42. 可积函数空间, Fatou 引理和 Lebesgue 控制收敛定理

抽象积分理论的一些具体例子与讨论

给定测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$, 正可测函数 $f:X\to [0,+\infty ]$ 的积分被定义为: $$\begin{gathered} {\int }_{X}fd\mu :=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\phi \in \mathcal{E}(X)}{ \\ 0⩽\phi ⩽f}}{\sup }{\int }_X\phi d\mu . \end{gathered}$$对于一般的可测函数 $f:X\to \mathbb{C}$, 如果 ${\int }_X|f|d\mu <\infty$, 我们就说 $f$ 是可积的.

我们先看一个例子:

例子. 假设 $X={\mathbb{Z}}_{⩾1}=\{1,2,\cdots ,n,\cdots \}$, $\mathcal{A}=\mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 上所有的子集所组成的 $\sigma$-代数. 我们考虑数集合元素个数的测度: $$\mu :{\mathbb{Z}}_{⩾1}\to [0,\infty ],A\mapsto \mu (A)=|A|.$$从而, 我们得到了测度空间 $({\mathbb{Z}}_{⩾1},\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{⩾1},\mu ))$. 这个空间上函数$$f:{\mathbb{Z}}_{⩾1}\to \mathbb{C},n\mapsto f(n),$$就是一个复数的数列. 很明显, 任意这样的函数都是可测的 (因为 $\mathcal{A}=\mathcal{P}(X)$) . 我们将要在本次作业中证明, $f$ 可积分当且仅当$$\sum _{n=1}^{\infty }|f(n)|<\infty$$并且此时$${\int }_{{\mathbb{Z}}_{⩾1}}fd\mu =\sum _{n=1}^{\infty }f(n).$$所以, 我们所熟悉的级数求和实际上是一种积分理论.

类似于上学期我们所学的关于级数收敛或者反常积分的判别法, 我们对于积分的收敛性 (即一个函数是否可积分) 有如下的判别准则:

命题 42.1. $f$ 和 $h$ 是测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的可测函数. 如果 $h$ 正的可积函数, 并且不等式$$|f(x)|⩽h(x)$$几乎处处成立, 那么 $f$ 是可积函数.

证明. 令 $B=\{x\in X|f(x)>g(x)\}$, 按照命题中的要求, $\mu (B)=0$. 我们令 $f_1(x)=f(x)1_{B^c}(x)$, 那么, 对所有的 $x\in X$, 我们都有$$|f_1(x)|⩽h(x).$$作为正函数, 我们自然有$${\int }_X|f_1|d\mu ⩽{\int }_X|h|d\mu <\infty .$$所以 $f_1(x)$ 是可积的. 为了说明 $f(x)$ 是可积分的, 我们比较 $|f(x)|$ 与 $|f_1(x)|$: 对于任意的 $x$, 都有 $|f_1(x)|⩽|f(x)|$, 所以$${\int }_X|f_1|d\mu ⩽{\int }_X|f|d\mu .$$这两个函数只在零测集 $B$ 上有差别. 按照积分的定义, 我们有$$\begin{gathered} {\int }_X|f|d\mu :=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\phi \in \mathcal{E}(X)}{ \\ 0⩽\phi ⩽|f|}}{\sup }{\int }_X\phi d\mu . \end{gathered}$$对于简单函数而言, 我们在一个零测集上改变函数值 (全改为零) 是不影响它的积分的, 这可以用简单函数的积分定义直接看出, 所以, 我们总是可以假设上面积分定义中的函数 $\phi$ 在 $B$ 上取零. 此时, $\phi \in \mathcal{E}(X)$ 并且 $0⩽\phi ⩽|f|$ 意味着 $\phi \in \mathcal{E}(X)$ 并且 $0⩽\phi ⩽|f_1|$, 这说明$${\int }_X|f_1|d\mu ={\int }_X|f|d\mu .$$这就给出了命题的证明.

$\square$

尽管我们现在还没有足够好的工作计算积分 (目前只会计算简单函数的积分! ) , 但是通过这个比较的判别法, 我们可以判断函数的可积性. 下面的几个例子很有启发性:

例子.

1)

