2. Weierstraß 方程和代数群结构

这一节的主要目标是证明 ${\mathbb{P}}^2$ 里亏格为 $1$ 的曲线都有$$Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}Y{Z}^2=X^3+a_2{X}^{2}Z+a_{4}X{Z}^2+a_6{Z}^3$$的形式, 其中 $a_i\in \bar{K}$. 使用仿射坐标 $x=X/Z$ 和 $y=Y/Z$, 得到方程$$E:y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6,$$但要记住在无穷远处有特殊点 $O=[0,1,0]$. 同样若有 $a_i\in K$ 均成立, 则称 $E$ 是 $K$ 上的曲线. 然后, 会利用椭圆曲线的 $0$ 次 Picard 群给出其上的群结构, 并证明这实际上是代数群.

2.1基本性质

上述三次方程决定了光滑曲线, 则称其为椭圆曲线; 若有奇点, 奇点有两类, 尖点和结点. 我们令 $f(x,y)=y^2+a_{1}xy+a_{3}y-x^3-a_2{x}^2-a_{4}x-a_6$, 假设 $P=(x_0,y_0)$ 满足$$\frac{\partial f}{\partial x}(P)=\frac{\partial f}{\partial y}(P)=0.$$知存在 $\alpha ,\beta \in \bar{K}$ 使得在 $P$ 处有 Taylor 展开$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=((y-y_0)-\alpha (x-x_0))((y-y_0)-\beta (x-x-0))-(x-x_0{)}^3.$$

定义 2.1.1. 若 $\alpha \ne \beta$, 则奇点 $P$ 称为结点; 若 $\alpha =\beta$, 则奇点 $P$ 称为尖点.

对于是否有奇点, 或是什么种类, 可以完全从 Weierstraß 方程的判别式和 $x$ 项系数 (化为最简后) 看出. 如果 $\mathrm{char}(\bar{K})\ne 2$, 通过代换 $y\mapsto \frac{1}{2}(y-a_{1}x-a_3)$ 得到新的方程$$E:y^2=4x^3+b_2{x}^2+2b_{4}x+b_6,$$其中 $b_2=a_1^2+4a_2$, $b_4=2a_4+a_1{a}_3$, $b_6=a_3^2+4a_6$ 以及 $b_8=a_1^2{a}_6+4a_2{a}_6-a_1{a}_3{a}_4+a_2{a}_3^2-a_4^2$. 定义判别式和 $j$-不变量, 分别为$$\Delta =-b_2^2{b}_8-8b_4^3-27b_6^2+9b_2{b}_4{b}_6,j=\frac{c_4^3}{\Delta },$$其中 $c_4=b_2^2-24b_4$.

命题 2.1.2. 对于给定 Weierstraß 方程, 我们有

(1)	$f(x,y)=0$ 光滑当且仅当 $\Delta \ne 0$.
(2)	$f(x,y)=0$ 有结点当且仅当 $\Delta =0$ 且 $c_4\ne 0$.
(3)	$f(x,y)=0$ 有尖点当且仅当 $\Delta =c_4=0$.

证明. 首先注意到无穷远点 $O$ 一定非奇异. 因为 $f(x,y)$ 对应的齐次方程$$F(X,Y,Z)=Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}Y{Z}^2-X^3-a_2{X}^{2}Z-a_{4}X{Z}^2-a_6{Z}^3,$$在点 $O=[0,1,0]$ 满足 $\frac{\partial F}{\partial Z}(O)=1\ne 0$.

现在假设 $E$ 在 $P=(x_0,y_0)$ 处奇异, 通过变量代换, 不妨设 $P=(0,0)$. 则有$$a_6=f(0,0)=0,a_4=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,a_3=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.$$从而 $E:f(x,y)=y^2+a_{1}xy-a_2{x}^2-x^3=0$, 系数 $c_4=(a_1^2+4a_2{)}^2$ 且判别式 $\Delta =0$. 有定义 $P$ 是结点还是奇点取决于 $y^2+a_{1}xy-a_2{x}^2$ 分解出来的一次因式是否相同, 即 $a_1^2+4a_2$ 是否为 $0$.

最后只需证明 $\Delta \ne 0$ 当且仅当 $E$ 没有奇点. 因为 $P$ 是 $E$ 的奇点当且仅当$$2y_0=12x_0^2+2b_2{x}_0+2b_4=0,4x^3+b_2{x}^2+2b_{4}x+b_6=0$$有公共解. 这事实上说 $f(x,0)$ 和 $f_x(x,0)$ 的结式 $\frac{1}{16}\Delta \ne 0$.

