 理论. 我们回忆, 示性类对应着曲率形式的不变多项式. 对 Lie 群而言, 这个对应关系意味着$$H^{\bullet }(\mathrm{B}G;\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{g}{]}^G,$$这里 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\simeq {\mathrm{Sym}}^{\bullet }{\mathfrak{g}}^{\vee }$ 是 $(\dim \mathfrak{g})$-元多项式环, 而 $G$ 通过伴随作用$${\mathrm{Ad}}_g(X)=gX{g}^{-1}(g\in G,X\in \mathfrak{g})$$作用在这个多项式环上. 也就是说, 我们把 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ 的元素看成是万有丛 $\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$ 的 “曲率形式” 的多项式.

定义 11.5. Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 的 Weyl 代数定义为交换超代数 $$W^{\bullet }(\mathfrak{g})={\mathrm{Sym}}^{\bullet }{\mathfrak{g}}^{\vee }\otimes {\wedge }^{\bullet }{\mathfrak{g}}^{\vee },$$其中, 在第一项中 ${\mathfrak{g}}^{\vee }$ 的分次为 $2$, 在第二项中 ${\mathfrak{g}}^{\vee }$ 的分次为 $1$.

这个定义的意义如下. 设 $X_1,\dots ,X_n$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一组基, 则 Weyl 代数的定义式中, 两个 ${\mathfrak{g}}^{\vee }$ 的生成元分别记为 ${\Omega }^i$ 和 ${\omega }^i$. 元素$$\begin{array}{rlrl}\omega & ={\sum }_i{\omega }^i\otimes X_i& & \in W^1(\mathfrak{g})\otimes \mathfrak{g},\\ \Omega & ={\sum }_i{\Omega }^i\otimes X_i& & \in W^2(\mathfrak{g})\otimes \mathfrak{g},\end{array}$$分别称为万有联络 (universal connection) 和万有曲率 (universal curvature). 事实上, 对任意的 $G$-主丛 $E\to B$, 若选好一个联络, 则存在唯一的映射$$W^{\bullet }(\mathfrak{g})\to {\Omega }^{\bullet }(E),$$使得 $\omega$ 和 $\Omega$ 在 ${\Omega }^{\bullet }(E,\mathfrak{g})\simeq {\Omega }^{\bullet }(E)\otimes \mathfrak{g}$ 中的像就是 $E$ 的联络和曲率形式. (注意, 主丛的联络形式是能在整体上定义的, 这与向量丛的联络形式不同.)

这个万有性质说明, Weyl 代数 $W^{\bullet }(\mathfrak{g})$ 就是我们要找的 “${\Omega }^{\bullet }(\mathrm{E}G)$”.

为了真正地将这两者等同起来, 我们还需要在 $W^{\bullet }(\mathfrak{g})$ 上定义外微分和缩并. 我们定义$$\begin{array}{rlrl}{\iota }_j{\omega }^i& ={\delta }_j^i,& d{\omega }^i& ={\Omega }^i-\frac{1}{2}{c}_{jk}^i{\omega }^j\wedge {\omega }^k,\\ {\iota }_j{\Omega }^i& =0,& d{\Omega }^i& =c_{jk}^i{\Omega }^j\wedge {\omega }^k,\end{array}$$其中 $c_{jk}^i$ 是 $\mathfrak{g}$ 的结构常数. 这么定义是为了满足 $\Omega =d\omega +(1/2)[\omega ,\omega ]$, 以及 Bianchi 恒等式 $d\Omega =[\Omega ,\omega ]$. 这样, 我们就有$$W^{\bullet }(\mathfrak{g}{)}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}}=\mathbb{C}[\mathfrak{g}],W^{\bullet }(\mathfrak{g}{)}_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}}=\mathbb{C}[\mathfrak{g}{]}^G\simeq H^{\bullet }(\mathrm{B}G).$$

定义 11.6. $M$ 上的等变微分形式 (equivariant differential form) 是指 $${\Omega }_G^{\bullet }(M)=({\Omega }^{\bullet }(M)\otimes W^{\bullet }(\mathfrak{g}){)}_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}}$$的元素. 这个链复形的上同调 $$H_G^{\bullet }(M)=H^{\bullet }({\Omega }_G^{\bullet }(M),d)$$称为 $M$ 的等变 de Rham 上同调.

