5. 陈–Weil 理论 (上)

从这一节开始, 我们从一个全新的角度出发, 来重新建造示性类的理论. 这个角度就是微分几何的观点. 我们将研究流形上的向量丛和主丛, 并通过它们的几何量, 即曲率形式, 来定义示性类. 这样定义出的示性类是一些闭微分形式, 其 de Rham 上同调类就是我们之前研究的示性类. 这一套理论被称为陈–Weil 理论.

通过这种方式, 我们能通过流形的几何量, 来计算它的拓扑. 这种想法的一个经典的形式是 Gauß–Bonnet 公式: 对于二维可定向紧 Riemann 流形 $M$, 我们有$${\int }_{M}KdS=2\pi \chi (M),$$其中 $K$ 是 Gauß 曲率, $dS$ 是面积元. 我们可以把陈–Weil 理论看作这个公式的一般形式.

从本节开始, 所有流形都默认是光滑、不带边的.

联络和曲率

定义 5.1. 设 $M$ 是流形. $M$ 上的一个光滑向量丛 (smooth vector bundle) 是指一个 (实或复) 向量丛$$E\to M,$$其转移映射都是 (从 $M$ 的开集出发的) 光滑映射. 此时, $E$ 具有一个自然的光滑结构.

在下面的讨论中, 设 $E\to M$ 是一个光滑 $\mathbb{K}$-向量丛, 其中 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C}$. 设 $M$ 的维数为 $n$, $E$ 的秩为 $m$. 我们用记号 $\Gamma (E)$ 表示 $E$ 的所有光滑截面的集合.

向量丛 $E$ 上的一个联络就是一个将 $E$ 的每个纤维与它周围的纤维对齐的方法. 如果我们知道如何对齐这些纤维, 我们就可以对 $E$ 的截面取方向导数. 这解释了下面的定义.

定义 5.2. $E$ 上的一个联络 (connection) 是一个映射$$\begin{array}{rl}\nabla :\Gamma (TM)\otimes \Gamma (E)& \to \Gamma (E),\\ (X,s)& \mapsto {\nabla }_{X}s,\end{array}$$满足以下公理:

•	${\nabla }_{X}s$ 关于 $X$ 是 $C^{\infty }(M)$-线性的, 关于 $s$ 是 $\mathbb{K}$-线性的.
•	(Leibniz 法则) 如果 $X\in \Gamma (TM)$, $s\in \Gamma (E)$, $f\in C^{\infty }(M,\mathbb{K})$, 那么$${\nabla }_X(fs)=(Xf)s+f{\nabla }_{X}s.$$换言之, 作为 $E$-取值的 $1$-形式 (即 $T^{\ast }M\otimes E$ 的截面), 有$$\nabla (fs)=(df)s+f\nabla s.$$

如果 $E$ 的纤维带有 (Euclid 或 Hermite) 度量, 我们还可以要求:

•	(Leibniz 法则) 如果 $X\in \Gamma (TM)$, $s_1,s_2\in \Gamma (E)$, 那么$$X⟨s_1,s_2⟩=⟨{\nabla }_X{s}_1,s_2⟩+⟨s_1,{\nabla }_X{s}_2⟩.$$

此时, $\nabla$ 称为一个度量联络 (metric connection).

在实际的计算中, 上面的定义常常是不好用的. 我们将联络的局部信息提取出来, 成为一些微分形式, 以便于直接计算截面的方向导数.

定义 5.3. 设开集 $U\subset M$ 上 $E$ 平凡, 即 $E{|}_U\simeq U\times {\mathbb{K}}^m$. 设 $e_1,\dots ,e_m$ 是由 ${\mathbb{K}}^m$ 的基给出的 $E{|}_U$ 的 $m$ 个截面. 设$$\nabla e_j={\omega }_j^i{e}_i,$$其中 ${\omega }_j^i\in {\Omega }^1(U,\mathbb{K})$. 这 $m^2$ 个 $1$-形式称为联络 $\nabla$ 的联络形式 (connection form). 我们可以把 $\omega$ 看作$${\Omega }^1(U,\mathrm{End}(E))=\Gamma (T^{\ast }U\otimes \mathrm{End}(E))$$的截面, 因为它是由 $m^2$ 个 $1$-形式构成的矩阵, 也就是一个取值为矩阵的 $1$-形式.

