9. 旋子与沙群

约定. 在本文中,

• Galois 群作用常记为上标 $P^g$, 其含义同第 1 节. 特别回顾映射的 Galois 作用: $\varphi :C^{\prime }\to C$, ${\varphi }^g$ 是将多项式系数以 Galois 作用, 即 ${\varphi }^g(P^g)=\varphi (P{)}^g$. $\varphi$ 定义在 $K$ 上即与 $G_{K^{al}/K}$ 交换: $\varphi (P{)}^g=\varphi (P^g)$.

本节考虑的是弱 Mordell–Weil 群, 即 $E(K)/mE(K)$ 的计算. 上一节业已说明此为有限群, 此节再给出一种可以顺便计算的证明, 并且介绍神秘的沙群.

考虑同源 $\varphi :E\to E$, 带来正合列 $0\to E[\varphi ]\to E(K^{al})\to E(K^{al})\to 0$, 取 $G_{K^{al}/K}$ 的群上同调有: $$0\to E(K)[\varphi ]\to E(K)\to E(K)\to H^1(G_{K^{al}/K},E[\varphi ])\to H^1(G_{K^{al}/K},E(K^{al}))\to H^1(G_{K^{al}/K},E(K^{al}))$$为了方便, 接下来记 $G=G_{K^{al}/K}$, $H^1(G,E(K^{al}))=H^1(G,E)$. 于是有正合列:$$0\to E(K)/\varphi E(K)\to H^1(G,E[\varphi ])\to H^1(G,E)[\varphi ]\to 0$$(9.1)

9.1旋子与 $H^1$

我们可以几何上来理解 $H^1(G,E)$, 这对之后的计算有很大帮助. 首先根据上链描述, $u\in H^1(G,E)$ 是一个 $G$ 模映射 $u:G\to E$ 满足链条件, 这样的链条件实际上对应于一条曲线.

定义 9.1.1 (旋子, 或主齐性空间). $E/K$ 椭圆曲线, 旋子 $(C,\mu )$ 是一条光滑曲线 $C/K$ 及 $K$ 上曲线间态射 $\mu :C\times E\to C$, 满足

•	$\mu (p,O)=p,p\in C$
•	$\mu (\mu (p,P),Q)=\mu (p,P+Q),p\in C,P,Q\in E$
•	$p,q\in C$, 存在 $P\in E$, $\mu (p,P)=q$

运算 $\mu$ 相当于 $C$ 上点与 $E$ 做的加法, 通常简记为 $\mu (p,P)=p+P$. 条件 (3) 通常记为 $\mu :C\times E\to C\times C,(p,P)\mapsto (p,p+P)$ 为双射, 并且对 $\mu (p,P)=q$ 常记这个 $P$ 为 $q-p$.

旋子 $C,C^{\prime }$ 间的态射是曲线态射 $w:C\to C^{\prime }$, 与加法相容: $w(p+P)=w(p)+P$. 所有旋子商去同构类记为 $\mathrm{WC}(E/K)$, 我们将证明其有群结构.

立即看出 $C(K)$ 非空, 则 $C$ 为平凡类 (即同构于 $E$), 因为我们有加法 $p_0\in C$, 则 $E\simeq C,p\mapsto p_0+p$. 于是, 由 Hilbert 零点定理, 在 $K^{al}$ 上看旋子都是平凡的. 事实上, 一般的 $H^1(G_{K^{al}/K},\ast )$ 分类的正是那些基变换到 $K^{al}$ 上平凡, 自同构群 (不一定交换) 为 $\ast$ 的几何对象.

取旋子 $C$, $p_0\in C(K^{al})$, 那么 $g\in G$, 存在 $f(g)\in E$, $p_0^g=p_0+f(g)$. 我们可以验证 $f:G\to E(K^{al})$ 是一个叉同态, 即:$$f(gh)=f(g)+gf(h)$$此验证群作用的结合律即可.

定理 9.1.2. 上述 $f$ 给出良定双射 $\mathrm{WC}(E/K)\to H^1(G,E)$, $W\mapsto f$

证明. 如下引理总结了旋子的基本性质, 其证明留作练习.

