1. 引言与初步结论

在本引言部分中, 我们观察到把有限环的加法群分解为 Abel $p$-群会诱导出环的直和分解. 因此, 对于大多数有限环的问题, 我们可以假设环的基数为 $p^t$ 且特征为 $p^s$, 其中 $p$ 为某个素数.

本讲义中, 术语 “环” 一般指具有单位元的有限环, 除了以下四种情况: (1) 有限域的代数闭包, (2) 有理整数环 $\mathbb{Z}$, (3) 多项式环, (4) 斜多项式环.

通常, 单位元用 $1$ 表示.

设 $R$ 表示一个环, $S$ 和 $T$ 表示 $R$ 的子集. 包含 $S$ 的最小子环称为由 $S$ 生成的子环, 记作 $⟨S⟩$. 我们用 $S+T$ 表示 $\{s+t\mid s\in S,t\in T\}$, 用 $ST$ 表示 $\{{\sum }_i{s}_i{t}_i\mid s_i\in S,t_i\in T\}$. $S$ 的特征记作 $\chi (S)$, 是满足对所有 $x\in S$ 有 $nx=0$ 的最小正整数 $n$. $R$ 的加法群记作 $R^{+}$, $R$ 的单位群记作 $R^{\times }$, $S$ 的基数记作 $|S|$. 如果 $S$ 是一个子环, $S^{+}$ 在 $R^{+}$ 中的指标记作 $[R:S]$.

我们假设读者具有初等代数和有限 Abel 群的知识. 我们用 ${\mathbb{Z}}_n$ 表示 $n$ 阶循环群, Abel $p$-群的类型记作 $[n_1,\dots ,n_k]$.

$R$ 的加法群 $R^{+}$ 可以分解为初等分量. 容易看出, 这种群分解会诱导出环的分解.

定理 1.1. 一个环 $R$ 可以唯一地表示为素数幂阶环的直和.

证明. 由有限交换群的结构定理 (注 1.2) 与中国剩余定理即得.

$\square$

因此, 如果 $R$ 是一个环, 则$$R\cong \underset{p}{⨁}{R}_p,(\text{作为环})$$

其中对于每个素数 $p$,

$$R_p=\{x\in R\mid \exists n\ge 1,p^{n}x=0\}.$$

显然, 如果 $S$ 是一个子环 (理想, 左理想, 右理想) , 则

$$S\cong \underset{p}{⨁}(S\cap R_p),$$

且

$$R/S\cong \underset{p}{⨁}{R}_p/(R_p\cap S).$$

因此, 只要方便, 我们将注意力限制在满足 $\chi (R)=p^m$ 且 $|R|=p^n$ 的环 $R$ 上, 其中 $p$ 是素数, 而 $m$ 和 $n$ 是正整数. 在这种情况下, 如果 $\mathbb{Z}$ 表示有理整数环, 则由 $1$ 在 $R$ 中生成的环同构于 $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}{p}^m$. 因此, 我们通常将 $⟨1⟩$ 与 $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}{p}^m$ 等同.

如果 $R$ 是一个环, 我们用 $Z(R)=\{r\in R\mid \forall x\in R,rx=xr\}$ 表示 $R$ 的中心.

一个环 $R$ 是可分解的, 如果 $R$ 是环 $R_1$ 和 $R_2$ 的直和, $R=R_1\oplus R_2$. 否则则称 $R$ 为不可分解的.

注 1.2 (有限交换群的结构定理). 有限加群 $G$ 可唯一地分解为素数幂阶循环群的直和, 即设 $|G|=p_1^{m_1}{p}_2^{m_2}\cdots p_t^{m_t}$, $p_i$ 是不同素数, 则

1)	$G=G_{11}\oplus \cdots \oplus G_{1s_1}\oplus \cdots \oplus G_{t1}\oplus \cdots \oplus G_{t{s}_t}$, 其中 $G_{ij}$ 是阶为 $p_i^{m_{ij}}$ 的循环群;
2)	自然数集 $(p_1^{m_{11}},\cdots ,p_1^{m_{1s_1}},\cdots ,p_t^{m_{t1}},\cdots ,p_t^{m_{t{s}_t}})$ 由群 $G$ 唯一确定.