可以证明, 等变 de Rham 上同调和通过代数拓扑定义的等变上同调是同构的.

等变微分形式还有另一种看上去不太相同的定义.

命题 11.7. 我们有 $${\Omega }_G^{\bullet }(M)\simeq ({\mathrm{Sym}}^{\bullet }{\mathfrak{g}}^{\vee }\otimes {\Omega }^{\bullet }(M){)}^G,$$其中右边的 ${\mathfrak{g}}^{\vee }$ 的分次是 $2$. 等号左边的外微分 $d$ 对应右边的算子 $$d-\iota :\alpha (X)\mapsto d\alpha (X)-{\iota }_X\alpha (X),$$这里 $\alpha$ 看作从 $\mathfrak{g}$ 到 ${\Omega }^{\bullet }(M)$ 的多项式映射.

证明. 只需要证明 $$({\wedge }^{\bullet }{\mathfrak{g}}^{\vee }\otimes {\Omega }^{\bullet }(M){)}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}}\simeq {\Omega }^{\bullet }(M),$$这样, 在两边与 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ 做张量积, 并取 $G$-不变的部分, 就得到了要证明的同构. 我们定义从左边到右边的映射为取出 $1\otimes {\Omega }^{\bullet }(M)$ 的部分, 也就是说, 将所有 ${\omega }^i$ 都映到 $0$. 我们把这个映射叫做 $\epsilon$. 再来定义它的逆映射 ${\epsilon }^{-1}$. 也就是说, 给定 $M$ 上的形式, 我们要找出它在 ${\wedge }^{>0}{\mathfrak{g}}^{\vee }$ 中缺失的部分, 使得它变成水平的. 我们定义 $${\epsilon }^{-1}=\prod _i(1-{\omega }^i{\iota }_i).$$因为 ${\iota }_i{\omega }^i=1$, 所以 ${\iota }_i\circ (1-{\omega }^i{\iota }_i)=0$, 从而 ${\iota }_i\circ {\epsilon }^{-1}=0$. 这说明我们确实给出了 $\epsilon$ 的逆映射. 最后, 我们来计算微分 $d_{\mathfrak{g}}=\epsilon d{\epsilon }^{-1}$. 若 $\alpha \in {\Omega }^{\bullet }(M)$, 我们有 $$\begin{array}{rl}{d}_{\mathfrak{g}}\alpha & =\epsilon d(\alpha -{\omega }^i{\iota }_i\alpha +{\omega }^i{\iota }_i{\omega }^j{\iota }_j\alpha -\cdots )\\ & =\epsilon (d\alpha -(d{\omega }^i){\iota }_i\alpha +(\text{含 }{\omega }^i\text{ 的项}))\\ & =d\alpha -{\Omega }^i{\iota }_i\alpha .\end{array}$$由于我们把 ${\Omega }^i$ 视为 $\alpha (X)$ 中的 $X$ 方向, 我们就证明了要证的等式.

$\square$

通过这个命题, 我们可以写下等变微分形式的第二种定义.

定义 11.8. $M$ 上的等变微分形式是一个多项式映射 $$\alpha :\mathfrak{g}\to {\Omega }^{\bullet }(M),$$它在 $G$ 的作用下不变. 换言之, 对任意 $g\in G$, $X\in \mathfrak{g}$, 有 $$\alpha ({\mathrm{Ad}}_{g}X)=g\cdot \alpha (X).$$$\alpha$ 的等变外微分是 $$d_{\mathfrak{g}}\alpha (X)=d\alpha (X)-{\iota }_X\alpha (X).$$

当然, 这一定义的动机是之前的那一个定义.

例 11.9. 如果 $M=\{\ast \}$, 那么等变微分形式就是一个元素 $$\alpha \in \mathbb{C}[\mathfrak{g}{]}^G,$$也就是 $\mathfrak{g}$ 上的一个 $G$-不变多项式. 这和我们的预期是一致的.

再例如, 设 $G$ 是交换 Lie 群. 则伴随作用 $\mathrm{Ad}$ 是平凡的, 从而, 一个等变微分形式就确实是一族 $G$-不变的微分形式.