需要注意的是, $\omega$ 并不能定义出整个 $M$ 上的 $1$-形式, 因为它不符合 $1$-形式的坐标变换法则.

注 5.4. 为了直观地理解联络形式, 我们把 $\mathrm{End}(E)$ 与 Lie 代数 $\mathfrak{gl}(E)$ 等同起来. 对任意向量场 $X\in \Gamma (TM)$, 局部截面$$\omega (X)\in \Gamma (U,\mathfrak{gl}(E))$$给出了从某一点 $x\in U$ 出发, 沿着 $X$ 的方向走无穷小的距离时, 得到 $E$ 的纤维的无穷小自同构, 即 $\mathrm{GL}(E_x)$ 的一个无穷小元素. 这个自同构就是由联络所指定的将相邻纤维等同起来的方法.

事实上, 对于一般的 Lie 群 $G$, 我们也可以谈论 $G$-主丛上的联络, 其联络形式是取值于 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 的形式. 为了对用户友好, 我们在行文中总是取 $G=\mathrm{GL}(n)$, 但一般的 Lie 群的情况其实大同小异.

现在, 我们就可以在局部上计算出截面的方向导数了:$${\nabla }_X(s^j{e}_j)=X^{\alpha }({\partial }_{\alpha }{s}^j)e_j+s^j{X}^{\alpha }({\omega }_j^i{)}_{\alpha }{e}_i,$$其中希腊字母表示流形方向的坐标, 罗马字母表示纤维方向的坐标. 记号 $({\omega }_j^i{)}_{\alpha }$ 表示 $1$-形式 ${\omega }_j^i$ 的 $\alpha$-分量. 注意到, $\omega$ 描述了联络给出的方向导数和局部坐标下的导数的差异.

定义 5.5. 联络 $\nabla$ 的曲率形式 (curvature form) 是 $m^2$ 个 $2$-形式, 定义为$${\Omega }_j^i=d{\omega }_j^i+{\omega }_k^i\wedge {\omega }_j^k.$$这个公式可以简写成$$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,$$其中 $\Omega$ 是 $\mathrm{End}(E)$ 取值的 $2$-形式, 记号 $\omega \wedge \omega$ 的意思是把两个矩阵相乘, 但矩阵的元素都是 $1$-形式, 这些元素相乘的方法是做外积.

由于记号约定不同, 一些作者会把这个公式写成$$\Omega =d\omega -\omega \wedge \omega .$$出现这种现象的原因是, 这些作者的上下标与我们相反, 所以我们的 ${\omega }_k^i\wedge {\omega }_j^k$ 相当于这些作者的 $-{\omega }_k^j\wedge {\omega }_i^k$.

之所以将 $\Omega$ 称为曲率形式, 是因为对 $X,Y\in \Gamma (TM)$, 有$$\Omega (X,Y)=R(X,Y)\in \Gamma (\mathrm{End}(E)),$$(5.5.1)其中 $R(X,Y)={\nabla }_X{\nabla }_Y-{\nabla }_Y{\nabla }_X-{\nabla }_{[X,Y]}$ 是 Riemann 曲率张量. 读者可以验证这个公式.

实际上, 这个公式还说明, 虽然 $\Omega$ 是局部定义的, 但它是整个 $M$ 上的一个张量. 这个性质是联络形式所不具有的.

命题 5.6. $\Omega$ 定义了整个 $M$ 上的一个 $2$-形式: $$\Omega \in {\Omega }^2(M,\mathrm{End}(E)).$$$\square$

曲率形式还有另一种诠释. 给定 $E$ 上的一个联络, 我们不仅能对 $E$ 的截面求方向导数, 也能对 $E$-取值的微分形式求方向导数:

定义 5.7. 设 $s\in \Gamma (E)$, $\alpha \in {\Omega }^{\bullet }(M)$. 通过 Leibniz 法则, 我们定义$$\nabla (s\otimes \alpha )=\nabla s\wedge \alpha +s\otimes d\alpha .$$这样就定义了 $E$-取值的微分形式的方向导数.