$\square$

注 2.1.3. 方程 $y^2=x^3+Ax+B$ 的判别式为 $\Delta =-16(4A^3+27B^2)=(-4A{)}^3-27(4B{)}^2$, 实际是方程 $4x^3+4Ax+4B$ 的通常判别式. MSE 上说, 原因是模判别式的计算$$\Delta (\tau )=(g_2(\tau ){)}^3-27g_3(\tau {)}^2,$$其中 ${\wp }^{\prime }(z{)}^2=4\wp (z{)}^3-g_2(\tau )\wp (z)-g_3(\tau )\wp (z)$. 同样的有 $j$ 函数$$j(\tau )=1728\frac{(g_2(\tau ){)}^3}{\Delta (\tau )},$$1728 的巧妙之处在于这个函数的展开中 $q^{-1}$ 项系数为 1.

令 $\omega =\frac{dx}{2y+a_{1}x+a_3}=\frac{dy}{3x^2+2a_{2}x+a_4-a_{1}y}$.

命题 2.1.4. $E$ 是椭圆曲线. 则关于 $E$ 的 Weierstraß 方程的不变微分是全纯且处处非零的.

证明. 由于 $P=(x_0,y_0)\in E$ 是非奇异点, 且$$\omega =\frac{d(x-x_0)}{f_y(x,y)}=-\frac{d(y-y_0)}{f_x(x,y)},$$知 $P$ 不是 $\omega$ 的极点. 考虑投影映射$$E⟶{\mathbb{P}}^1,[x,y,1]⟼[x,1],$$映射次数为 $2$. 注意到 ${\mathrm{ord}}_P(x-x_0)=e_{\varphi }(P)\le \mathrm{deg}\varphi =2$, 等号成立当且仅当 $f(x_0,y)$ 有二重根. 因此有$${\mathrm{ord}}_P(\omega )={\mathrm{ord}}_P(x-x_0)-{\mathrm{ord}}_P(f_y(x,y))-1=0.$$下面只需考虑在无穷远点 $O=[0,1,0]$ 的情况. 假设 $t$ 是 $O$ 点的素元, 由 ${\mathrm{ord}}_O(x)=-2$ 和 ${\mathrm{ord}}_O(y)=-3$. 从而有函数 $g,h$ 满足不取 $0,\infty$ 使得 $x=t^{-2}g$ 以及 $y=t^{-3}h$. 这有$$\omega =\frac{dx}{f_y(x,y)}=\frac{-2t^{-3}g+t^{-2}{g}^{\prime }}{2t^{-3}h+a_1{t}^{-2}g+a_3}dt=\frac{-2g+t{g}^{\prime }}{2h+a_{1}tg+a_3{t}^3}dt,$$其中 $g^{\prime }:=dg/dt$. 由 $g$ 在点 $O$ 正则知 $g^{\prime }$ 在点 $O$ 正则, 因此有 $\omega$ 处处非零且全纯 ($\mathrm{char}K\ne 2$).

$\square$

当曲线有奇异点时, 处理稍显不同.

某些时候 Weierstraß 方程的另一形式, 即 Legendre 形式, 处理更为方便. 具体地, 方程可以写为 $y^2=x(x-1)(x-\lambda )$.

命题 2.1.5. 假设 $\mathrm{char}(K)\ne 2$, 则有

(1)	对 $\bar{K}$ 上的椭圆曲线, 存在 $\lambda \in \bar{K}$ 且不等于 $0,1$ 使得$$E_{\lambda }:y^2=x(x-1)(x-\lambda )$$与其同构.
(2)	$E_{\lambda }$ 的 $j$ 不变量是$$j(E_{\lambda })=2^8\frac{({\lambda }^2-\lambda +1{)}^3}{{\lambda }^2(\lambda -1{)}^2}.$$
(3)	$\mathrm{char}(K)\ne 3$, 映射 $\bar{K}-\{0,1\}\to \bar{K},\lambda \mapsto j(E_{\lambda })$ 是六对一的满射, 除去 $j=0$ 和 $j=1728$ 的原像个数分别为 $2$ 和 $3$.