引理 9.1.3. 我们约定 $p\in C$, $P\in E$.

•	取 $p_0\in C(K^{al})$, 则有 $K^{al}$ 上同构 $u:E\to C,P\mapsto P+p_0$, 满足 $p+P=u(u^{-1}(p)+P)$
•	$p-q=u^{-1}(p)-u^{-1}(q)$
•	$\theta :C\times C\to E,(p,q)\mapsto p-q$ 是 $K$ 上态射.
•	(旋子另一种刻画) 曲线 $C/K$ 有 $E$ 旋子结构, 且对应于 $\xi$, 等价于有 $K^{al}$ 同构 $\varphi :C\to E$, 且 ${\varphi }^g\circ {\varphi }^{-1}=-\xi (g)$.

我们简单说明一下 (3). $g\in G$, $$(p-q{)}^g=(u^{-1}(p)-u^{-1}(q){)}^g=u^{-1}(p{)}^g-u^{-1}(q{)}^g=(p_0+u^{-1}(p){)}^g-(p_0+u^{-1}(q){)}^g=q^g-p^g$$其中用到 $E$ 与 $E$ 作用于 $C$ 上加法都在 $K$ 上.

(4) 若为旋子, 前面已经说明 $K^{al}$ 上加法给出同构: $\varphi :C\to E,p\mapsto p-p_0$, 且$$\begin{gathered} {\varphi }^g\circ {\varphi }^{-1}(P)={\varphi }^g(P+p_0)=\varphi (P^{g^{-1}}+p_0^{g^{-1}}{)}^g \\ =(P^{g^{-1}}+p_0^{g^{-1}}-p_0{)}^g=P+p_0-p_0^g=P-\xi (g) \end{gathered}$$

反之, 令加法为 $\mu (p,P)={\varphi }^{-1}(\varphi (p)+P)$, 条件说的就是 $\mu$ 定义在 $K$ 上, 且容易验证 $p_0={\varphi }^{-1}(O)$, $p_0^g-p_0=\xi$.

回到定理, 良定义: 照常检验同构曲线的 $f$ 相差一个上边缘.

单射: 设 $f_C$ 与 $f_{C^{\prime }}$ 相差一个上边缘, 则存在 $P_0\in E$, 有 $p_0^g-p_0=p_0^{\prime g}-p_0^{\prime }+P_0^g-P_0$, 那么仿照引理 (3) 检验: $\theta :C\to C^{\prime },p\mapsto p_0^{\prime }-(p-p_0)+P_0$ 是 $K$ 上同构, 且与 $E$ 作用相容.

满射: 标准的方法是利用下降. 此处由于曲线与函数域的对应而可以方便构造, 我们仅陈述思路如下, 再举例理解:

我们在本段中以 $P$ 同时代表 $E$ 上点和平移 $P$ 的自同构. $\xi \in H^1(G,E)$ 为 $\xi :G\to E$ 满足上链, 根据 (4), 我们想要构造同构 $C/K$ 及 $K^{al}$ 同构 $\varphi :C\to E$ 使得 ${\varphi }^g\circ {\varphi }^{-1}=-\xi (g)$.

这样的 $(C,\varphi )$ 其实可以用函数域得出. 若有之, 则 ${\varphi }^{\ast }:K(E)\to K(C)$ 是函数域同构, Galois 群作用为$$\begin{gathered} {\varphi }^{\ast }(f{)}^g=(f\circ \varphi {)}^g=f^g\circ {\varphi }^g \\ =f^g\circ (-\xi (g))\circ \varphi ={\varphi }^{\ast }(f^g\circ (-\xi (g)) \end{gathered}$$上面 $-\xi (g)$ 理解为自同构: $E\to E,P\mapsto P-\xi (g)$. 于是构造如下: 函数域仍为 $K(E)$ (即同构取为恒等), 但 Galois 群作用方式变为上式, 其固定域对应曲线即为所求 (具体证明留给有兴趣者) .