于是, 我们有一系列映射$${\Omega }^0(M,E)\stackrel{\nabla }{⟶}{\Omega }^1(M,E)\stackrel{\nabla }{⟶}{\Omega }^2(M,E)\stackrel{\nabla }{⟶}\cdots .$$对于 $s\in \Gamma (E)$, 我们有$${\nabla }^{2}s=\Omega s\in {\Omega }^2(M,E).$$(5.7.1)这个性质常常被简写为 $\Omega ={\nabla }^2$. 请读者验证这个等式.

最后, 我们有一个著名的关于曲率形式的等式, 其验证留给读者.

命题 5.8 (Bianchi 恒等式). 在局部上, 我们有$$d\Omega =[\Omega ,\omega ],$$其中 $[\Omega ,\omega ]=\Omega \wedge \omega -\omega \wedge \Omega$.

$\square$

曲率不变量

下面, 我们从一个联络的曲率 $2$-形式中提取出一些不变量, 这些不变量不依赖于联络的选取.

定义 5.9. $n$ 阶矩阵的不变多项式 (invariant polynomial) 是指一个函数$$P:M_{n\times n}(\mathbb{C})\to \mathbb{C},$$它是 $n^2$ 个矩阵元的多项式, 并满足对任意矩阵 $A$ 和可逆矩阵 $T$, 有$$P(TA{T}^{-1})=P(A).$$

习题 5.10. 设 $P$ 是 $n$ 阶矩阵的不变多项式. 则 $P$ 一定是矩阵的 $n$ 个特征值的对称多项式, 由此推出 $P$ 一定具有$$P(A)=p(\mathrm{tr}A,\mathrm{tr}{A}^2,\dots ,\mathrm{tr}{A}^n)$$的形式, 其中 $p$ 是多项式.

设 $E\to M$ 是光滑复向量丛, 带有联络 $\nabla$. 一个不变多项式给出了向量丛 $\mathrm{End}(E)$ 的每个纤维到 $\mathbb{C}$ 的函数, 因为其取值不依赖于基的选取, 只依赖于线性算子的特征值. 这个函数可以把 $\mathrm{End}(E)$-取值的微分形式变成普通的微分形式.

设 $P$ 是不变多项式. 我们将它作用在曲率 $2$-形式 $\Omega$ 上, 得到一个形式$$P(\Omega )\in {\Omega }^{2\bullet }(M,\mathbb{C}).$$我们将证明, 这个微分形式是闭形式, 且它给出的 de Rham 上同调类不依赖于联络的选取.

命题 5.11. $P(\Omega )$ 是闭形式.

证明. 将 $P$ 写成 (5.10) 的形式. 因为闭形式的外积仍然是闭形式, 所以, 我们只需证明$$d\mathrm{tr}{\Omega }^k=0(k=0,1,\dots ,m).$$而由 Bianchi 恒等式 (5.8), 由归纳法不难证明$$d{\Omega }^k=[{\Omega }^k,\omega ](k=0,1,\dots ).$$因此, $$d\mathrm{tr}{\Omega }^k=\mathrm{tr}d{\Omega }^k=\mathrm{tr}[{\Omega }^k,\omega ]=0.$$$\square$

命题 5.12. 上同调类 $[P(\Omega )]\in H^{2\bullet }(M;\mathbb{C})$ 不依赖于联络 $\nabla$ 的选取.

证明. 设 ${\nabla }^0,{\nabla }^1$ 是 $E$ 上的两个联络. 考虑向量丛 $E\times \mathbb{R}\to M\times \mathbb{R}$, 带有联络$$\nabla =t{\tilde{\nabla }}^1+(1-t){\tilde{\nabla }}^0,$$其中 ${\tilde{\nabla }}^i$ ($i=1,2$) 是 $E\times \mathbb{R}$ 上的联络, 使得截面沿 $E$ 方向的导数由 ${\nabla }^i$ 给出, 沿 $\mathbb{R}$ 方向的导数由普通的导数给出. 换言之, ${\tilde{\nabla }}^i$ 是将 ${\nabla }^i$ 的联络 $1$-形式沿着投影映射拉回, 所定义的 $E\times \mathbb{R}$ 上的联络.