等变辛形式

下面, 我们来了解等变微分形式的一个例子, 即等变辛形式.

设 $(M,\omega )$ 是辛流形. 也就是说, $M$ 是偶数维流形, $\omega$ 是 $M$ 上的闭 $2$-形式, 它定义的切空间上的双线性型是非退化的. 一个典型的例子是$$M=T^{\ast }N,\omega ={\sum }_{i}d{x}^i\wedge d{p}^i,$$其中 $N$ 是流形, $d{x}^i$ 是 $N$ 的切向, 而 $d{p}^i$ 是余切丛 $T^{\ast }N$ 中 $d{x}^i$ 所对应的方向. 这样定义的 $\omega$ 不依赖于坐标的选取.

在 Hamilton 力学中, 若 $N$ 是一个力学系统的位置空间, 那么余切丛 $T^{\ast }N$ 的纤维就是相应的动量空间. 力学系统的 Hamilton 函数 (Hamiltonian)$$H:M=T^{\ast }N\to \mathbb{R}$$指定了每个状态的总能量, 即动能与势能的和. 系统随时间的演化由 $M$ 上的 Hamilton 向量场$$X_H={\omega }^{-1}(dH)$$的流给出, 其中 ${\omega }^{-1}$ 表示每个点处的同构 ${\omega }_x:T_{x}M\to T_x^{\ast }M$ 的逆映射.

设 Lie 群 $G$ 作用在 $M$ 上, 并保持其辛形式, 这个作用描述了力学系统的一些对称性.

定义 11.10. 设 $(M,\omega )$ 是辛流形, $G$ 是 Lie 群. 一个 Hamilton 作用是指二元组 $(G\curvearrowright M,\mu )$, 满足以下条件:

•	辛形式 $\omega$ 在 $G$ 的作用下不变.
•	$\mu :\mathfrak{g}\to C^{\infty }(M)$ 是等变微分形式, 也就是说, 它满足 $$\mu ({\mathrm{Ad}}_g(X))(x)=\mu (X)(g^{-1}x)(g\in G,X\in \mathfrak{g},x\in M).$$映射 $\mu$ 被称为动量映射 (moment map).
•	对任意 $X\in \mathfrak{g}$, 函数 $\mu (X)$ 的 Hamilton 向量场是 $X$, 也就是说, $${\omega }^{-1}(d\mu (X))=X.$$

我们通过一个例子来解释这个定义的意义. 这个例子也是 “动量映射” 这一称呼的来源.

例 11.11. 我们仍考虑辛流形 $M=T^{\ast }N$, 其中 $N$ 是 Riemann 流形. 我们把 $N$ 看作系统的位置空间. 令 $G$ 通过等距自同构作用在 $N$ 上. 例如, 可以取 $N={\mathbb{R}}^3$, $G=\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$. 定义动量映射 $$\mu (X)(\xi )=-⟨\xi ,X{⟩}_N(\xi \in T^{\ast }M).$$每个点 $\xi$ 描述了系统的位置和动量, 而 $\mu (X)(\xi )$ 就是这个动量沿 $X$ 方向的分量. 通过动量映射, 我们也得到了一个元素 $$\mu (\xi )\in {\mathfrak{g}}^{\vee }.$$当 $N={\mathbb{R}}^3$, $G=\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ 时, 这个 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3{)}^{\vee }$ 的元素就是质点的角动量.

通过动量映射, 我们可以把辛形式 $\omega$ 变成等变微分形式.

定义 11.12. 沿用上面的记号, 我们定义 $M$ 的等变辛形式为 $$\tilde{\omega }=\mu +\omega ,$$它将元素 $X\in \mathfrak{g}$ 映到微分形式 $\mu (X)+\omega$.

形式 $\tilde{\omega }$ 确实是等变闭形式, 因为$$d_{\mathfrak{g}}\tilde{\omega }=d\mu (X)+d\omega -{\iota }_X\omega =0.$$特别地, 它确定了一个等变上同调类.

