12. 局部化定理

在这一节中, 我们从几何与代数两种观点出发, 证明等变微分形式的局部化公式. 这个公式能够把等变微分形式的积分写成不动点集上的积分. 特别地, 如果不动点集是离散的, 那么这个积分就化为一个求和.

Berline–Vergne 局部化公式

设紧 Lie 群 作用在紧流形 上, . 我们想要证明, 一个等变形式的积分只与它在不动点附近的取值有关. 证明的思路是利用 Stokes 公式, 将整个流形上的积分化为不动点附近的积分.

这个想法可以通过下面的命题得到验证.

命题 12.1. 是光滑映射, 不要求等变. 假设 . 则对任意 , 形式 上的恰当 (exact) 形式, 其中 是向量场 的零点集.

证明. 上取一个 -不变的度量. 设 对应的 -形式, 即对任意向量场 , 有虽然 不是等变形式, 我们也还是记 . 因为 的流保持 的度量, 所以另外, 上是可逆的偶数阶形式: 其中, 以外都非零. 因此, 由于 可逆, 知因此, 对命题叙述中的 , 我们有从而

下面, 我们假设 是离散的集合. 对每个 , 子群作用在切空间 上. 从而, 这个群的无穷小生成元 也作用在切空间上, 我们将这个作用记为事实上, 就是 Lie 导数, 即向量场的 Lie 括号 .

引理 12.2. 是可逆线性映射.

证明. 若不然, 则存在 , 使得 . 这意味着 的流将 固定不动, 从而对任意 , 都是 作用的不动点, 其中 是上面定义的子群 (注意 上的度量是 -不变的).

通过等距同构作用在 上, 从而 . 因此, 引理说明 一定是偶数维. 此时, 我们可以得到 Pfaff 值其中正负号取决于 的定向.

定理 12.3 (Berline–Vergne 公式). 是光滑映射, 不要求等变. 假设 . 固定一个元素 . 如果 是离散的集合, 那么其中 , 下标 表示取 -形式的部分.

证明. 的一组与定向相符的标准正交基, 使得 表示为分块对角阵 附近建立法坐标系, 则 的表达式是事实上, 是一个 Killing 向量场 (也就是说, 它的流保持 的度量), 它在整个流形上的值能由一个点处的信息确定.

和 (12.1) 的证明中一样, 我们令, 且 .

我们在每个 附近构造这样的 , 然后通过单位分解, 得到整个 上的 -形式 , 满足

, 并且在 以外, 有 .

在每个 附近, 与上面构造的 相同.

借助 (12.1) 中的计算, 我们有此时, 式中的每个形式都有具体的坐标表达式. 通过初等的计算, 上的积分等于

几个应用

下面, 我们介绍这个结论的两个应用. 第一个应用是计算示性数的 Bott 公式. 我们回忆, 若是不变多项式 (参见 3.12), 则 所对应的 示性数

定理 12.4 (Bott 公式). 如果 作用在 上, 其不动点集是离散的, 那么

这里我们说的 是相对于 的 Lie 代数的一个生成元 而言的, 但事实上, 不难看出这个表达式的值不依赖于生成元的选取.

证明. 选取 上的 -不变度量, 我们有等变曲率形式其中 是动量映射 (11.16). 由陈–Weil 理论, . 利用局部化公式, 我们得到而由 (11.16), , 后一项在不动点处消失, 而前一项就给出了我们需要的 .

我们要介绍的第二个应用是 Duistermaat–Heckman 公式, 它描述了辛流形的 Liouville 测度沿动量映射的前推.

定理 12.5 (Duistermaat–Heckman 公式). 是紧辛流形, 是 Hamilton 作用. 取一个元素 , 假定 是离散的集合. 则

事实上, 这个公式就是使用稳定相位法近似计算左边的积分得到的公式, 但误差项消失了. 也就是说, 这个近似结果实际上是精确的.

定理中, -形式 称为 Liouville 测度, 它是辛流形上典范的测度. 通过动量映射 , 我们可以定义 上的测度 , 使得测度 称为 Duistermaat–Heckman 测度, 它是 Liouville 测度沿动量映射的前推. 这样, 定理中等式的左边就能写成被积分的项其实是 Duistermaat–Heckman 测度的 Fourier 变换. 从这个角度出发, 可以证明 Duistermaat–Heckman 公式的一个等价形式, 即度量 实际上是由 中的一些多面体上的多项式函数拼起来而得到的. 读者可参见 [AB84].

定理 12.5 的证明. 我们有其中, 等变辛形式 是等变闭形式, 因此, . 使用局部化公式就完成了证明.

一般的局部化公式

下面, 我们不再要求 是离散的. 和我们介绍等变指标定理时类似, 这时 的子流形, 但可能是不同维数的子流形的不交并. 设 是法丛. 与之前不同, 现在 可能是奇数维的, 但 的秩一定是偶数, 其原因和 (12.2) 相同.