记 $i_0,i_1:M\hookrightarrow M\times \mathbb{R}$ 为含入映射, 其 $\mathbb{R}$-分量分别为 $0$ 和 $1$. 记 ${\Omega }^0,{\Omega }^1$ 分别为 ${\nabla }^0,{\nabla }^1$ 的曲率形式. 则$$[P({\Omega }^0)]=i_0^{\ast }[P(\Omega )]=i_1^{\ast }[P(\Omega )]=[P({\Omega }^1)],$$因为 $i_0,i_1$ 是同伦的映射.

$\square$

这一系列结论表明, 对每个不变多项式 $P$, 上同调类 $[P(\Omega )]$ 给出了复向量丛的拓扑不变量. 事实上, 这些不变量就是我们熟悉的陈类, 以及陈类的多项式. 在下面几个小节中, 我们将导出这些不变量与陈类的对应关系.

定义 5.13. 设 $1\le k\le n$ 为整数. 对 $n$ 阶复矩阵 $A$, 我们记$${\sigma }_k(A)=\sum _{1\le i_1<\dots <i_k\le n}{\lambda }_{i_1}\cdots {\lambda }_{i_k}$$为 $A$ 的 $n$ 个特征值的第 $k$ 个初等对称多项式, 它是一个不变多项式.

我们即将证明, $E$ 的陈类由下面的公式给出:$$c_k(E)=\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^k}[{\sigma }_k(\Omega )].$$

第一陈类

我们首先考虑最简单的情况, 即线丛的第一陈类.

定理 5.14. 设 $E\to M$ 是光滑复线丛, 带有联络 $\nabla$ 和曲率形式 $\Omega$. 则$$c_1(E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}[\Omega ].$$

证明. 设 $E$ 的分类映射是$$\phi :M\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^{\infty },$$其中 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^{\infty }$ 是复线丛的分类空间. 由胞腔近似定理, $\phi$ 的像可以同伦到 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^{\infty }$ 的一个有限维子 CW 复形中. 因此, 在同伦意义下, 我们可以将 $\phi$ 视为一个映射$$\phi :M\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^N(N>0).$$在同伦意义下, 我们还可以假定 $\phi$ 是光滑映射 (例如利用磨光).

我们知道 $H^2(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^N;\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}\cdot c_1$, 其中 $c_1$ 是自言线丛 $\mathcal{O}(-1)$ 的第一陈类. 因此, 存在常数 $\alpha \in \mathbb{C}$, 使得$$[\Omega ]=\alpha c_1,$$其中 $\Omega$ 是 $\mathcal{O}(-1)$ 的曲率形式.

我们有 $E\simeq {\phi }^{\ast }\mathcal{O}(-1)$. 我们可以把 $\mathcal{O}(-1)$ 的联络 $1$-形式通过 $\phi$ 拉回, 得到 $E$ 上的联络, 其曲率形式是 ${\Omega }^E={\phi }^{\ast }\Omega$. 从而$$[{\Omega }^E]=\alpha {\phi }^{\ast }{c}_1=\alpha c_1(E).$$

最后, 我们来确定常数 $\alpha$.

我们改变记号: 设 $M$ 是二维可定向 Riemann 流形, $E\to M$ 是 $M$ 的切丛. 则 $E$ 可以自然地被看作一个复线丛, 因为乘以 $\mathrm{i}$ 的操作就是逆时针旋转 $90^{\circ }$. 在 $E$ (作为实向量丛) 上有一个自然的度量联络, 即 Levi-Civita 联络, 我们记作 ${\nabla }^{\mathbb{R}}$.

取 $E$ 的局部截面 $e_1$, 满足 $|e_1|\equiv 1$, 并记 $e_2=\mathrm{i}{e}_1$. 以它们为局部坐标, 则 ${\omega }_1^1=0$, 因为对任何向量场 $X$, 有 ${\nabla }_X^{\mathbb{R}}{e}_1\perp e_1$. 这说明$${\nabla }^{\mathbb{R}}{e}_1={\omega }_1^2\otimes e_2=\mathrm{i}{\omega }_1^2\otimes e_1.$$我们定义 $E$ (作为复向量丛) 上的联络 ${\nabla }^{\mathbb{C}}$ 如下: 对任何截面 $s$, 定义$${\nabla }^{\mathbb{C}}s={\nabla }^{\mathbb{R}}s\in {\Omega }^1(M,E).$$则 ${\nabla }^{\mathbb{C}}$ 确实是联络, 因为联络的本质就是把邻近的纤维对齐的方法, 而 ${\nabla }^{\mathbb{R}}$ 保持了纤维上的内积, 从而也是 $\mathbb{C}$-线性的.