$\square$

例 9.1.4. 我们来计算具体的旋子构造. $E/K$, $K(\sqrt{d})/K$ 是二次扩张, $T\in E(K)$ 为 2 阶点. $$\xi :G\to E,g\mapsto \{\begin{array}{l}O,g(\sqrt{d})=\sqrt{d}\\ T,g(\sqrt{d})=-\sqrt{d}\end{array}$$为上链, 我们来算 $\xi$ 对应旋子 $C$. 考虑 Weierstrass 方程为 ($K^{al}$ 上) $y^2=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$, 那么 $(a_1,0),(a_2,0),(a_3,0),O$ 为所有 2 阶点. 于是不妨 $a_1\in K$, 平移不妨 $a=0$. 故设$$E:y^2=x^3+a{x}^2+bx,T=(0,0),(x,y)+T=(b/x,-by/x^2)$$现在, $g\in G_{K(\sqrt{d})/K},g(\sqrt{d})=-\sqrt{d}$ 作用于 $K(E)$ 为: $$g(\sqrt{d})=-\sqrt{d},g(x)=b/x,g(y)=-by/x^2$$(即复合平移, 这里二阶元故加减一致) 只用找到 $g$ 固定域.

观察到 $z=\sqrt{d}x/y,w=\sqrt{d}(x-b/x)(x/y{)}^2$ 为固定元, 且$$d(w/z^2{)}^2=(x-b/x{)}^2=(x+b/x{)}^2-4b=((y/x{)}^2-a{)}^2-4b=(d/z^2-a{)}^2-4b$$那么给出方程$$d{w}^2=d^2-2ad{z}^2+(a^2-4b)z^4$$此为 $K$ 上曲线, 根据一些代数曲线瑜伽, 结合 $\Delta \ne 0$, 其可以添加 2 个点成为光滑射影曲线 $C$. 我们说明 $C$ 是旋子, 对应上链 $\xi$, 为此:

$\theta :E\to C,(x,y)\mapsto (z,w)$ 是 $K(\sqrt{d})$ 上映射, 并且容易给出逆映射.

再任取点 $p\in C$, 计算 $p^g-p$, 比如令 $p=(0,\sqrt{d})$, $p^g-p={\theta }^{-1}(p^g)-{\theta }^{-1}(p)$. 比如, $g(\sqrt{d})=-\sqrt{d}$ 时, $$p^g-p={\theta }^{-1}(0,-\sqrt{d})-\theta (0,\sqrt{d})=(0,0)$$

一个旋子是一条曲线, 事实上从曲线 $C$ 可以用 ${\mathrm{Pic}}^0(C)$ 反过来确定椭圆曲线 $E$, 这便是所谓 Jacobian 簇. 我们在此仅证明如下结论作为启发, 注意我们约定不加下标 $K$ 限定则 $\mathrm{Div}$ 等均是取 $K^{al}$ 上:

定理 9.1.5. $C/K$ 是 $E/K$ 的旋子, 取 $p_0\in C(K^{al})$. 考虑 $sum:{\mathrm{Div}}^0(C)\to E,\sum n_i(p_i)\to \sum [n_i](p_i-p_0)$. 则

•	$sum$ 与 $p_0$ 无关
•	正合列这里 $K^{al,\ast }$ 代表可逆元.
•	$sum$ 保持 Galois 群作用, 于是$${\mathrm{Pic}}_K^0(C)\simeq E(K)$$

证明. 追定义.

