3. 乘积公式

上一节中, 我们提到了 Euler 类的乘积公式. 下面, 我们导出其它示性类的乘积公式, 这些公式给出了示性类与向量丛的直和、张量积的关系.

Whitney 乘积公式

定义 3.1. 设 $E\to B$ 是 $\mathbb{K}$-向量丛, $R$ 是 $\mathbb{K}$-可定向环. 当 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 时, 我们分别定义$$\begin{array}{rl}w(E)& =1+w_1(E)+w_2(E)+\cdots \\ c(E)& =1+c_1(E)+c_2(E)+\cdots \\ p(E)& =1+p_1(E)+p_2(E)+\cdots \end{array}\}\in H^{\bullet }(B;R)$$为 $E$ 的全 Stiefel–Whitney 类、全陈类和全 Понтрягин 类. 注意, 这里的求和是有限的.

定理 3.2 (Whitney 乘积公式). 如果 $E_1,E_2$ 是 $B$ 上的两个 $\mathbb{K}$-向量丛, 那么当 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 时, 分别有$$\begin{array}{rl}w(E_1\oplus E_2)& =w(E_1)w(E_2),\\ c(E_1\oplus E_2)& =c(E_1)c(E_2),\\ p(E_1\oplus E_2)& =p(E_1)p(E_2).\end{array}$$

证明. 先证明 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 的情况. 记 $n_1,n_2$ 分别为 $E_1,E_2$ 的秩, 记 $N=n_1+n_2$.

固定 $n$, 我们对 $N$ 归纳证明 $w_n$ 满足公式. 当 $N=n$ 时, 有$$w_n(E_1\oplus E_2)=e(E_1\oplus E_2)=e(E_1)e(E_2)=w_{n_1}(E_1)w_{n_2}(E_2).$$当 $N>n$ 时, 假设公式对 $<N$ 的维数都成立. 注意到 $E_1\oplus E_2$ 的分类映射是$$B\stackrel{E_1,E_2}{\to }\mathrm{B}\mathrm{O}(n_1)\times \mathrm{B}\mathrm{O}(n_2)\stackrel{\mu }{⟶}\mathrm{B}\mathrm{O}(n_1+n_2),$$其中 $\mu$ 是$$\oplus :\mathrm{O}(n_1)\times \mathrm{O}(n_2)\hookrightarrow \mathrm{O}(n_1+n_2)$$诱导的映射, 也是向量丛 $\mathrm{E}\mathrm{O}(n_1)\times \mathrm{E}\mathrm{O}(n_2)$ 的分类映射. 考虑投影映射$${\mathrm{pr}}_k:H^n(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_1)\times \mathrm{B}\mathrm{O}(n_2))⟶H^k(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_1))\otimes H^{n-k}(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_2)).$$我们只需证明 ${\mathrm{pr}}_k({\mu }^{\ast }(w_n))=w_k\otimes w_{n-k}$. 此时要么 $k<n_1$, 要么 $n-k<n_2$. 不妨设 $k<n_1$. 我们有交换图$$H^n(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_1+n_2))H^n(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_1)\times \mathrm{B}\mathrm{O}(n_2))H^k(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_1))\otimes H^{n-k}(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_2))H^n(\mathrm{B}\mathrm{O}(k+n_2))H^n(\mathrm{B}\mathrm{O}(k)\times \mathrm{B}\mathrm{O}(n_2))H^k(\mathrm{B}\mathrm{O}(k))\otimes H^{n-k}(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_2))\text{ .}{i}^{\ast }{\mu }^{\ast }{\mathrm{pr}}_k{i}^{\ast }\otimes 1\simeq {\mu }^{\ast }{\mathrm{pr}}_k$$因为最右边的竖箭头是同构, 只需验证 $w_n\in H^n(\mathrm{B}\mathrm{O}(n_1+n_2))$ 沿着下面三个箭头走会得到 $w_k\otimes w_{n-k}$. 但这是由于 $i^{\ast }{w}_n=w_n$ 和归纳假设.

$\square$

例 3.3. 对球面 $S^n$ 的切丛 $T{S}^n$, 有$$w(T{S}^n)=1,$$因为如果把 $S^n$ 嵌入 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中, 就能看出 $T{S}^n\oplus \mathbb{R}\simeq {\mathbb{R}}^{n+1}$, 这里 $\mathbb{R}$ 和 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 表示平凡丛.