现在, 我们有 ${\nabla }^{\mathbb{C}}{e}_1=\mathrm{i}{\omega }_1^2\otimes e_1$. 因此, ${\nabla }^{\mathbb{C}}$ 的联络形式是$${\omega }^{\mathbb{C}}=\mathrm{i}{\omega }_1^2,$$这里我们省去了 ${\omega }^{\mathbb{C}}$ 的上下标 $1$. 从而, ${\nabla }^{\mathbb{C}}$ 的曲率形式是$${\Omega }^{\mathbb{C}}=\mathrm{i}{\Omega }_1^2.$$

为了确定 $\alpha$ 的值, 我们取 $M=S^2$ 为标准的单位球面. 一方面, 我们有$${\int }_{S^2}{\Omega }^{\mathbb{C}}=\alpha ⟨c_1(TM),[M]⟩=\alpha ⟨e(TM),[M]⟩=2\alpha ,$$而另一方面, 由 (5.5.1), 在开集 $U\subset S^2$ 上的局部坐标中, 有$${\int }_U{\Omega }^{\mathbb{C}}=\mathrm{i}{\int }_U{\Omega }_1^2=\mathrm{i}{\int }_{U}KdS=\mathrm{i}\cdot (U\text{ 的面积}),$$其中 $K$ 是 Gauß 曲率, $S$ 是面积元. 因此, $$2\alpha =\mathrm{i}\cdot (S^2\text{ 的面积})=4\pi \mathrm{i},$$从而 $\alpha =2\pi \mathrm{i}$.

$\square$

现在, 我们已经知道了 $\alpha$ 的值. 因此, 在上面的证明最后, 如果我们把 $S^2$ 换成别的流形, 就可以导出 Gauß–Bonnet 公式.

推论 5.15 (Gauß–Bonnet 公式). 设 $M$ 是二维可定向紧 Riemann 流形. 则$${\int }_{M}KdS=2\pi \chi (M),$$其中 $K$ 是 Gauß 曲率, $dS$ 是面积元.

$\square$

陈形式

定理 5.16. 设 $E\to M$ 是光滑复向量丛, 带有联络 $\nabla$ 和曲率形式 $\Omega$. 则$$c_k(E)=\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^k}[{\sigma }_k(\Omega )].$$因此, $2k$-形式 $(2\pi \mathrm{i}{)}^{-k}{\sigma }_k(\Omega )$ 称为 $E$ 的第 $k$ 个陈形式.

证明. 考虑 $m$ 阶矩阵的不变多项式 $P$, 定义为$$P(A)=\sum _{k=0}^m\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^k}{\sigma }_k(A)=\det (I+\frac{A}{2\pi \mathrm{i}}),$$其中 $I$ 表示单位矩阵. 这个不变多项式对应着向量丛的全陈类.

我们先考虑 $E=L_1\oplus \cdots \oplus L_m$ 是若干线丛的直和的情况. 我们在每个 $L_i$ 上取联络 ${\nabla }^i$, 然后定义 $E$ 上的联络 $\nabla ={⨁}_i{\nabla }^i$. 换言之, $\nabla$ 的联络 $1$-形式是$$\omega =\mathrm{diag}({\omega }^1,\dots ,{\omega }^m),$$即由各 ${\nabla }^i$ 的联络形式构成的对角矩阵. 从而, $\nabla$ 的曲率形式是$$\Omega =\mathrm{diag}({\Omega }^1,\dots ,{\Omega }^m).$$因此, $$\begin{array}{rl}P(\Omega )& =\det \left[\mathrm{diag}\right(1+\frac{{\Omega }^1}{2\pi \mathrm{i}},\dots ,1+\frac{{\Omega }^m}{2\pi \mathrm{i}}\left)\right]\\ & =P({\Omega }^1)\cdots P({\Omega }^m)\\ & =c(L_1)\cdots c(L_m)\\ & =c(E),\end{array}$$其中第三个等号使用了 (5.14).

