43. 积分与求导的交换性, 乘积空间

积分与求导的可交换性

我们上次课证明了 Lebesgue 控制收敛定理和它的一个推论 (对参数的连续依赖性) :

定理 43.1 (Lebesgue 控制收敛定理). 假定测度空间 上的可测函数列 几乎处处收敛到函数 . 如果存在控制函数 , 使得对每个 , 几乎处处成立. 那么, 我们有特别地, 我们有

推论 43.2 (积分对参数的连续依赖性). 假设 为距离空间, 是测度空间. 函数满足如下条件:

1)

对每个固定的 , 函数 是可测的;

2)

对几乎处处的 , 映射 处连续;

3)

存在正函数 , 使得对每个 , 我们有 对几乎处处的 成立.

那么, 函数是良好定义的并且在 处连续.

我们这次证明另一个推论:

推论 43.3 (积分与求导数的可交换性). 假定参数空间 中的开区间, 是测度空间, 为零测集合, . 我们假设函数满足如下条件:

1)

对任意固定的 , 函数 是可积的;

2)

对任意固定的 , 函数 的导数 存在并且存在正函数 , 使得对任意的 , 都有

那么, 函数是良好定义的并且在 上可微. 进一步, 我们有如下的导数公式

注记. 我们用 表明是对 来积分.

证明. 任意选取实数数列 , 使得 . 对于任意的 , 按定义, 我们知道 是可测函数序列 点的极限, 从而 是可测函数.

由于 , 所以 是可积的, 从而函数是良好定义的.

现在证明 的导数存在并计算它的导数. 固定 , 根据积分的线性, 我们有根据中值定理, 我们知道最后一式的被积函数可写为 , 其中 . 据此, 我们有我们现在可以对函数序列 应用 Lebesgue 控制收敛定理, 因为 就是控制函数: 这就给出了证明.

乘积测度与 Fubini 公式

所谓的 Fubini 定理, 就是将乘积空间上的积分化为分量空间上的积分的公式, 它将保证我们能把 上的积分化为 上的积分来计算. 为此, 我们的第一件事情是建立乘积测度.

给定两个测度空间 , 我们要求 -有限的. 我们要在可测空间 上定义一个测度 .

根据定义, 上的 -代数 是按照如下的方式构造的: 我们称 上形如 的子集为矩形, 其中 ; 我们用 表示有限个两两不交的矩形之并所构成集合的全体并且证明了 是代数; 被定义为 所生成的 -代数, 即 ; 也可以由所有的矩形生成.

与 Lebesgue 测度的构造类似, 我们要在 上构造一个加性函数并利用 Carathéodory 定理把它扩张成 上的测度. 为此, 在矩形 , 我们定义我们规定 乘任何数都得 , 乘任何非零正数都得 .

对于 中的元素 , 按照 的定义, 我们可以将 写成有限个不交的矩形的并: 此时, 我们定义然而, 把 写成有限个不相交的矩形的并的方式不是唯一的, 我们还可能有别的方式: 这样, 我们得到 的两种不同的分解, 为了说明 是良好定义的 (不依赖于分解的选取) , 我们必须证明我们要考虑这两种分解共同的 “加细”: 对每个 , 我们有所以, 上述两种分解可以加细为如下的关于 的新的分解: 利用这个分解, 我们有上面最后一个红色等号我们用到了等式我们暂且假设这个等号成立. 类似地, 如果我们先对 求和, 我们就得到了这就证明了两种分解所对应的 的值都是一样的!

当然, 我们必须证明如下的等式: 如果 (所有的元素都来自 或者 ) , 那么为此, 我们不妨假设 均为 的子集并且 , 均为 的子集并且 , 而且我们要证明如果 是两两不交的, 也是两两不交的, 那么命题上述公式是显然的, 因为对于一般的情形, 我们要 进一步分解成不相交的集合即可. 我们考虑它们是两两不交的并且可以把 都并出来.

据此, 我们有

命题 43.4. 映射是代数  上的 -有限的加性函数.

证明. 根据定义, 这显然是加性函数. 为了说明 -有限性, 由于 -有限的, 所以存在上升的序列 , , , , 其中对每个 , 是有限的. 所以, 我们就有上升的序列 , 使得 . 按照 的定义, 对每个 , 是有限的. 这就完成了证明.

我们注意到, 这里的构造和 Lebesgue 测度的构造在形式上一摸一样.

我们将使用 Carathéodory 测度扩张定理来构造 上的乘积测度:

为此, 先证明一个粗糙版本的 Fubini 定理:

引理 43.5. 对任意 , , 我们定义 -截面为: 那么, . 进一步, 函数 上的可测函数并且

证明. 我们考虑 的分解 , 其中矩形们 两两不交, 通过对 进一步进行细分 (如同上一个命题中所证明的) , 我们可以进一步要求 们两两不交. 此时, 我们可以精确的计算 -截面: 这显然是 中的元素. 我们现在研究 的可测性, 实际上这是一个简单函数, 自然可测. 所以, 我们有根据定义, 上式右边即为 , 命题得证.

利用上述引理, 我们来验证 满足 Carathéodory 扩张定理中的条件 条件 :

条件 的验证:

根据 -有限性, 存在上升的序列 , , , , 其中对每个 , 是有限的. 令 为整个乘积空间, 考虑上升的集合的序列 , 很明显, 我们有 并且每个 体积有限. 条件 要求我们证明: 对于任意的 , 如果 , 那么

由于 为有限个矩形的并, 所以只要对某个 的情形证明 即可 (这里和 Lebesgue 测度的构造又是一样的) . 由于我们假设了 , 不妨    (可以是 ) . 根据 , 所以利用测度 的性质, 我们有从而, 我们有

条件 的验证:

任意选取 中下降的序列 , 如果 并且 , 那么, 条件 要求我们证明

我们运用粗糙版本的 Fubini 定理. 首先, 研究 上的可测函数列 , 其中, 由于 是下降集合序列, 所以, 上下降的正可测函数序列. 根据定义, 我们有按照定义, 我们有 固定时, 由于 , 所以 , 从而, . 那么, 从而对任意的 , , 即函数列 逐点收敛到 . 我们对函数列 运用 Lebesgue 控制收敛定理, 其中, 这列函数中的第一项 可以作为控制函数. 根据上面粗糙版本的 Fubini 定理, 我们就有这就证明了条件 .

综上所述, 我们证明了如下重要的定理:

定理 43.6 (乘积测度). 给定 -有限的测度空间 , 在可测空间 上存在唯一的 -有限的测度 , 使得对任意的 , 我们都有特别地, 对任意的 , 它的测度可由如下公式计算

注记. 在之前的课程中, 我们已经证明了 上 Borel 代数是 上的 Borel 代数的乘积, 即 . 由于我们上面关于乘积测度的构造过程和 Lebesgue 测度的构造是一样的, 所以 上的 Lebesgue 测度 就是两个 上的 Lebesgue 测度 的张量积. 这还可以通过观察它们在方块上的取值以及测度的唯一性来证明. 所以, 我们有类似的结论对于 也成立, 我们不再赘述.