注 11.13. 几何量子化 (geometric quantisation) 是数学物理中的一个著名的方法. 给定一个经典力学系统, 即辛流形, 我们想要构造对应的量子力学系统, 这就是量子化问题. 几何量子化的第一步就是寻找一个 Hermite 线丛, 使得其曲率等于 $\mathrm{i}\omega$, 其中 $\omega$ 是辛形式, 然后将量子态定义为这个线丛的截面. 在 $G$-等变的情形下, 要考虑的辛形式 $\omega$ 就是我们定义的等变辛形式 $\tilde{\omega }$.

等变示性类

下面, 设 $E\to M$ 是一个 $G$-等变的超向量丛. 我们想要通过等变微分形式, 来描述 $E$ 的等变示性类.

首先, 我们定义 $E$-取值的等变微分形式的代数:$${\Omega }_G^{\bullet }(M,E)=({\mathrm{Sym}}^{\bullet }{\mathfrak{g}}^{\vee }\otimes {\Omega }^{\bullet }(M,E){)}^G.$$当然, 等变微分形式也可以看成 $\mathfrak{g}\to {\Omega }^{\bullet }(M,E)$ 的多项式.

我们也定义等变联络的概念, 使得它与等变微分形式的外微分 $d_{\mathfrak{g}}$ 相容.

定义 11.14. 设 $\nabla$ 是 $E$ 上的一个 $G$-不变的超联络. 我们定义 $$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\mathfrak{g}}:{\Omega }_G^{\bullet }(M,E)& \to {\Omega }_G^{\bullet }(M,E),\\ \alpha (X)& \mapsto \nabla \alpha (X)-{\iota }_X\alpha (X),\end{array}$$从而, 它满足以下 Leibniz 法则: 对齐次元素 $\omega \in {\Omega }_G^{\bullet }(M)$, $\alpha \in {\Omega }_G^{\bullet }(M,E)$, $${\nabla }_{\mathfrak{g}}(\omega \wedge \alpha )=d_{\mathfrak{g}}\omega \wedge \alpha +(-1{)}^{|\omega |}\omega \wedge {\nabla }_{\mathfrak{g}}\alpha .$$映射 ${\nabla }_{\mathfrak{g}}$ 称为一个 $G$-等变超联络.

从等变联络出发, 我们可以定义等变曲率, 并通过等变曲率的不变多项式得到等变示性类.

定义 11.15. 等变超联络 ${\nabla }_{\mathfrak{g}}$ 的等变曲率 ${\Omega }_{\mathfrak{g}}\in {\Omega }_G^{\bullet }(M,\mathrm{End}(E))$ 定义为 $${\Omega }_{\mathfrak{g}}\alpha (X)={\nabla }_{\mathfrak{g}}^2\alpha (X)+{\mathcal{L}}_X\alpha (X),$$其中 $\alpha \in {\Omega }_G^{\bullet }(M,E)$, 记号 ${\mathcal{L}}_X$ 表示 Lie 导数.

这里, 加入 Lie 导数的项是为了使 ${\Omega }_{\mathfrak{g}}$ 成为一个张量 (即零阶微分算子). 事实上, 当原先的联络 $\nabla$ 是普通联络时, 我们有$$\begin{array}{rl}{\Omega }_{\mathfrak{g}}\alpha (X)& ={\nabla }^2\alpha (X)-[\nabla ,{\iota }_X]\alpha (X)+{\mathcal{L}}_X\alpha (X)\\ & =\Omega \alpha (X)-{\nabla }_X\alpha (X)+{\mathcal{L}}_X\alpha (X)\end{array}$$其中 $\Omega$ 是 $\nabla$ 的曲率形式. 特别地, 当 $E={\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M$ 且 $\nabla =d$ 时, Cartan 公式说明 $[d,{\iota }_X]={\mathcal{L}}_X$, 从而 ${\Omega }_{\mathfrak{g}}=0$.

注 11.16. 参照 (11.12), 我们可以定义动量映射 $\mu :\mathfrak{g}\to \Gamma (\mathrm{End}(E))$ 为 $$\mu (X)={\Omega }_{\mathfrak{g}}(X)-\Omega .$$当 $\nabla$ 是普通联络时, 它就等于 ${\mathcal{L}}_X-{\nabla }_X$. 我们已经在 (11.13) 中提到了曲率形式与辛形式的关系.