下面的结论说明, 示性类刻画了向量丛的扭曲程度.

命题 3.4. 设 $E\to B$ 是 ${\mathbb{K}}^n$-丛. 如果它有 $k$ 个 $\mathbb{K}$-线性无关的截面, 那么当 $i>n-k$ 时, 相应的示性类 $w_i(E)$, $c_i(E)$ 或 $p_i(E)$ 等于零.

$\square$

习题 3.5. 当 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 时, 记 $G(n)=\mathrm{O}(n),\mathrm{U}(n),\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$. 对 $0\le k\le n$, 记$$i:\mathrm{B}G(k)\to \mathrm{B}G(n)$$为含入映射 $G(k)\hookrightarrow G(n)$ 诱导的映射. 设 $1\le j\le k$. 则当 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 时, 分别有$$i^{\ast }{w}_j=w_j,i^{\ast }{c}_j=c_j,i^{\ast }{p}_j=p_j.$$

实向量丛的 Понтрягин 类

到目前为止, 我们已经知道了复向量丛和四元数向量丛的所有示性类. 但对实向量丛而言, 我们只在系数环是特征 $2$ 时解决了这个问题. 对于一般系数的环, 我们下面定义一种新的示性类, 即 Понтрягин 类. (注意, 这和四元数向量丛的 Понтрягин 类是不同的.)

定义 3.6. 在 (1.6) 的意义下, 我们定义两种向量丛的操作.

•	对实向量丛 $E$, 我们可以定义 $E$ 的复化, 即复向量丛 $E\otimes \mathbb{C}$.
•	对复向量丛 $E$, 我们可以定义 $E$ 的复共轭, 即复向量丛 $\overline{E}$.

引理 3.7. 设 $E$ 是复向量丛. 则对任意正整数 $i$, 有$$c_i(\overline{E})=(-1{)}^i{c}_i(E).$$

证明. 我们只需对万有复向量丛, 记为 $E(n)\to \mathrm{B}\mathrm{U}(n)$, 证明这一等式. 因为 ${\mathbb{C}}^n$ 的定向在取共轭之后变成原来的 $(-1{)}^n$ 倍, 所以由 (2.21), $$c_n\left(\overline{E(n)}\right)=e\left(\overline{E(n)}\right)=(-1{)}^{n}e(E(n))=(-1{)}^n{c}_n(E(n)).$$对 $1\le k\le n$, 记 $i:\mathrm{B}\mathrm{U}(k)\to \mathrm{B}\mathrm{U}(n)$ 为映射 $\mathrm{U}(k)\hookrightarrow \mathrm{U}(n)$ 诱导的映射. 则$$i^{\ast }{c}_k\left(\overline{E(n)}\right)=c_k\left(\overline{E(k)}\right)=(-1{)}^k{c}_k(E(k))=(-1{)}^k{i}^{\ast }{c}_k(E(n)).$$而我们对 Graßmann 流形的上同调的计算结果表明, $i^{\ast }:H^{2k}(\mathrm{B}\mathrm{U}(n))\to H^{2k}(\mathrm{B}\mathrm{U}(k))$ 是同构. 这就得到了要证的等式.

$\square$

对于实向量丛 $E$, 有自然的复向量丛的同构$$E\otimes \mathbb{C}\simeq \overline{E\otimes \mathbb{C}}.$$这个同构由 $x+\mathrm{i}y\mapsto x-\mathrm{i}y$ 给出. 由引理, 这说明当 $i$ 是奇数时,$$2c_i(E\otimes \mathbb{C})=0.$$当系数环非特征 $2$ 时, 这些陈类一定为 $0$, 而偶数陈类能给出有用的信息.

定义 3.8. 设 $E\to B$ 是实向量丛. 定义 $E$ 的第 $i$ 个 Понтрягин 类为$$p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})\in H^{4i}(B).$$定义 $p(E)=1+p_1(E)+p_2(E)+\cdots$ 为 $E$ 的全 Понтрягин 类.

这里, 加入系数 $(-1{)}^i$ 没有什么深刻的原因, 也不会影响下一个结论, 只是为了和公认的定义相符, 并使得下面的公式 (3.11) 不带符号.