$\square$

9.2沙群

为了证明 $E(K)/mE(K)$ 确实有限, (9.1) 不够用, 因为 $H^1(G,E[m])$ 未必有限. 我们期待将其嵌入到一个真正有限的东西里, 局部整体的思想在此发挥威力. 对非阿赋值 $v$ 考虑 $K_v$ 上的形如 (9.1) 的正合列, 我们固定 $K^{al}\hookrightarrow K_v^{al}$, 于是分解群 $G_v\subset G$. 那么, $E(K^{al})\subset E(K_v^{al})$ 给出正合列交换图: $M_K$ 是有限素点对应赋值, $\delta$ 为连接同态. 考虑右上角弯处的映射$$H^1(G,E[\varphi ])\to \mathrm{WC}(E/K)[\varphi ]\to {\Pi }_{v\in M_K}\mathrm{WC}(E/K_v)[\varphi ]$$我们定义 Selmer 群和沙群为$$\begin{gathered} S^{\varphi }(E/K)=\ker \{(H^1(G,E[\varphi ])\to {\Pi }_{v\in M_K}\mathrm{WC}(E/K_v)[\varphi ])\} \\ Ш(E/K)=\ker \{\mathrm{WC}(E/K)\to {\Pi }_{v\in M_K}\mathrm{WC}(E/K_v)\} \end{gathered}$$(注意沙群不是取 “挠点” 之后的) 于是由核–余核正合列 (直接追图) : $$0\to E(K)/\varphi E(K)\to S^{\varphi }(E/K)\to Ш(E/K)[\varphi ]\to 0$$(9.2)$S^{\varphi }$ 有我们想要的好性质: 有限, 由是弱 Mordell–Weil 定理被证明.

从旋子的角度, $C\in Ш(E/K)$ 表示 $C(K_v)\ne 0$ (因为旋子平凡即有点), 于是其中非平凡曲线为不满足 Hasse 原则者.

9.3$S^{\varphi }(E/K)$ 的性质

定理 9.3.1. $S^{\varphi }(E/K)$ 是有限群.

证明. 回忆同调群的非分歧: $\alpha \in H^r(G,M)$ 在 $v$ 非分歧指其在 $Res:H^r(G,M)\to H^r(I_v,M)$ 下为 0.

(1) 先说明 $S^{\varphi }(E/K)$ 其实在 $S=\{v\mid E在v坏约化\}\cup \{v\mid v(\mathrm{deg}\varphi )\ne 0\}$ 外非分歧.

$v\notin S$, $\xi \in S^{\varphi }(E/K)$ 对应旋子 $C$, 则由定义 $C(K_v)\ne \varnothing$. 于是由正合列, $\exists P\in E(K_v^{al})[\varphi ]$, $\xi (g)=P^g-P,g\in G_v$. 此时 $E\to \widetilde{E_v}$ 有好约化, 所以$$g\in I_v,\widetilde{P^g-P}={\tilde{P}}^g-\tilde{P}=\tilde{O}$$又 $P^g-P\in E[\varphi ]\subset E[m]\hookrightarrow {\tilde{E}}_v$, 于是 $P^g=P$, 即 $\xi (g)=O$

(2) 然后对 $M$ 有限, $$H^1(G,M;S)=\{\xi \in H^1(G,M)\mid \xi {|}_{H^1(I_v,M)}=0,\forall v\notin S\}$$有限.

这依赖于上一节讲的代数数论. 首先由膨胀–限制正合列, 不妨设 $G$ 在 $M$ 上平凡作用. 再设 $M$ 的 (群) 指数为 $m$, 那么设 $L/K$ 为指数 $m$, $S$ 外非分歧的极大 Abel 扩张, 上一节已经证明 $L/K$ 有限, 且$$H^1(G,M;S)=\mathrm{Hom}(G,M;S)\simeq \mathrm{Hom}(G_{L/K},M;S)$$故 $H^1(G,M;S)$ 有限.

$\square$

我们得到 $S^{\varphi }(E/K)\subset H^1(G,E[\varphi ];S)$.

9.4计算弱 Mordell–Weil 群

说是计算 $E(K)/mE(K)$, 实际上是 $S^{(m)}(E/K)$ 可以计算, 但 $Ш(E/K)[m]$ 没有好的算法, 目前仍猜想 $Ш(E/K)$ 为有限群.

对 $\xi \in H^1(G,E[\varphi ];S)$ 可以计算其对应的旋子 $C$; 然后, 判断 $\xi \in S^{\varphi }(E/K)$, 只需要检验 $v\in S$, $C(K_v)\ne \varnothing$ 即可, 由 Hensel 引理, 这容易办到.