对于一般的情况, 使用分裂原理不难完成证明. 当然, 我们需要的是光滑版本的分裂原理, 但其证明与拓扑版本的分裂原理是完全相同的.

$\square$

在上面的证明中, 我们也得到了计算全陈类的公式. 我们将这个公式和计算陈特征的公式一并列出:

推论 5.17. 设 $E\to M$ 是光滑复向量丛, 带有联络 $\nabla$ 和曲率形式 $\Omega$. 则$$\begin{array}{rlrl}c(E)& =\left[\det \right(I+\frac{\Omega }{2\pi \mathrm{i}}\left)\right]& & \in H^{2\bullet }(M;\mathbb{C}),\\ \mathrm{ch}(E)& =[\mathrm{tr}{\mathrm{e}}^{\Omega /2\pi \mathrm{i}}]& & \in H^{2\bullet }(M;\mathbb{C}).\end{array}$$$\square$

实向量丛的 Понтрягин 类是通过陈类定义的. 因此, 我们也能将 Понтрягин 类用微分形式表示出来.

推论 5.18. 设 $E\to M$ 是光滑实向量丛, 带有联络 $\nabla$ 和曲率形式 $\Omega$. 则$$p_k(E)=\frac{1}{(2\pi {)}^{2k}}[{\sigma }_{2k}(\Omega )].$$因此, $4k$-形式 $(2\pi {)}^{-2k}{\sigma }_{2k}(\Omega )$ 称为 $E$ 的第 $k$ 个 Понтрягин 形式.

证明. 证明中唯一不太显然的地方是: $E$ 上的联络可以自然地诱导 $E\otimes \mathbb{C}$ 上的联络, 二者的联络形式相等, 从而曲率形式也相等.

$\square$

陈–Gauß–Bonnet 公式

利用上面的理论, 我们可以证明 Gauß–Bonnet 公式向高维流形的推广, 它把流形的 Euler 数表示为曲率不变量的积分. 事实上, 奇数维紧流形的 Euler 数总是 $0$, 而对偶数维流形来说, 切丛的 Euler 类是最高阶 Понтрягин 类的平方根. 因此, 我们只要描述清楚这个平方根, 就能获得计算 Euler 数的公式.

定义 5.19. 设 $V$ 是已定向的 $n$ 维欧氏向量空间, $e_1,\dots ,e_n$ 为一组与定向相符的标准正交基. 线性映射$$T:{\wedge }^{\bullet }V\to \mathbb{R}$$定义如下: $T(e_1\wedge \cdots \wedge e_n)=1$, $T({\wedge }^{<n}V)=0$. 映射 $T$ 称为 Березин 积分.

定义 5.20. 沿用上面的记号, 设 $A\in {\wedge }^{2}V$, 可以看作一个反对称矩阵. 定义$${\exp }^{\wedge }A=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^{\wedge k}}{k!}\in {\wedge }^{\bullet }V.$$事实上, 这个求和是有限和. 我们定义 $A$ 的 Pfaff 值 (Pfaffian) 为$$\mathrm{pf}A=T({\exp }^{\wedge }A).$$

Pfaff 值的重要性质是, 它是行列式的平方根, 同时也是矩阵元素的多项式.

命题 5.21. 沿用上面的记号, 将 $A$ 看成反对称矩阵, 我们有$$(\mathrm{pf}A{)}^2=\det A.$$

证明. 通过正交相似变换, $A$ 可以化为标准型, 即分块对角矩阵$$A=\mathrm{diag}(B_1,\dots ,B_k,0,\dots ,0),B_i=\left(\begin{array}{cc}0& a_i\\ -a_i& 0\end{array}\right).$$我们记 $A=A_1+\cdots +A_k$, 其中 $A_i$ 是将 $A$ 中除了 $B_i$ 外的部分都清零得到的矩阵. 则$$A_i=a_i(e_{2i-1}\otimes e_{2i}-e_{2i}\otimes e_{2i-1})=a_i(e_{2i-1}\wedge e_{2i}),$$其中 $e_i$ 表示第 $i$ 个基向量. 因此, 若 $k=n/2$, 则$$\begin{array}{rl}T({\exp }^{\wedge }A)& =\frac{1}{k!}T(A^{\wedge k})\\ & =\frac{1}{k!}T(k!A_1\wedge \cdots \wedge A_k)\\ & =a_1\cdots a_{k}T(e_1\wedge \cdots \wedge e_n)\\ & =a_1\cdots a_k.\end{array}$$而 $\det A=a_1^2\cdots a_k^2$. 若 $k<n/2$, 则 $T({\exp }^{\wedge }A)=0$.