定理 3.9 (Whitney 乘积公式). 如果 $E_1,E_2$ 是 $B$ 上的两个实向量丛, 且系数环 $R$ 中 $2$ 不是零因子. 那么$$p(E_1\oplus E_2)=p(E_1)p(E_2).$$$\square$

定理的证明非常简单, 留给读者完成.

例 3.10. 与之前同理, 当 $R$ 非特征 $2$ 时, 我们有$$p(T{S}^n)=1.$$

与之前提到的示性类类似, 最高阶的 Понтрягин 类也与 Euler 类有关.

定理 3.11. 设 $E$ 是可定向的 ${\mathbb{R}}^{2n}$-丛. 则$$p_n(E)=e(E{)}^2.$$

证明. 由 (2.21), 我们有$$p_n(E)=(-1{)}^n{c}_n(E\otimes \mathbb{C})=(-1{)}^{n}e(E\otimes \mathbb{C}).$$对任意带有定向的 $2n$ 维实向量空间 $V$, 同构$$V\otimes \mathbb{C}\simeq V\oplus \mathrm{i}V$$将定向变为原来的 $(-1{)}^n$ 倍, 因为若取 $V$ 的一组符合定向的有序基 $v_1,\dots ,v_{2n}$, 那么上述两个空间的定向分别由排序$$v_1,\mathrm{i}{v}_1,\dots ,v_{2n},\mathrm{i}{v}_{2n};v_1,\dots ,v_{2n},\mathrm{i}{v}_1,\dots ,\mathrm{i}{v}_{2n}$$确定. 这两个排序通过 $(2n)(2n-1)/2$ 次对换互相转换, 因此它们的定向相差 $(-1{)}^{(2n)(2n-1)/2}=(-1{)}^n$ 倍. 从而, $$p_n(E)=(-1{)}^{n}e(E\otimes \mathbb{C})=e(E\oplus E)=e(E{)}^2.$$$\square$

于是, 对非特征 $2$ 的情形, 我们可以给出可定向实向量丛的所有示性类.

定理 3.12. 设系数环 $R$ 中 $2$ 不是零因子. 则有分次环的同构$$\begin{array}{rl}{H}^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{O}(2n);R)& \simeq R[p_1,\dots ,p_{n-1},e],\\ H^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{O}(2n+1);R)& \simeq R[p_1,\dots ,p_n],\end{array}$$其中 $\mathrm{deg}{p}_i=4i,\mathrm{deg}e=2n,e^2=p_n$.

定理的证明方法和 (2.9) 的证明相同. 读者可以自己尝试, 也可以参见 [Coh06, §3.5.3].

分裂原理

为了研究示性类与向量丛的张量积的关系, 我们需要分裂原理的帮助. 分裂原理可以把一般的向量丛的问题简化为线丛的问题.

定理 3.13 (分裂原理). 设 $E\to B$ 是 ${\mathbb{K}}^n$-丛, 系数环 $R$ 是 $\mathbb{K}$-可定向的. 则存在拓扑空间 $Y$ 和映射 $f:Y\to B$, 使得拉回的向量丛 $f^{\ast }E\to Y$ 满足以下条件:

•	拉回的向量丛 $f^{\ast }E\to Y$ 分裂为 $n$ 个线丛 (即 ${\mathbb{K}}^1$-丛) 的直和: $$f^{\ast }E\simeq L_1\oplus \cdots \oplus L_n.$$
•	上同调的映射$$f^{\ast }:H^{\bullet }(B;R)\to H^{\bullet }(Y;R)$$是单射, 从而 $f^{\ast }E$ 的示性类满足的关系也被 $E$ 的示性类满足.

例如, 我们将证明对复线丛 $L_1,L_2$, 有 $c_1(L_1\otimes L_2)=c_1(L_1)+c_1(L_2)$. 从而, 对一般的复向量丛的张量积 $E_1\otimes E_2$, 我们就可以直接假设 $E_1,E_2$ 都是线丛的直和, 给出计算张量积的陈类的公式. 下一小节将讨论这个问题.

在证明分裂原理之前, 我们先叙述一个重要的步骤. 这个结论与 Thom 同构定理相似, 证明方法是相同的.