证明. (1): 在代数闭域上, 可把椭圆曲线化成方程 $y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$, 满足 $e_i\in \bar{K}$ 且互不相同. 考虑代换 $x=(e_2-e_1)x^{\prime }+e_1$ 和 $y=(e_2-e_1{)}^{3/2}{y}^{\prime }$, 可以得到 Legendre 形式其中$$\lambda =\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}\in \bar{K},\lambda \ne 0,1.$$

(2): 首先计算判别式为 $\Delta =16{\lambda }^2(\lambda -1{)}^2$. 由于 $b_2=-4(\lambda +1)$, $b_4=2\lambda$, 因此 $c_4^4=b_2^2-24b_4=16(\lambda +1{)}^2-48\lambda$. 从而$$j(E_{\lambda })=16^3\frac{({\lambda }^2-\lambda +1{)}^3}{16{\lambda }^2(\lambda -1{)}^2}.$$

$\square$

注 2.1.6. 事实上 $j(e^{2\pi i/3})=0$ 以及 $j(i)=1728$. 而 $e^{2\pi i/3}$ 和 $i$ 恰好是 ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ 作用在 $\mathbb{H}$ 上有非平凡稳定子群的点.

2.2Weierstraß 方程

定义 2.2.1. 椭圆曲线是偶对 $(E,O)$, 其中 $E$ 是亏格 1 光滑射影曲线, $O\in E$ 是无穷远点. 若 $O\in K$, 称 $E$ 定义在 $K$ 上记作 $E/K$.

命题 2.2.2. $E/K$ 是椭圆曲线, 则有

(a)	存在函数 $x,y\in K(E)$, 使得映射$$\varphi :E\to {\mathbb{P}}^2,\varphi =[x,y,1]$$给出 $E/K$ 和曲线$$C:Y^2+a_{1}XY+a_{3}Y=X^3+a_2{X}^2+a_{4}X+a_6$$的同构. 其中 $a_i\in K$ 且 $\varphi (O)=[0,1,0]$, $x,y$ 叫做 $E$ 的 Weierstraß 坐标.

证明. (a) $E$ 亏格 1, 利用 Riemann–Roch 定理知 $\ell (n\cdot O)=n$ 对任意 $n\ge 1$. 因此可令 $\{1,x\}$ 是 $\mathcal{L}(2\cdot O)$ 的一组基, $\{1,x,y\}$ 是 $\mathcal{L}(3\cdot O)$ 的一组基. 我们有 $x,y$ 在 $O$ 的极点阶数恰好为 $2,3$. 考虑 $\mathcal{L}(6\cdot O)=6$, 但一定包含$$1,x,y,x^2,xy,y^2,x^3.$$因此有线性关系$$A_1+A_{2}x+A_{3}y+A_4{x}^2+A_{5}xy+A_6{y}^2+A_7{x}^3=0.$$注意到若 $A_6{A}_7=0$, 会有其余系数全为 $0$ (考虑在 $O$ 的阶数). 从而 $A_6{A}_7\ne 0$, 可以做变量代换 $x\mapsto -A_6{A}_{7}x$ 及 $y\mapsto A_6{A}_7^{2}y$, 方程化为 Weierstraß 方程. 由于 $E$ 光滑, 知映射 $\varphi$ 是态射, 且 $\varphi (O)=[0,1,0]$.

下面要证明 $\varphi :E\to C\subset {\mathbb{P}}^2$ 的次数为 1, 或者说 $K(E)=K(x,y)$.

$\square$

2.3群结构

我们先给出群结构最经典的描述. 假设 $E$ 是由 Weierstraß 方程给出的椭圆曲线, 且包含无穷远点 $O=[0,1,0]$. 而 Bézout 定理告诉我们, 一条直线与 $E$ 在射影平面相较于三个点 (计重数), 可以从此定义群结构. 当然, 可以直接写出坐标公式而避免使用该定理.

定义 2.3.1. 对 $P,Q\in E$, 设 $R$ 是过 $P,Q$ 的直线与 $E$ 的第三个交点. 过 $R,O$ 的直线也与 $E$ 交于第三个点, 定义为 $P\oplus Q$.

命题 2.3.2. 坐标计算

而更加现代的处理方法是将椭圆曲线 $E$ 和其 $0$ 次 Picard 群联系, 从而得到 $E$ 上的群结构. 这样做的好处是可以研究此类群结构的 “函子性”.