假若可以找到 $C(K)\ne \varnothing$, 则可以通过连接同态恢复为 $E(K)/\varphi (E(K))$ 上点. 我们举例介绍如上算法. 注意, 我们如上工作对同源 $\varphi :E\to E^{\prime }$ 仍行之有效

例 9.4.1. 我们省略归一化的过程, 如下映射为 2 同源 (Silverman, III.4.5), $$\begin{gathered} \varphi :E\to E^{\prime },(x,y)\mapsto (y^2/x^2,y(b-x^2)/x^2 \\ E:y^2=x^3+a{x}^2+bx \\ {E}^{\prime }:y^2=x^3-2a{x}^2+(a^2-4b)x \end{gathered}$$则 $E[\varphi ]=\{O,T\}\simeq {\mu }_2,T=(0,0)$, 那么$$\delta :H^1(G,E[\varphi ])\simeq H^1(G,{\mu }_2)\simeq K^{\ast }/(K^{\ast }{)}^2$$于是 $H^1(G,E[\varphi ];S\simeq K(S,2)$. 对 $d\in K(S,2)$, 则其上链为$$\xi :G\to E,g\mapsto \{\begin{array}{l}O,g(\sqrt{d})=\sqrt{d}\\ T,g(\sqrt{d})=-\sqrt{d}\end{array}$$于是由 9.1.4, 其对应于$$C_d/K:d{w}^2=d^2-2ad{z}^2+(a^2-4b)z^4$$检验 $C_d(K_v),d\in K(S,2),v\in S$ 即可计算 $S^{\varphi }$.

现在设 $P\in C_d(K)$, 我们来找 $Q\in E^{\prime }(K)$ 在 $E^{\prime }(K)\to WC(E/K)$ 中 $Q\mapsto C_d$. 事实上, 由旋子性质给出同构 (9.1.4) $u={\theta }^{-1}:C_d\to E$ 满足$$u^g\circ u^{-1}=-\xi (g)=\xi (g)$$(注意这里 $\xi (g)$ 仍指平移自同构) 复合 $\varphi$ 给出 $Q=\varphi \circ u(P)$. 检验连接同态: $$\begin{gathered} {\delta }_E(\varphi \circ u(P))(g)=u(P{)}^g-uP \\ =u(P^g)+\xi (g)-u(P^g)=\xi (g) \end{gathered}$$

在上面, $\varphi \circ u(z,w)=(d/z^2,-dw/z^3)$, 数值版连接同态: $\delta (\varphi \circ u(P))=d\mathrm{mod}(K^{\ast }{)}^2,P\in C_d$.

例 9.4.2. 真正的例子 (Silverman X.4.10)

Silverman 上介绍了利用 Weil 配对给出旋子的方法, 但其未给出证明.

定理 9.4.3. $E[m]\subset E(K)$ (用 Weil 配对推出 ${\mu }_m\in K$), $$K(S,m)=\{b\in K^{\ast }/(K^{\ast }{)}^m\mid {\mathrm{ord}}_v(b)\equiv 0\mathrm{mod}m,\forall v\notin S\}$$若选定基 $T_1,T_2$ 使得 $E[m]\simeq {\mu }_m\times {\mu }_m$, 那么经由$$\begin{gathered} H^1(G,E[m])\simeq H^1(G,{\mu }_m)\times H^1(G,{\mu }_m) \\ {\delta }_K:K^{\ast }/(K^{\ast }{)}^m\simeq \mathrm{Hom}(G,{\mu }_m) \end{gathered}$$有 $H^1(G,E[m];S)\simeq K(S,m)\times K(S,m)$

设 $\xi \mapsto (b_1,b_2)$, 取 Weil 配对构造函数 $f_T$ (见 3.2, 思考为什么 $f_T\in K(E)$) , 则$$(P,z_1,z_2)\in C:b_1{z}_1^m=f_{T_1}(P),b_2{z}_2^m=f_{T_2}(P),P\in E$$是 $\xi$ 对应的旋子?