定理 3.14 (Leray–Hirsch). 设 $E\to B$ 是纤维为 $F$ 的纤维丛. 设有有限个元素$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\in H^{\bullet }(E;R),$$使得

•	这些元素限制在每个纤维 $F$ 上, 都自由地生成 $R$-模 $H^{\bullet }(F;R)$.

则这些元素也自由地生成 $H^{\bullet }(B;R)$-模 $H^{\bullet }(E;R)$. 换言之, $$H^{\bullet }(B;R)\underset{R}{\otimes }{H}^{\bullet }(F;R)\simeq H^{\bullet }(E;R).$$$\square$

下面, 我们通过一个直接的构造, 证明分裂原理.

定义 3.15. 设 $V$ 是 $n$ 维 $\mathbb{K}$-向量空间. $V$ 的一面旗 (flag) 是一列线性子空间$$0=V_0\subset V_1\subset \cdots \subset V_n=V,$$其中 $\dim V_i=i$. 空间 $V$ 的所有旗构成的空间记为 $\mathrm{Fl}(V)$, 称为旗流形 (flag manifold), 因为它有一个自然的流形结构.

如果 $V$ 带有一个 Euclid 或 Hermite 度量, 那么一面旗等价于一组互相正交的直线$${\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n\subset V,$$满足 $V_i=\mathrm{span}({\ell }_1,\dots ,{\ell }_i)$.

在 (1.6) 的意义下, 函子$$\mathrm{Fl}:\text{Vect}(n,\mathbb{K})\to \text{Top}$$可以把一个向量丛 $E$ 变成纤维为旗流形的纤维丛, 即旗丛 (flag bundle), 我们记为 $\mathrm{Fl}(E)$.

定理 3.13 的证明. 我们证明, 映射 $f:\mathrm{Fl}(E)\to B$ 满足定理的条件.

先证明 $f^{\ast }E$ 分裂成线丛的直和. 在 $E$ 上取一个 Euclid 或 Hermite 度量, 则旗可以由一组互相正交的直线给出. 我们有$$f^{\ast }E=\{(x,{\ell }_1,\dots ,{\ell }_n,v)\mid x\in B,v\in E_x,{\ell }_i\subset E_x\text{ 是互相正交的直线}\}.$$定义 $f^{\ast }E$ 的子线丛$$L_i=\{(x,{\ell }_1,\dots ,{\ell }_n,v)\mid v\in {\ell }_i\}\subset f^{\ast }E.$$则$$f^{\ast }E=L_1\oplus \cdots \oplus L_n.$$

再证明上同调的映射 $f^{\ast }:H^{\bullet }(B)\to H^{\bullet }(\mathrm{Fl}(E))$ 是单射. 我们有图表$$p_n^{\ast }\cdots p_1^{\ast }E\cdots p_2^{\ast }{p}_1^{\ast }E{p}_1^{\ast }EE{\mathrm{P}}^n(E)\cdots {\mathrm{P}}^2(E)\mathrm{P}(E)B\text{ ,}┌┌┌p{p}_2{p}_1$$其中每个 ${\mathrm{P}}^i(E)$ 定义为它右边的竖直映射代表的向量丛的射影化 (projectivisation), 也就是把纤维换成其射影空间得到的纤维丛. 容易验证, ${\mathrm{P}}^n(E)\simeq \mathrm{Fl}(E)$. 因此, 只需验证$$p_1^{\ast }:H^{\bullet }(B)\to H^{\bullet }(\mathrm{P}(E))$$是单射.