接下来, 我们来建立等变上同调的陈–Weil 理论.

定理 11.17. 设 $f\in \mathbb{C}[x]$ 是多项式. 则等变微分形式 ${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}f({\Omega }_{\mathfrak{g}})$ 是 $d_{\mathfrak{g}}$-闭的, 并且, 它决定的等变上同调类不依赖于超联络的选取.

证明. 和非等变的情形类似, 对 $\alpha \in {\Omega }_G^{\bullet }(M,\mathrm{End}(E))$, 我们有 $$d_{\mathfrak{g}}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}\alpha ={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}({\nabla }_{\mathfrak{g}}\alpha ).$$由于 ${\nabla }_{\mathfrak{g}}{\Omega }_{\mathfrak{g}}=0$, 我们有 $$d_{\mathfrak{g}}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}f({\Omega }_{\mathfrak{g}})={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}({\nabla }_{\mathfrak{g}}f({\Omega }_{\mathfrak{g}}))=0.$$

定理最后一部分的证明和 (5.12) 的证明同理.

$\square$

推论 11.18 (等变陈–Weil 理论). 等变曲率形式 ${\Omega }_{\mathfrak{g}}$ 的不变多项式给出了等变示性类, 通过这种方式, 不变多项式能与等变示性类一一对应.

$\square$

例如, 我们可以定义等变陈特征$${\mathrm{ch}}_{\mathfrak{g}}(E)(X)={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{-{\Omega }_{\mathfrak{g}}(X)},$$或者采用 (9.4.2) 之前的约定, 定义为 ${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{{\Omega }_{\mathfrak{g}}(X)/2\pi \mathrm{i}}$.

我们也可以定义等变 Euler 类$$e_{\mathfrak{g}}(E)(X)=\mathrm{pf}(-{\Omega }_{\mathfrak{g}}(X)).$$我们在 §6 中介绍的 Mathai–Quillen 理论也有等变的版本, 也就是构造出等变 Thom 类. 这里, 我们就不详细介绍了.

Кириллов 公式

上一节, 我们概述了等变指标定理 (10.10) 的证明. 我们把等变指标表示成了不动点集上的积分:$$\mathrm{ind}(\gamma ,D)={\int }_{M^{\gamma }}\frac{(-1{)}^{n_1/2}}{(2\pi \mathrm{i}{)}^{n_0/2}}{T}_M\left(\frac{\hat{A}(M^{\gamma })\mathrm{ch}(\gamma ,W)}{\mathrm{ch}(\gamma ,S(N))}\right)dx.$$

事实上, 如果我们从等变示性类出发, 我们也能得到等变指标的一个表达式, 它将等变指标写成等变示性类在整个 $M$ 上的积分.

设紧 Lie 群 $G$ 作用在偶数维紧可定向 Riemann 流形 $M$ 上, 保持其度量和定向. 设 $\mathfrak{g}$ 是 $G$ 的 Lie 代数. 设 $D$ 是等变 Clifford 模 $E\to M$ 上的等变 Dirac 算子.

定理 11.19 (Кириллов 公式). 设 $X\in \mathfrak{g}$ 是 $0$ 附近的元素. 则 $$\mathrm{ind}({\mathrm{e}}^{-X},D)=\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^{n/2}}{\int }_M{\hat{A}}_{\mathfrak{g}}(M)(X){\mathrm{ch}}_{\mathfrak{g}}(W)(X).$$

注意到, 这个表达式其实就是在 (9.5) 中, 把示性类换成等变示性类得到的结果.

我们给出了等变指标的两个表达式, 它们是有联系的. 这一联系就是下一节中将要介绍的局部化公式, 这个公式把等变微分形式的积分转换为不动点集合上的积分. 通过局部化公式, 我们能从 (10.10) 推出 (11.19). 详细过程可见 [BGV92, §8.1].

Кириллов 公式还有另一个证明方法, 也就是模仿 (9.5) 的证明过程, 对等变热核做渐进展开, 但仅考虑 $G$ 的无穷小作用, 就能得到等变示性类. 详细的证明可见 [BGV92, §8.3].