注意到若曲线 $C$ 的亏格为 $1$, 则对任意 $P,Q\in C$, $P\sim Q$ 当且仅当 $P=Q$. 由定义, 存在 $f\in \bar{K}(C)$ 使得 $\mathrm{div}(f)=P-Q$, 因此 $f\in \mathcal{L}(Q)$. 由 Riemann–Roch 定理, 知 $\dim \mathcal{L}(Q)=1$, 但 $\mathcal{L}(Q)$ 中肯定包含常函数, 则有 $f\in \bar{K}$, 从而 $P=Q$.

命题 2.3.3. 设 $(E,O)$ 是椭圆曲线. 对任意 $D\in {\mathrm{Div}}^0(E)$, 存在唯一 $P\in E$ 满足$$D\sim P-O.$$因此可定义 $\phi :{\mathrm{Div}}^0(E)\to E,D\mapsto P$, 且有 $\phi$ 是满射.

证明. 注意到 $D+O$ 的次数大于等于 $1$, 由 Riemann–Roch 定理, 知 $\dim \mathcal{L}(D+O)=1$. 对非零 $f\in \bar{K}(E)$ 且 $f\in \mathcal{L}(D+O)$, 有 $f$ 是线性空间的基. 由于 $\mathrm{div}(f)\ge -D-O$ 且 $\mathrm{deg}\mathrm{div}(f)=0$, 存在 $P\in E$ 使得$$\mathrm{div}(f)=-D-O+P,⟹D\sim P-O.$$由前面的论述, 知 $P$ 是唯一的. 对于满射只需要注意到 $\phi (P-O)=P$.

$\square$

注意到有 $D-D^{\prime }\sim P-P^{\prime }$. 从而 $D=D^{\prime }\Rightarrow P\sim P^{\prime }\Rightarrow P=P^{\prime }$, 且 $P=P^{\prime }\Rightarrow D\sim D^{\prime }$. 从而 $\phi$ 诱导了双射 $\phi :{\mathrm{Pic}}^0(E)\to E$.

定理 2.3.4. 逆映射 ${\phi }^{-1}:E\to {\mathrm{Pic}}^0(E)$ 是群同构, 具体地, 将 $P$ 映到 $P-O$ 所在除子类.

证明. 设 $P,Q\in E$, 直线 $f(X,Y,Z)=\alpha X+\beta Y+\gamma z$ 是 ${\mathbb{P}}^2$ 中过 $P,Q$ 的直线. 令 $R$ 是第三个交点, 直线 $L^{\prime }:f^{\prime }(X,Y,Z)={\alpha }^{\prime }X+{\beta }^{\prime }Y+{\gamma }^{\prime }Z$ 经过点 $R$ 和 $O$. 由于 $Z=0$ 与 $E$ 交于无穷远点 $O$, 重数为 $3$, 我们有$$\mathrm{div}(\frac{f}{Z})=P+Q+R-3\cdot O,\mathrm{div}(\frac{f^{\prime }}{Z})=R+(P+Q)-2\cdot O.$$因此有$$(P+Q)-P-Q+O=\mathrm{div}(\frac{f^{\prime }}{f})\sim 0,$$从而 ${\phi }^{-1}(P+Q)={\phi }^{-1}(P)+{\phi }^{-1}(Q)$, 即为群同态.

$\square$

下面证明椭圆曲线是代数群.

2.4同源

定义 2.4.1. 设 $E_1,E_2$ 是椭圆曲线. $E_1$ 到 $E_2$ 的同源是态射 $\varphi :E_1\to E_2$ 满足 $\varphi (O)=O$. 若存在 $\varphi$ 满足 $\varphi (E_1)\ne O$, 称 $E_1$ 与 $E_2$ 同源.