设 $x\in B$. 考虑纤维丛 $\mathrm{P}(E)\to B$ 的纤维 $\mathrm{P}(E_x)\simeq \mathbb{K}{\mathrm{P}}^{n-1}$. 则向量丛 $p_1^{\ast }E$ 限制在 $\mathrm{P}(E_x)$ 上, 实际上是 $\mathbb{K}{\mathrm{P}}^{n-1}$ 上的平凡丛 $\mathbb{K}{\mathrm{P}}^{n-1}\times {\mathbb{K}}^n$. 这个平凡丛有一个著名的子线丛, 叫做自言线丛 (tautological line bundle), 记作 $\mathcal{O}(-1)$, 定义为$$\mathcal{O}(-1)=\{(\ell ,x)\in \mathbb{K}{\mathrm{P}}^{n-1}\times {\mathbb{K}}^n\mid x\in \ell \}.$$记 $L$ 为 $p_1^{\ast }E$ 的子线丛, 它由每个 $\mathrm{P}(E_x)\simeq \mathbb{K}{\mathrm{P}}^{n-1}$ 上的自言线丛拼起来得到. 为记号方便, 我们记 $c_1(L)$ 为 $w_1(L)$, $c_1(L)$ 或 $p_1(L)$ 中合适的那一个. 考虑 $\mathrm{P}(E)$ 的上同调类$$1,c_1(L),c_1(L{)}^2,\dots ,c_1(L{)}^{n-1}.$$它们限制在每个 $\mathrm{P}(E_x)$ 上, 都自由地生成 $\mathrm{P}(E_x)\simeq \mathbb{K}{\mathrm{P}}^{n-1}$ 的上同调 (因为自言线丛是万有线丛的拉回, 细节留给读者). 由 Leray–Hirsch 定理 (3.14), $H^{\bullet }(\mathrm{P}(E))$ 是自由的 $H^{\bullet }(B)$-模, 而 $p_1^{\ast }$ 作为模同态, 把生成元 $1\in H^{\bullet }(B)$ 映到生成元之一 $1\in H^{\bullet }(\mathrm{P}(E))$. 这就说明 $p_1^{\ast }$ 是单射.

$\square$

分裂原理有一种更抽象的形式, 即下面的命题. 为方便叙述, 我们只叙述 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 的情况, 但其它情况也相同.

推论 3.16. 映射 $\oplus :\mathrm{B}\mathrm{U}(1{)}^n\to \mathrm{B}\mathrm{U}(n)$ 诱导了单射$$H^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{U}(n))\hookrightarrow H^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{U}(1){)}^{\otimes n}\simeq R[c_1^{(1)},\dots ,c_1^{(n)}],$$其像是所有对称多项式构成的子环.

$\square$

这个推论的含义是, 如果要研究 $n$ 维向量丛的示性类, 即 $H^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{U}(n))$ 的上同调类, 我们可以不妨将它视为 $n$ 个线丛的直和, 然后用 Whitney 乘积公式计算出这个直和的示性类, 即 $H^{\bullet }(\mathrm{B}\mathrm{U}(1){)}^{\otimes n}$ 的元素.

陈特征

我们知道, 全陈类对向量丛的直和有积性. 通过这个性质, 我们可以构造出一种新的示性类, 叫做陈特征, 它对向量丛的直和有加性, 对张量积有积性.

在这一小节中, 设 $R$ 是一个包含 $\mathbb{Q}$ 的环.

定义 3.17. 设 $E\to B$ 是复向量丛, 它是 $n$ 个线丛的直和: $E\simeq L_1\oplus \cdots \oplus L_n$. 我们定义 $E$ 的陈特征为$$\mathrm{ch}E={\mathrm{e}}^{c_1(L_1)}+\cdots +{\mathrm{e}}^{c_1(L_n)}\in H^{2\bullet }(B)=\prod _{k=0}^{\infty }{H}^{2k}(B),$$这里指数的含义是形式幂级数.

对一般的复向量丛 $E\to B$, 我们通过分裂原理定义其陈特征. 事实上, 由 (3.16), 上面的表达式可以写成 $E$ 的陈类的形式幂级数. 当然, 我们也可以具体地写下来: $$\mathrm{ch}E=n+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k!}\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & & c_1\\ c_1& 1& 0& \cdots & 2c_2\\ c_2& c_1& 1& & 3c_3\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ c_{k-1}& \cdots & c_2& c_1& k{c}_k\end{array}\right|,$$这里 $c_i$ 代表 $c_i(E)$.

定理 3.18. 设 $E_1,E_2$ 是空间 $B$ 上的两个复向量丛. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{ch}(E_1\oplus E_2)& =\mathrm{ch}{E}_1+\mathrm{ch}{E}_2,\\ \mathrm{ch}(E_1\otimes E_2)& =\mathrm{ch}{E}_1\cdot \mathrm{ch}{E}_2.\end{array}$$

证明. 不妨假设两个向量丛都分裂成线丛的直和. 则第一个等式是显然的. 要证明第二个等式, 我们只需对线丛 $L_1,L_2$ 证明$$c_1(L_1\otimes L_2)=c_1(L_1)+c_1(L_2).$$事实上, 只需对万有线丛 $\mathrm{E}\mathrm{U}(1)\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^{\infty }$ 证明结论. 而包含映射 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1\hookrightarrow \mathbb{C}{\mathrm{P}}^{\infty }$ 诱导了上同调 $H^2$ 的单射, 因此, 只需证明 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 上的自言丛 $\mathcal{O}(-1)$ 满足$$c_1(\mathcal{O}(-2))=2c_1(\mathcal{O}(-1)),$$其中 $\mathcal{O}(-2)=\mathcal{O}(-1{)}^{\otimes 2}$.

