习题课: 硬币空间的测度理论

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硬币空间的测度理论

令 $\Omega =\{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$, 其元素 $\omega$ 可用无限长的数列 $\omega =({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots )$ 来表示, 其中 ${\omega }_i$ 为 $0$ 或者 $1$.

A1)	按二进制方式定义映射$$\Phi :\Omega \to [0,1],\omega \mapsto \sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\omega }_k}{2^k}.$$证明: 这个映射是满射并且除了形如 $\frac{n}{2^k}\in (0,1)$ 的数之外, 每个 $[0,1]$ 中的数的原像只有一个, 并确定所有数的原像.
A2)	对于每个 $s=(s_1,\cdots ,s_n)\in \{0,1{\}}^n$, 我们定义$$C_s=\{\omega \in \Omega \mid {\omega }_1=s_1,\cdots ,{\omega }_n=s_n\}.$$证明, 当 $s$ 遍历 $\{0,1{\}}^n$ 时, $C_s$ 构成了集合 $\Omega$ 的一个拆分 (也就是说 $C_s$ 们两两不相交而且它们的并恰好是 $\Omega$) . 再令 ${\mathcal{F}}_n$ 为由 $\{C_s\mid s\in \{0,1{\}}^n\}$ 所生成的代数 (称作是前 n 次扔硬币的代数) . 证明, 我们可以建立一个从 ${\mathcal{F}}_n$ 到 $\mathcal{P}(\{0,1{\}}^n)$ (幂集合) 的一一对应.
A3)	证明, ${\mathcal{F}}_1\subset {\mathcal{F}}_2\subset \cdots$ 是上升的序列并且 ${\mathcal{F}}_{\infty }=\bigcup _{n⩾1}{\mathcal{F}}_n$ 也是代数但是 ${\mathcal{F}}_{\infty }\ne \Omega$.
A4)	证明, 对每个 $A\in {\mathcal{F}}_{\infty }$, 总存在 $n$ 和 $s_1,\cdots ,s_k\in \{0,1{\}}^n$, 使得 $A=C_{s_1}\cup \cdots \cup C_{s_k}$. 定义 $P(A)=\frac{k}{2^n}$, 证明, 这个定义不依赖于 $n$ 的选取.
A5)	证明, $P$ 是 ${\mathcal{F}}_{\infty }$ 上的一个加性函数且全空间测度为 $1$ (概率测度) .
A6)	(非等概率分布, 用来模拟第 $k$ 次扔硬币正面朝上的概率是 $p_k$) 对于每个 $k\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, 我们给一个数 $0⩽p_k⩽1$. 证明, 存在唯一一个 ${\mathcal{F}}_{\infty }$  上的加性函数 $\tilde{P}$  使得, 对 $s=(s_1,\cdots ,s_n)$, 我们有$$\begin{gathered} \tilde{P}(C_s)=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k⩽n,}{ \\ {s}_k=1}}{p}_k\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k⩽n,}{ \\ {s}_k=0}}(1-p_k). \end{gathered}$$
A7)	我们定义 $\Omega$ 上的 Borel-代数 $\mathcal{B}(\Omega )=\sigma ({\mathcal{F}}_{\infty })$ (我们后面会看到为什么叫它 Borel-代数) . 证明, $\mathcal{B}(\Omega )$ 可以由所有的 $C_s$ 生成, 其中 $s=(s_1,\cdots ,s_n)$ 为一个有限长的字符串. 试说明, 对于任何一个 $\omega \in \Omega$, 我们有 $\{\omega \}\notin {\mathcal{F}}_{\infty }$ 但是 $\{\omega \}\in \mathcal{B}(\Omega )$.
A8)	假设 $\{M_p{\}}_{p⩾1}\in {\mathcal{F}}_{\infty }$ 是下降的序列并且 $\bigcap _{p⩾1}{M}_p=\varnothing$, 证明, 存在 $p_0$ 使得 $M_{p_0}=\varnothing$.
A9)	证明存在唯一一个 $\mathcal{B}(\Omega )$ 上的概率测度 $P$, 使得对任何 $s=(s_1,\cdots ,s_n)$ 我们都有 $P(C_s)=2^{-n}$.
A10)	证明, $$\Phi :(\Omega ,\mathcal{B}(\Omega ))\to ([0,1],\mathcal{B}([0,1]))$$是可测映射 (其中 $\mathcal{B}([0,1])$ 是 $[0,1]$ 上的 Borel-代数) 并且$${\Phi }_{\ast }P=m\text{（Lebesgue 测度）}$$
A11)	我们定义$$\Psi :([0,1],\mathcal{B}([0,1]))\to (\Omega ,\mathcal{B}(\Omega ))$$如下: $\Psi (x)$ 为 $x$ 的二进制展开, 如果展开方式超过一种, 则取从某位开始都是零的那种展开. 证明 $\Psi$ 可测映射且 ${\Psi }_{\ast }m=P=m$. 注记. 从而 $(\Omega ,\mathcal{B}(\Omega ),P)$ 作为测度空间与 $[0,1]$ 加上 Lebesgue 测度同构 (在 $\Omega$ 上去掉一个零测集后上述映射为双射) .
A12)	证明, 第 6) 问中的加性函数也可以唯一地延拓成为 $(\Omega ,\mathcal{B}(\Omega ))$ 上的一个概率测度.
A13)	令$$\begin{array}{rl}{A}_m& =\{\omega \in \Omega \mid {\omega }_k=1,k⩾m\},\\ B& =\{\omega \in \Omega \mid \text{有无限个 k 使得}{\omega }_k=0\},\\ C& =\{\omega \in \Omega \mid \text{有无限个 k 使得}{\omega }_k=0，\text{还有无限个 l 使得}{\omega }_l=1\}.\end{array}$$证明, 它们都是 $\mathcal{B}(\Omega )$ 中的元素并计算它们的测度.
A14)	假设 $\{m_k{\}}_{k⩾1}$ 为单调上升的自然数序列 (可能是有限项的数列) , $\{s_{m_k}{\}}_{k⩾1}$ 为 $0$ 或者 $1$ 构成的序列, 定义$$C(s_{m_1},s_{m_2},\cdots )=\{\omega \in \Omega \mid {\omega }_{m_k}=s_{m_k},k=1,2,\cdots \}.$$证明, $C(s_{m_1},s_{m_2},\cdots )\in \mathcal{B}(\Omega )$. 证明, 如果 $\{m_k{\}}_{k⩾1}$ 仅含有 $N$ 项, 那么其测度为 $2^{-N}$; 如果 $\{m_k{\}}_{k⩾1}$ 有无限项, 那么其测度为零.
A15)	给定两个序列  $\{m_k{\}}_{k=1,2,\cdots }$ 和  $\{m_k^{\prime }{\}}_{k=1,2,\cdots }$, 如果它们没有公共的项 (也就是说 $\{m_k\}\cap \{m_k^{\prime }\}=\varnothing$, 证明, $$P(C(s_{m_1},s_{m_2},\cdots )\cap C(s_{m_1^{\prime }},s_{m_2^{\prime }},\cdots ))=P(C(s_{m_1},s_{m_2},\cdots ))P(C(s_{m_1^{\prime }},s_{m_2^{\prime }},\cdots )).$$
A16)	给定两个有限长序列  $\{m_k{\}}_{k=1,2,\cdots ,N}$ 和  $\{m_k^{\prime }{\}}_{k=1,2,\cdots ,N^{\prime }}$, 假定它们有 $\tilde{N}$ 个共同的元素, 证明, $$P(C(s_{m_1},s_{m_2},\cdots )\cap C(s_{m_1^{\prime }},s_{m_2^{\prime }},\cdots ))=2^{-(N+N^{\prime }-\tilde{N})}\text{或}0.$$