由于曲线间的态射要么是常值映射要么是满射, 则有 $\varphi (E_1)=\{O\}$ 或是 $\varphi (E_1)=E_2$. 因此, 除了零同源 $[0](P)=O$, 其余都是曲线间的有限映射, 即 $\bar{K}(E_1)$ 是 ${\varphi }^{\ast }\bar{K}(E_2)$ 的有限扩张. 分别记 ${\mathrm{deg}}_s\varphi$ 和 ${\mathrm{deg}}_i\varphi$ 是可分和纯不可分次数. 方便起见, 令 $\mathrm{deg}[0]=0$, 这保证了对于一串同源$$E_1\stackrel{\varphi }{\to }{E}_2\stackrel{\psi }{\to }{E}_3,$$我们有 $\mathrm{deg}(\psi \circ \varphi )=\mathrm{deg}(\psi )\mathrm{deg}(\varphi )$. 由于椭圆曲线是 Abel 群, 有所有同源 $\mathrm{Hom}(E_1,E_2)$ 构成加法群. 若 $E=E_1=E_2$, 记 $\mathrm{End}(E)=\mathrm{Hom}(E,E)$, 其上由环结构, 称为 $E$ 的自同态环. 自同态环中的可逆元构成群 $\mathrm{Aut}(E)$, 称为自同构群. 若是 $K$ 上的椭圆曲线, 可以只考虑定义在 $K$ 上的同源, 从而可类似定义 ${\mathrm{Hom}}_K$, ${\mathrm{End}}_K$ 及 ${\mathrm{Aut}}_K$.

例 2.4.2. 对于 $m\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 可以定义同源 $[m]$, 满足$$[m]:E\to E,P\mapsto P+P+\cdots +P.$$对 $m<0$, 令 $[m](P)=[-m](-P)$. 最后, 定义 $[0](P)=O$.

定义 2.4.3. $E$ 是椭圆曲线, 整数 $m\ge 1$. $E$ 的 $m$-挠子群, 记作 $E[m]$ 是 $E$ 上的 $m$ 阶点$$E[m]=\{P\in E\mid [m]P=O\}.$$椭圆曲线的挠子群记作 $E_{\mathrm{tor}}$, 是 ${\cup }_{m}E[m]$.

注 2.4.4. 我们有自然嵌入 $[]:\mathbb{Z}\to \mathrm{End}(E)$, 在很多情况下这都是同构. 若这是严格嵌入, 称 $E$ 有复乘, 或者简称为 CM.

例如 $\mathrm{char}(K)\ne 2$ 时, 考虑曲线 $y^2=x^3-x$. 我们有$$[i]:(x,y)\mapsto (-x,iy)$$也是自同构. 并且注意到 $[i]\circ [i]=[-1]$, 从而有环同态$$\mathbb{Z}[i]\to \mathrm{End}(E),m+ni\mapsto [m]+[n]\circ [i].$$在 $\mathrm{char}(K)=0$ 时, 实际上有 $\mathbb{Z}[i]\simeq \mathrm{End}(E)$, 进而 $\mathrm{Aut}(E)=\{\pm 1,\pm i\}$

例 2.4.5. $E/K$ 是椭圆曲线, 取 $Q\in E$. 定义平移映射$${\tau }_Q:E\to E,P\mapsto P+Q.$$${\tau }_Q$ 明显是同构, 但是同源当且仅当 $Q=O$. 对于任意态射 $F:E_1\to E_2$, 有复合映射 $\varphi ={\tau }_{-F(O)}\circ F$ 一定是同源.

下面的定理将说明同源一定是群同态.

定理 2.4.6. 设 $\varphi :E_1\to E_2$ 是同源, 则对任意 $P,Q\in E_1$ 有 $\varphi (P+Q)=\varphi (P)+\varphi (Q)$.

证明. 我们有交换图

$\square$

推论 2.4.7. 若 $\phi$ 是非零同源, 则有 $\ker \varphi ={\varphi }^{-1}(O)$ 是有限群.

注 2.4.8. 如果考虑 $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线, 同源实际就是环面 $\mathbb{C}/\Lambda$ 间的非零解析群同态.

定理 2.4.9. 设 $\varphi :E_1\to E_2$ 是非零同源, 则有

(a)	对任意 $Q\in E_2$, 有 $\#{\varphi }^{-1}(Q)={\mathrm{deg}}_s\varphi$; 对任意 $P\in E_1$, 有 $e_{\varphi }(P)={\mathrm{deg}}_i\varphi$.
(b)	映射$$\ker \varphi \to \mathrm{Aut}(\bar{K}(E_1)/{\varphi }^{\ast }\bar{K}(E_2)),T\mapsto {\tau }_T^{\ast }$$是同构.
(c)	若 $\varphi$ 可分, 则 $\varphi$ 是非分歧映射. 从而有 $\#\ker \varphi =\mathrm{deg}\varphi$, 且 $\bar{K}(E_1)$ 是 ${\varphi }^{\ast }\bar{K}(E_2)$ 的 Galois 扩张.