剩下的工作就是计算这两个线丛的陈类. 但是, 我们还没有准备好计算的工具, 即陈–Weil 理论. 在§5 的理论框架下, 这一命题几乎是显然的. 因此, 我们把证明推迟到§5.

$\square$

注 3.19. 对实向量丛和四元数向量丛而言, 通过对应的 Понтрягин 类, 可以定义 Понтрягин 特征, 这种特征也有加性和乘性.

对于 Stiefel–Whitney 类而言, 相应的特征无法定义, 因为系数环为特征 $2$ 时, 指数映射 (作为形式幂级数) 无法定义.

注 3.20. 之所以把自言线丛叫做 $\mathcal{O}(-1)$ 而不是 $\mathcal{O}(1)$, 是因为前者的第一陈类是负的. 我们将在§5 中证明这一点.

$K$-理论

陈特征的加性和乘性启发我们, 可以将映射 $\mathrm{ch}$ 看成一个 “环同态”$$\mathrm{ch}:(B\text{ 上的向量丛},\oplus ,\otimes )\to (H^{2\bullet }(B),+,\cdot ).$$这一想法可以在 $K$-理论的框架里实现. 事实上, 在合适的假设下, 这一映射是一个 “环同构”.

定义 3.21. 设 $A$ 是一个 Abel 半群 (带有交换、结合乘法的集合, 不一定有单位元和逆元). 它的群化 (groupification) 是 Abel 群$$G(A)=\frac{{⨁}_{a\in A}\mathbb{Z}\cdot [a]}{[a+b]\sim [a]+[b]}.$$

例如 $G(\mathbb{N},+)\simeq (\mathbb{Z},+)$, 又例如 $G(\mathbb{Z}\setminus \{0\},\times )\simeq (\mathbb{Q}\setminus \{0\},\times )$.

定义 3.22. 设 $X$ 是拓扑空间. 我们定义$$K(X)=G({\mathrm{Bund}}_{\text{Vect}(\mathbb{C})}(X),\oplus ).$$向量丛的张量积诱导了 $K(X)$ 上的乘法结构, 使它成为一个交换环, 其乘法单位元是平凡丛 $X\times \mathbb{C}$. 函子 $K:{\text{Top}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to \text{Ring}$ 称为 $K$-理论.

例如, 在 $K(S^n)$ 中, 切丛 $T{S}^n$ 和平凡丛 $S^n\times {\mathbb{R}}^n$ 是同一个元素, 因为它们与平凡丛 $S^n\times \mathbb{R}$ 的直和是同构的.

现在, 陈特征$$\mathrm{ch}:K(X)\to H^{2\bullet }(X)$$就是一个严格意义下的环同态了.

注 3.23. 类似地, 我们可以考虑实向量丛或四元数向量丛, 得到的函子分别称为 KO 理论和 KSp 理论.

注 3.24. 将函子 $K$ 称为 “理论” 的原因是, 它是一个广义上同调理论. 也就是说, 它是系数环为谱环 (而不是普通的环) 的上同调理论. 在广义上同调理论中, 也有示性类的理论, 参见 [Swi75, 16.27 之后].

定理 3.25. 设 $X$ 是紧空间. 则有集合的自然同构$$K(X)\simeq [X,\mathrm{B}\mathrm{U}\times \mathbb{Z}],$$其中 $\mathrm{U}=\mathrm{colim}\mathrm{U}(n)$, 记号 $[,]$ 表示映射的同伦类的集合.

见 [Kar78, 定理 II.1.33].

关于 $K$-理论最著名的定理是 Bott 周期律. 上一个结论帮助我们叙述这个大定理.