$\square$

有了 Pfaff 值, 我们可以对反对称矩阵的行列式开平方根. 对于度量联络而言, 曲率形式确实是反对称的:

命题 5.22. 设 $E\to M$ 是光滑实向量丛, 具有 Euclid 度量. 设 $\nabla$ 是度量联络. 则曲率形式 $\Omega$ 是取值于 $\mathfrak{so}(E)$ 的 $2$-形式, 即在标准正交基下表示为反对称矩阵: ${\Omega }_i^j=-{\Omega }_j^i$.

证明. 事实上, 在局部坐标系中, 联络形式也是反对称的, 即满足若 $e_1,\dots ,e_m$ 是 $E$ 的局部截面, 它们构成 $E$ 的每个纤维的标准正交基, 则以它们为局部坐标, 有 ${\omega }_i^j=-{\omega }_j^i$. 这是因为对任何向量场 $X$, 有$$0=X⟨e_i,e_j⟩=⟨{\nabla }_X{e}_i,e_j⟩+⟨e_i,{\nabla }_X{e}_j⟩={\omega }_i^j(X)+{\omega }_j^i(X).$$$\square$

因此, 我们可以对得到偶数维流形切丛的最高阶 Понтрягин 类开平方, 得到 Euler 类的表达式.

定理 5.23 (陈–Gauß–Bonnet 公式). 设 $E\to M$ 是光滑实向量丛, 其秩为 $2n$. 则$$e(E)=\left[\right(\frac{-1}{2\pi }{)}^n\mathrm{pf}(\Omega )]\in H^{2n}(M).$$特别地, 如果 $M$ 是 $2n$ 维紧可定向流形, 那么$$\chi (M)=(\frac{-1}{2\pi }{)}^n{\int }_M\mathrm{pf}(\Omega ),$$其中 $\Omega$ 是切丛的曲率形式.

证明. 和 (5.14) 的证明一样, 我们只需要对足够大的 $N$, 证明有限维 Graßmann 流形 $G_{2n}({\mathbb{R}}^N)$ 上的 “万有向量丛” $E$ 满足这一公式. (事实上, 这一步还用到了如下事实: $G_{2n}({\mathbb{R}}^{\infty })$ 有一个 CW 结构, 其每个 $k$-骨架都包含于某个子复形 $G_{2n}({\mathbb{R}}^N)$. 对这样的 CW 结构的描述可参见 [GH78, p. 194ff.].)

此时, $e(E{)}^2=p_n(E)$, 且 $\mathrm{pf}(\Omega {)}^2=\det (\Omega )={\sigma }_{2n}(\Omega )$. 故必有$$e(E)=\epsilon \left[\right(\frac{1}{2\pi }{)}^n\mathrm{pf}(\Omega )],\epsilon =\pm 1.$$

下面, 我们来确定 $\epsilon$ 的值. 为此, 我们只需考虑一个特例即可.

当 $n=1$ 时, 由我们的记号约定, 局部上有 $\mathrm{pf}(\Omega )=-{\Omega }_1^2$. 而在 (5.14) 的证明中, 我们知道对球面 $S^2$, 有$$[\mathrm{pf}(\Omega )]=\text{“}[-{\Omega }_1^2]\text{”}=-4\pi =-2\pi e(T{S}^2).$$这就说明 $n=1$ 时, $\epsilon =-1$.

对一般的 $n$, 我们考虑 $n$ 个平面丛的直和 $E=E_1\oplus \cdots \oplus E_n$. 则$$\begin{array}{rl}[\mathrm{pf}(\Omega )]& =[\mathrm{pf}({\Omega }_1)]\times \cdots \times [\mathrm{pf}({\Omega }_n)]\\ & =(-2\pi {)}^{n}e(E_1)\times \cdots \times e(E_n)\\ & =(-2\pi {)}^{n}e(E),\end{array}$$其中记号的意义是明显的. 因此, $\epsilon =(-1{)}^n$.

$\square$