证明. (a) 首先我们有 $\#{\varphi }^{-1}(Q)={\mathrm{deg}}_s\varphi$ 除去 $E_2$ 上有限多个点. 注意到对任意 $Q,Q^{\prime }\in E_2$, 则存在 $R\in E_1$ 使得 $\varphi (R)=Q-Q^{\prime }$, 因此有一一对应$${\varphi }^{-1}(Q)\to {\varphi }^{-1}(Q^{\prime }),P\mapsto P+R.$$从而有 $\#{\varphi }^{-1}(Q)={\mathrm{deg}}_s\varphi$ 恒成立. 由于对任意 $P,P^{\prime }\in E_1$ 满足 $\varphi (P)=Q=\varphi (P^{\prime })$, 都有 $e_{\varphi }(P)=e_{\varphi }(P^{\prime })$. 因此$$\begin{array}{rl}({\mathrm{deg}}_s\varphi )({\mathrm{deg}}_i\varphi )=\mathrm{deg}\varphi & =\sum _{P\in {\varphi }^{-1}(Q)}{e}_{\varphi }(P)\\ & =(\#{\varphi }^{-1}(Q))e_{\varphi }(P)\\ & =({\mathrm{deg}}_s\varphi )e_{\varphi }(P).\end{array}$$左右同时消掉 ${\mathrm{deg}}_s\varphi$, 即得结论.

(b) 对任意 $T\in \ker \varphi$ 及 $f\in \bar{K}(E_2)$ 有$${\tau }_T^{\ast }({\varphi }^{\ast }f)=(\varphi \circ {\tau }_T{)}^{\ast }f={\varphi }^{\ast }f.$$因此 ${\tau }_T^{\ast }$ 是 $\bar{K}(E_1)$ 得自同构, 且保持 ${\varphi }^{\ast }\bar{K}(E_2)$. 注意到 ${\tau }_S\circ {\tau }_T={\tau }_{S+T}={\tau }_T\circ {\tau }_S$, 因此 $T\mapsto {\tau }_T^{\ast }$ 是群同态. 由于$$\#\mathrm{Aut}(\bar{K}(E_1)/{\varphi }^{\ast }\bar{K}(E_2))\le {\mathrm{deg}}_s\varphi =\#\ker \varphi$$(事实上有 $\mathrm{Aut}(E/F)\le {\mathrm{deg}}_s$, 可以选取单生成元 $\alpha$, 有 $F$-同构 $F(\alpha )\to E$ 得个数小于等于可分次数). 只需证该同态是单射, 若 ${\tau }_T^{\ast }$ 是恒等映射, 考虑 $E_1$ 的坐标函数 $t$ 恰以 $O$ 为极点, 知 $T=O$.

(c) 若 $\varphi$ 可分, 由 (a) 知 $\varphi$ 非分歧. 从 $\ker \varphi ={\varphi }^{-1}(O)$ 得到 $\#\ker \varphi =\mathrm{deg}\varphi$, 进而利用 (b) 有$$\#\mathrm{Aut}(\bar{K}(E_1)/{\varphi }^{\ast }\bar{K}(E_2))=[\bar{K}(E_1):{\varphi }^{\ast }\bar{K}(E_2)].$$说明这一定是 Galois 扩张 (对于固定域一定是 Galois 扩张, 数次数).

$\square$

推论 2.4.10. 设 $\varphi :E_1\to E_2$ 和 $\psi :E_1\to E_3$ 是非零同源, 且 $\varphi$ 可分. 若 $\ker \varphi \subset \ker \psi$, 则有唯一同源$$\lambda :E_2\to E_3,$$使得 $\psi =\lambda \circ \varphi$.

证明. 由于 $\varphi$ 可分, 则有 $\bar{K}(E_1)/{\varphi }^{\ast }\bar{K}(E_2)$ 是 Galois 扩张.

$\square$

2.5对偶同源

定理 2.5.1. 设 $\varphi :E_1\to E_2$ 是 $m$ 次非零同源.

(a)	存在唯一同源 $\hat{\varphi }:E_2\to E_1$ 使得 $\hat{\varphi }\circ \varphi =[m]$.
(b)	作为群同态, $\hat{\varphi }$ 是如下同态的复合$$E_2\to {\mathrm{Div}}^0(E_2)\stackrel{{\varphi }^{\ast }}{\to }{\mathrm{Div}}^0(E_1)\stackrel{\mathrm{sum}}{\to }{E}_1.$$其中 $\mathrm{sum}$ 是群同态 $\sum n_P\cdot P\mapsto \sum [n_P]P$.