硬币空间上的移位算子及其遍历性

我们定义移位算子 $S:\Omega \to \Omega$: 对于 $\omega =({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots )\in \Omega$, 有$$S(\omega )=({\omega }_2,{\omega }_3,\cdots ),\text{即}S(\omega {)}_i={\omega }_{i+1}.$$再定义 $\sigma$-代数 ${\mathcal{G}}_n$ 如下: 对于每一个 $k⩾n$, 令 ${\Omega }_k=\{\omega \in \Omega |{\omega }_k=1\}$. 定义$${\mathcal{G}}_n=\sigma ({\Omega }_n,{\Omega }_{n+1},{\Omega }_{n+2},\cdots ),$$即包含所有 ${\Omega }_k$ (其中 $k⩾n$) 的最小的 $\sigma$-代数.

B1)	证明, 对于 $\mathcal{B}(\Omega )$ 而言, $S$ 是可测映射.
B2)	证明, ${\mathcal{G}}_2=S^{-1}(\mathcal{B}(\Omega ))$.
B3)	令 $S^n=\underset{\text{复合 n 次}}{\underbrace{S\circ S\circ \cdots \circ S}}$, 证明 ${\mathcal{G}}_{n+1}=\left(S^n{)}^{-1}\right(\mathcal{B}(\Omega ))$.
B4)	证明, 如下两个论断等价: (a) $f:(\Omega ,{\mathcal{G}}_{n+1})\to [0,\infty ]$ 可测; (b) $f:(\Omega ,\mathcal{B}(\Omega ))\to [0,\infty ]$ 可测并且 $f(\omega )$ 不依赖于 ${\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n$.
B5)	令 ${\mathcal{G}}_{\infty }={\bigcap }_n{\mathcal{G}}_n$. 证明, $$f:\Omega \to [0,\infty ],\omega \mapsto \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{{\omega }_1+\cdots +{\omega }_n}{n},$$是 ${\mathcal{G}}_{\infty }$-可测的.
B6)	对每个 $\alpha \in [0,1]$, 定义$$X_{\alpha }=\{\omega \in \Omega |\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{{\omega }_1+{\omega }_2+\cdots +{\omega }_k}{k}=\alpha \}.$$证明: $X_{\alpha }$ 是一个不可数集合并且 $X_{\alpha }\in \mathcal{B}(\Omega )-{\mathcal{F}}_{\infty }$.
B7)	给定 $s=(s_1,s_2,\cdots ,s_n)\in \{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$, 我们定义算子$$T_s:\Omega \to \Omega ,\omega \mapsto (s_1,\cdots ,s_n,{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ).$$ 证明, 对每个 $B\in \mathcal{B}(\Omega )$, 我们都有 $T_s(B)\in \mathcal{B}(\Omega )$ 并且 $P(T_s(B))=2^{-n}P(B)$.
B8)	证明, 如果 $A\in \mathcal{B}(\Omega )$ 使得 $S^{-1}(A)=A$, 那么 $P(A\cap C_s)=2^{-n}P(A)$.
B9)	证明, 给定 $A\in \mathcal{B}(\Omega )$ 使得 $S^{-1}(A)=A$, 证明, $$\tilde{\mathcal{B}}=\{B\in \mathcal{B}\mid P(A\cap B)=P(A)P(B)\}$$是 $\sigma$-代数.
B10)	证明 $S$ 的遍历性, 即对于满足 $S^{-1}(A)=A$ 的 $A\in \mathcal{B}(\Omega )$, 我们一定有 $P(A)=0$ 或者 $P(A)=1$.