我们记并设 . 则作用 保持向量场 不变, 从而 的作用也保持了子流形 (但并非将它固定不动). 这又诱导了 在法丛 上的作用.

上取 -不变的度量和联络, 我们能得到 -等变的曲率形式其中 .

定理 12.6 (Berline–Vergne 公式). 是光滑映射, 不要求等变. 假设 . 固定一个元素 . 则对足够靠近 , 有其中 , 而 是等变 Euler 类. 特别地, 其中 的定义和之前的 同理.

定理的证明方法与之前类似, 但涉及冗长的曲率计算. 详细的证明可见 [BGV92, §7.2]. 不过, 我们在下一节将给出这一公式的另一证明路径.

Atiyah–Bott 局部化定理

设紧 Lie 群 作用在流形 上, 设 是极大环面. 则有一个自然的映射可以证明, 这一映射是单射, 且其像是 , 其中 是 Weyl 群. 因此, 我们可以只研究 , 然后将 从其中恢复出来.

-不动点的集合. 我们将证明, 映射几乎是一个同构, 并从中得到局部化公式.

的 Lie 代数 的一组基. 则因此, 等变上同调环 实际上是一个 -代数.

从代数几何的角度看, -代数 实际上是仿射空间上的一个拟凝聚代数层. 我们将这个拟凝聚层记为 . 这个代数层的支集是其中 , 记号 表示 的零点集, 的零化子.

引理 12.7. 是闭子群. 如果存在 -等变的映射 (换言之, 中的 -轨道至多被压缩成 ), 那么其中 的 Lie 代数. 特别地, 如果 , 那么 是挠模.

证明., 满足 . 我们只需要证明 .

我们有其中第三个等号是因为 (1.23). 而由假设, 我们有 -模的交换图因为 , 所以左边的竖直映射为零, 而右边的竖直映射由左边的映射诱导, 故也为零.

我们回忆, 如果子群 是某个点 的稳定子, 即就称 是一个迷向子群 (isotropy subgroup).

引理 12.8. 沿用上面的记号, 则作为 的子集, 有并且, 这样的迷向子群只有有限个.

证明. 是一个 -轨道. 通过不变度量的指数映射, 我们能得到 的一个 -不变的管状邻域 , 它有一个 -等变的投影映射 . 因此, 对任何 -不变的开集 , 都有

我们把 和轨道 的法丛中零截面的 -邻域等同起来. 则 上的作用可以如下描述: 首先把 作用在法丛的纤维上, 然后通过 的作用移动到别的纤维上. 并且, 在纤维上的作用是线性的, 且在每个纤维上作用的方式相同. 因此, 这些纤维中的点的稳定子群, 实际上就是 关于这个线性作用的迷向子群.

因为 的交换子群的所有元素可同时对角化, 所以 的所有迷向子群就是 的有限个子群. 而紧流形 可被有限个这样的 覆盖, 从而 只有有限个迷向子群.

最后, 关于支集的命题不难通过 Mayer–Vietoris 序列得到.

-不动点的集合. 则 以外的点的稳定子群都是 的真子群. 上面的命题说明, 的等变上同调在这些地方都是 “几乎为零” 的. 下面的定理就是这个想法的严格表述.

定理 12.9 (Atiyah–Bott 局部化定理). 在上面的记号下, 映射的核与余核的支集都包含于特别地, 其核与余核作为 -模都是挠模.

证明. 我们有上同调的长正合列其中 是相对等变上同调, 读者不难猜出其定义.

为了证明定理, 我们只需要证明其中 取遍 的所有 (有限个) 迷向子群.

通过不变度量的指数映射, 我们可以取 -等变管状邻域 . 将 (12.8) 的证明稍作修改, 也就是把这里的 加入到证明中的开覆盖中, 我们实际上证明了因为我们可以把 中未被其它开集覆盖的部分用切除引理移走.

最后, 因为 可以 -等变地形变收缩到 , 所以它们的等变上同调同构. 利用 的上同调长正合列和五引理, 我们就完成了证明.

接下来, 我们通过这个方法, 推导出等变微分形式积分的局部化公式.

我们回忆 Thom 同构定理 (2.12). 在非等变的情形下, 如果我们记 , 则有图表其中虚线表示其次数与标注的不符, 映射 定义为它上方两个映射的复合. 我们回忆其中 的法丛.

类似地, 映射 在等变的情形也可以定义, 此时 就等于等变 Euler 类 . 这一事实是等变示性类的 (代数拓扑) 定义的直接推论.

推论 12.10. 映射的核与余核的支集都包含于

证明. 由 (12.9) 和上面的长正合列的等变版本, 命题立即得证.

选一个 , 使得 (12.10) 中的支集包含于 . 我们将 局部化为 . 则是同构. 这说明, 对任何等变上同调类 , 有然而, 如果 -挠元, 也就是说, 对任意 , 微分形式 都是 -恰当形式, 那么, 对任意 都有 . 从而,其中 是 Thom 形式的积分值. 我们就重新得到了局部化公式 (12.6).