仅对于计算而言, 我们不需要它是旋子. 在 9.4.3 假设下, 我们说明 $C$ 的 $K$ 点决定了 $E(K)/mE(K)$. (若说明了旋子, 则可以计算 $S^{(m)}(E/K)$ )

考虑 (9.2) 中的连接同态$${\delta }_E:E(K)/mE(K)\to S^{(m)}(E/K)\subset H^1(G,E[m];S)$$以及 Kummer 正合列的连接同态 ${\delta }_K:K^{\ast }/(K^{\ast }{)}^m\simeq \mathrm{Hom}(G,{\mu }_m)$, 结合 Weil 配对: $e_m:E[m]\times E[m]\to {\mu }_m$, 我们得到 (乘法) 双线性型$$\begin{gathered} b:E(K)/mE(K)\times E[m]\to K^{\ast }/(K^{\ast }{)}^m, \\ {e}_m({\delta }_E(P),T)={\delta }_K(b(P,T)) \end{gathered}$$

定理 9.4.4.

•	$b$ 对左边非退化.
•	$b$ 像在 $K(S,m)$ 中
•	$P\ne T$, $b(P,T)=f_T(P)$. $P=T$ 时用线性计算.

证明. (1) 来自 Weil 配对非退化.

(2) 我们来证: $$B:H^1(G,E[m];S)\times E[m]\to K^{\ast }/(K^{\ast }{)}^m,e_m(\xi ,T)={\delta }_K(B(\xi ,T))$$落在 $K(S,m)$. 事实上, $\xi (g)=0,g\in I_v$, 于是 ${\delta }_K(B)(g)=(B^g/B{)}^{1/m}=1$, 故 $(B^{1/m}{)}^g=B^{1/m},g\in I_v$. 那么 $K_v(B^{1/m})/K_v$ 完全分歧, 故根据局部域赋值 ${\mathrm{ord}}_v(B^{1/m})\in \mathbb{Z}$, 所以 ${\mathrm{ord}}_v(B)\equiv 0\mathrm{mod}m$.

(3) 追 Weil 配对的定义即可证明.

$\square$

于是, 由非退化性, $P\in E(K)/mE(K)$ 由 $(b(P,T_1),b(P,T_2))$ 唯一确定, 但其取值只有有限集 $(b_1,b_2)\in K(S,m)\times K(S,m)$, 故只用考虑方程: $$C:b_1{z}_1^m=f_{T_1}(P),b_2{z}_2^m=f_{T_2}(P),(P,z_1,z_2)\in E\times K^{\ast }\times K^{\ast }$$有解则 $P$ 为一个 $E(K)/mE(K)$ , 遍历 $(b_1,b_2)$ 就得到整个 $E(K)/mE(K)$. 在考虑 $C$ 解时, 若有解, 则通过计算能够找到; 无解者, 通过考虑局部 $C(K_v)$ 无解常常可以说明, 这只用化到有限域上. 这种判断方法对应于 Selmer 群: 其困难为 Hasse 原则不成立处, 即整体无解而局部有解, 程度由沙群衡量, 目前没有一般方法计算.

例 9.4.5. 仍然考虑 $m=2$, $E[m]\subset E(K)$, 取 Legendre 形式: $$E:y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$$$T=(e,0)$ 为任一二阶元, 则 $f_T(x)=x-e$ 满足 $\mathrm{div}(f)=2(T)-2(O)$ (见第 1 节), 故为 Weil 配对所求. $P\ne T,b(P,T)=f_T(P)$. 而 $b(T_1,T_1)$ 计算: $$\begin{gathered} b(T_1,T_1)=b(T_1,T_1+T_2)\cdot b(T_1,T_2{)}^{-1} \\ =b(T_1,T_3)\cdot b(T_1,T_2{)}^{-1}=e_1-e_3/e_1-e_2 \end{gathered}$$

例 9.4.6. 真正的例子 (Silverman, X.1.5)

最后, 计算 $E(K)$ 通常是先计算 $E(K{)}_{tor}$, 结合 $E(K)/mE(K)$ 给出的信息估计秩. 高效估计秩的信息则要求 $m$ 较小, 经典的方法是利用同源拆分: $[m]=\varphi \circ \hat{\varphi }$,. 但以上种种皆无法给出统一的招式, 或许依靠解析的信息 (如 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想) 才能给出更好的算法.