证明. (a): 先考虑 $\varphi$ 可分. 由于 $\mathrm{deg}\varphi =m$, 知 $\#\ker \varphi =m$. 从而有 $\#\ker \varphi \subset \ker [m]$, 由推论知存在$$\hat{\varphi }:E_2\to E_1,\hat{\varphi }\circ \varphi =[m].$$

(b): 对 $Q\in E_2$, 在群同态复合下的像为$$\begin{array}{rl}\mathrm{sum}({\varphi }^{\ast }(Q-O))& =\sum _{P\in {\varphi }^{-1}(Q)}[e_{\varphi }(P)]P-\sum _{T\in {\varphi }^{-1}(O)}[e_{\varphi }(T)]T\\ & =[{\mathrm{deg}}_i\varphi ](\sum _{P\in {\varphi }^{-1}(Q)}P-\sum _{T\in {\varphi }^{-1}(O)}T)\end{array}$$注意到, $\varphi ({\sum }_{P\in {\varphi }^{-1}(Q)}P)=[\#{\varphi }^{-1}](Q)$, 则若选取固定的 $P\in {\varphi }^{-1}(Q)$, 有$$\begin{array}{rl}\mathrm{sum}({\varphi }^{\ast }(Q-O))& =[{\mathrm{deg}}_i\varphi ]\circ [\#{\varphi }^{-1}(Q)]P\\ & =[\mathrm{deg}\varphi ]P.\end{array}$$而对于 $\hat{\varphi }$, 直接有 $\hat{\varphi }(Q)=\hat{\varphi }\circ \varphi (P)=[\mathrm{deg}\varphi ]P$.

$\square$

上述唯一存在的 $\hat{\varphi }$ 称为对偶同源. 若 $\varphi =[0]$, 我们规定 $\hat{\varphi }=[0]$.

命题 2.5.2. 设 $\varphi :E_1\to E_2$ 是同源, 则有

(a)	设 $m=\mathrm{deg}\varphi$, 则有 $\hat{\varphi }\circ \varphi =[m]\in \mathrm{End}(E_1)$ 且 $\varphi \circ \hat{\varphi }=[m]\in \mathrm{End}(E_2)$.
(b)	设 $\lambda :E_2\to E_3$ 是同源, 则有 $\widehat{\lambda \circ \varphi }=\hat{\varphi }\circ \hat{\lambda }$.
(c)	设 $\psi :E_1\to E_2$ 是同源, 则有 $\widehat{\varphi +\psi }=\hat{\varphi }+\hat{\psi }$.
(d)	对任意 $m\in \mathbb{Z}$, 有 $\widehat{[m]}=[m]$ 且 $\mathrm{deg}[m]=m^2$.
(e)	有 $\mathrm{deg}\hat{\varphi }=\mathrm{deg}\varphi$.
(f)	对偶同源的对偶是自身, 即 $\hat{\hat{\varphi }}=\varphi$.

证明. (a) 注意到 $(\varphi \circ \hat{\varphi })\circ \varphi \circ [m]=[m]\circ \varphi$. 由于 $\varphi$ 是满射, 知 $\varphi \circ \hat{\varphi }=[m]$.

(b) 令 $n=\mathrm{deg}\lambda$, 则有$$(\hat{\varphi }\circ \hat{\lambda })\circ (\lambda \circ \varphi )=\hat{\varphi }\circ [n]\circ \varphi =[n]\circ \hat{\varphi }\circ \varphi =[mn],$$其中第二个等号来自于同源是群同态. 由唯一性知 $\widehat{\lambda \circ \varphi }=\hat{\varphi }\circ \hat{\lambda }$.

(c) [Sil] 上给出了完整的证明. 我们在下一章使用 Weil 配对给出一个漂亮的证明.

(d) 由 (c) 及归纳法即得.

(e) 利用 (d) 和 (a) 有$$m^2=\mathrm{deg}[m]=\mathrm{deg}(\varphi \circ \hat{\varphi })=(\mathrm{deg}\varphi )(\mathrm{deg}\hat{\varphi })=m(\mathrm{deg}\hat{\varphi }).$$从而 $m=\mathrm{deg}\hat{\varphi }$.