定理 3.26 (Bott 周期律). 我们有$$\begin{array}{rl}\Omega (\mathrm{B}\mathrm{U}\times \mathbb{Z})& \simeq \mathrm{U},\\ \Omega \mathrm{U}& \simeq \mathrm{B}\mathrm{U}\times \mathbb{Z}.\end{array}$$作为推论, 对任何紧空间 $X$, 我们有$$K({\Sigma }^{2}X)\simeq K(X).$$

见 [Hat17, 定理 2.11].

注 3.27. 对于实数和四元数的情况, 也有 Bott 周期律, 但需要作用 8 次 $\Omega$ (而不是 2 次) 才能回到原来的空间.

注 3.28. 对于紧空间 $X$, 映射$$\otimes (H-1):K(X)\to K({\Sigma }^{2}X)$$是同构, 其中 ${\Sigma }^{2}X$ 等同于 $X\wedge S^2$, 而 $H$ 表示 $S^2\simeq \mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 的线丛 $\mathcal{O}(1)$, 这里 $\otimes$ 就表示向量丛的张量积. 这个结论是 Bott 周期律的另一形式, 我们在这里就不证明它了.

推论 3.29. 我们可以计算出球面的 $K$-理论: $$\begin{array}{rl}K(S^{2n})& \simeq \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z},\\ K(S^{2n+1})& \simeq \mathbb{Z}.\end{array}$$

证明. 显然, $K(S^0)\simeq \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$. 利用 Bott 周期律就得到第一个同构.

因为 ${\pi }_1(\mathrm{B}\mathrm{U})\simeq {\pi }_0(\mathrm{U})\simeq 0$, 所以由 (3.25), 得到 $K(S^1)\simeq \mathbb{Z}$. 利用 Bott 周期律就得到第二个同构.

$\square$

定理 3.30. 设 $X$ 是紧 CW 复形. 则有环同构$$\mathrm{ch}:K(X)\underset{\mathbb{Z}}{\otimes }\mathbb{Q}\simeq H^{2\bullet }(X;\mathbb{Q}).$$

证明. 我们对胞腔的个数归纳. 当胞腔个数是 $0$ 或 $1$ 时, 命题是显然的. 胞腔个数是 $2$ 时, (3.29) 说明结论正确.

设 $X=A{\bigsqcup }_{S^{n-1}}{D}^n$, 其中 $A$ 比 $X$ 胞腔个数少, 但至少有 $2$ 个胞腔. 我们有 Puppe 正合列$$A\to X\to X/A\to \Sigma A\to \Sigma X\to \Sigma X/\Sigma A\to {\Sigma }^{2}A\to \cdots .$$由 $K$-理论的可表性 (3.25) 和上同调函子 $H^{\bullet }$ 的可表性, 序列的第三项至第七项诱导了两个长正合列的图表$$\cdots K({\Sigma }^{2}A)\otimes \mathbb{Q}K(\Sigma X/\Sigma A)\otimes \mathbb{Q}K(\Sigma X)\otimes \mathbb{Q}K(\Sigma A)\otimes \mathbb{Q}K(X/A)\otimes \mathbb{Q}\cdots \cdots H^{2\bullet }({\Sigma }^{2}A;\mathbb{Q})H^{2\bullet }(\Sigma X/\Sigma A;\mathbb{Q})H^{2\bullet }(\Sigma X;\mathbb{Q})H^{2\bullet }(\Sigma A;\mathbb{Q})H^{2\bullet }(X/A;\mathbb{Q})\cdots \text{.}\mathrm{ch}\simeq \mathrm{ch}\simeq \mathrm{ch}\mathrm{ch}\simeq \mathrm{ch}\simeq$$注意到 $\Sigma X$ 和 $X$ 胞腔个数相同, 而另外四个空间的胞腔个数都更少. 由五引理, 知要证的结论对 $\Sigma X$ 成立. 同样的论述表明, 结论对 ${\Sigma }^{2}X$ 成立. 由 Bott 周期律, 结论对 $X$ 成立.

$\square$

这一定理告诉我们, 在合适的假设下, $K$-理论给出的信息和陈类是一样的. 具体地说, 两个向量丛的所有陈类相等, 当且仅当它们在 $K(X)\otimes \mathbb{Q}$ 中相同. 例如, 两种理论都无法区分球面的切丛和平凡丛.