(f) 我们有$$\hat{\varphi }\circ \varphi =[m]=\widehat{[m]}=\widehat{\hat{\varphi }\circ \varphi }=\hat{\varphi }\circ \hat{\hat{\varphi }}.$$

$\square$

命题 2.5.3. 对椭圆曲线 $E_1,E_2$, 有次数映射$$\mathrm{deg}:\mathrm{Hom}(E_1,E_2)\to \mathbb{Z}$$是正定二次型.

对于 Abel 群, 函数 $d:A\to \mathbb{R}$ 称为二次型若

$\diamond$	对任意 $\alpha \in A$, $d(\alpha )=d(-\alpha )$;
$\diamond$	$(\alpha ,\beta )\mapsto d(\alpha +\beta )-d(\alpha )-d(\beta )$ 是双线性型.

如果还满足

$\diamond$

对任意 $\alpha \in A$, 有 $d(\alpha )\ge 0$, 且等于零当且仅当 $\alpha =0$.

此时称 $d$ 为正定二次型.

证明. 只需证$$⟨\varphi ,\psi ⟩=\mathrm{deg}(\varphi +\psi )-\mathrm{deg}\varphi -\mathrm{deg}\psi$$双线性. 我们利用嵌入 $[]:\mathbb{Z}\to \mathrm{End}(E_1)$, 可直接计算$$\begin{array}{rl}[⟨\varphi ,\psi ⟩]& =[\mathrm{deg}(\varphi +\psi )]-[\mathrm{deg}(\varphi )]-[\mathrm{deg}(\psi )]\\ & =(\widehat{\varphi +\psi })\circ (\varphi +\psi )-\hat{\varphi }\circ \varphi -\hat{\psi }\circ \psi \\ & =\hat{\varphi }\circ \psi +\hat{\psi }\circ \varphi ,\end{array}$$这自然双线性.

$\square$

命题 2.5.4. $E$ 是椭圆曲线, $m\in \mathbb{Z}$ 是非零整数, 则有

(a)	$\mathrm{deg}[m]=m^2$;
(b)	若 $m\ne 0\in K$, 则有$$E[m]\simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}.$$
(c)	若 $\mathrm{char}(K)=p>0$, 则有$$E[p^e]\simeq 0\text{或}\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}.$$

2.6不变微分

不变微分 $\omega$ 的 “不变” 是说平移不变.

定理 2.6.1. ${\tau }_Q:E\to E,P\mapsto Q+P$ 是平移, 那么 ${\tau }_Q^{\ast }\omega =\omega$.

证明. 可以直接验证. 更加几何的方法是转化到 $\bar{K}$ 上, 利用 ${\Omega }_E$ 是 $1$ 维, 考量 $a_Q\in \bar{K}(E)$, 使 ${\tau }_Q^{\ast }\omega =a_Q\omega$. 计算除子$$\mathrm{div}(a_Q)=\mathrm{div}({\tau }_Q^{\ast }(\omega ))-\mathrm{div}(\omega )={\tau }_Q^{\ast }(\mathrm{div}(\omega ))-\mathrm{div}(\omega )=0$$因为 $\mathrm{div}(\omega )=0$. 所以 $a_Q$ 为常数, 即 $a_Q\in {\bar{K}}^{\ast }$. 变动 $Q$ 给出一个有理映射 (根据加法具体表述) $f:E\to {\mathbb{P}}^1,Q\mapsto [a_Q,1]$, 但 $a_Q\in {\bar{K}}^{\ast }$, 于是 $f$ 不满, 故 $f$ 为常数, 有 $a_Q=a_O=1$.

$\square$

不变微分可以将椭圆曲线看似复杂的加法简化为其上拉回后微分形式的加法. (这一点看起来应当有更加同调的解释)

定理 2.6.2. $f,g:E^{\prime }\to E$ 为同源, $E$ 上不变微分 $\omega$, 则 $(f+g{)}^{\ast }\omega =f^{\ast }\omega +g^{\ast }\omega$.

证明.

$\square$

命题 2.6.3. $E/{\mathbb{F}}_q$ 上椭圆曲线, $\varphi :E\to E$ 是 $q$-次 Frobenius 自同态 (因为 Frobenius 映射给出底域恒等映射), 对任意 $m,n\in \mathbb{Z}$, 有$$m+n\varphi :E\to E$$可分当且仅当 $p\nmid m$.