给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上的可测函数 $f$ (我们用 Lebesgue 测度) , 假设对几乎处处的 $x\in {\mathbb{R}}^n$, $f$ 满足如下的控制: $$|f(x)|⩽\frac{C}{1+|x{|}^{n+\epsilon }},$$其中 $\epsilon >0$. 那么, $f$ 是可积函数. 根据上面的判断法则, 我们只要证明函数 $f(x)=\frac{C}{1+|x{|}^{n+\epsilon }}$ 可积即可. 由于工具的限制, 这个性质的证明目前并不简单, 我们这里给出证明的细节 (借此机会复习 Lebesgue 测度的积分性质) . 我们把 ${\mathbb{R}}^n$ 分成一些环面的并 (这个分解和所谓的 Littlewood-Paley 分解相关, 我们将在数学分析三 (如果存在的话) 中学习) . 令 $B_R=\{x\in {\mathbb{R}}^n||x|⩽R\}$, 我们令 $C_k=B_{2^{k+1}}-B_{2^k}$, 那么, $${\mathbb{R}}^n=B_1\cup C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_k\cup \cdots$$ 尽管我们现在还不能计算这些环面或者球面的体积, 但是, 由于 $B_1$ 和 $C_1$ 都被一个边长为 $4$ 的方块覆盖, 所以我们知道存在常数 $a$, 使得 $m(C_1)+m(B)⩽a$. 另外, 每个 $C_k$ 都可以由 $C_1$ 通过伸缩变换$${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,x\mapsto 2^{k}x,$$得到, 按照 Lebesgue 测度在伸缩变换下的性质, 我们知道$$m(C_k)=(2^k{)}^{n}m(C_1)⩽2^{kn}a.$$在每个 $C_k$ 上, 我们有$$f(x)=\frac{C}{1+|x{|}^{n+\epsilon }}⩽\frac{C}{1+|2^k{|}^{n+\epsilon }}⩽\frac{C}{|2^k{|}^{n+\epsilon }}.$$我们构造简单函数$$h(x)=C{1}_{B_1}+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{C}{|2^k{|}^{n+\epsilon }}{1}_{C_k}.$$很明显, $f(x)⩽h(x)$. 而 $h$ 的积分可以直接计算: $$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}hdm& =Cm(B_1)+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{C}{|2^k{|}^{n+\epsilon }}m(C_k)\\ & ⩽Cm(B_1)+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{C}{|2^k{|}^{n+\epsilon }}{2}^{kn}a=Cm(B_1)+Ca\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k\epsilon }}.\end{array}$$上面的级数显然是有限的.

2)

我们考虑 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$. 我们上学期证明了作为 Riemann 积分的反常积分, $f$ 是可积分的. 然而, 在 Lebesgue 的意义, $f$ 的可积性说的是 $\left|\frac{\sin (x)}{x}\right|$ 可积分, 这个积分是无限大, 我们可以仿照 1) 中的想法来证明, 同学们会在本周的作业中完成.

下面的命题很有用, 它的证明也很值得学习:

命题 42.2. $f$ 测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的正可测函数. 那么如下命题是等价的:

1)	$f$ 几乎处处为零;
2)	${\int }_{X}fd\mu =0$.

证明. 我们上次课证明了 1)$\Rightarrow$2). 反之, 假设 ${\int }_{X}fd\mu =0$. 对每个自然数 $n$, 我们考虑集合$$A_n=\{x\in X|f(x)⩾\frac{1}{n}\}.$$根据定义, 我们自然有 $f(x)⩾\frac{1}{n}{1}_{A_n}(x)$. 所以, 我们有如下积分不等式: $$0={\int }_{X}fd\mu ⩾{\int }_X\frac{1}{n}{1}_{A_n}d\mu =\frac{1}{n}\mu (A_n).$$从而对所有 $n⩾1$, $\mu (A_n)=0$. 然而, 由于 $f$ 是正函数, 我们显然有$$\{x\mid f(x)\ne 0\}=\{x\mid f(x)>0\}=\bigcup _{n⩾1}{A}_n.$$所以, $\mu (\{x\mid f(x)\ne 0\})=0$, 即 $f$ 几乎处处为零.

$\square$

在 ${\mathbb{R}}^1$ 上配备 Lebesgue 测度 $m$, 如果一个可测函数 $f:{\mathbb{R}}^1\to \mathbb{C}$ 在这个测度下是可积的, 我们就称这个函数是 Lebesgue 可积的. 我们可以探讨我们刚刚建立的抽象积分理论与上学期 Riemann 积分的联系. 为了简单期间, 我们在下面的定理中假设 $f$ 是实值的.

定理 42.3. 假定 $f$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的 Riemann 可积的函数 (有界) , 那么 $f$ 是 Lebesgue 可测的并且其 Lebesgue 积分恰为其 Riemann 积分.

证明.

我们利用 Darboux 上下和来逼近函数的积分. 为此, 任取 $[a,b]$ 区间的分划 $\mathcal{I}=[x_0,x_1]\cup [x_1,x_2]\cup \cdots \cup [x_{n-1},x_n]$, 其中 $x_0=a$, $x_n=b$, $x_0<x_1<\cdots <x_n$. 令$$M_k=\underset{x\in [x_{k-1},x_k]}{\sup }f(x),m_k=\underset{x\in [x_{k-1},x_k]}{\inf }f(x).$$我们现在用 Borel-可测的简单函数来代替 Darboux 上下和: $${\overline{F}}_{\mathcal{I}}(x)=\sum _{k=1}^n{M}_k{1}_{[x_{k-1},x_k]},{\underline{F}}_{\mathcal{I}}(x)=\sum _{k=1}^n{m}_k{1}_{[x_{k-1},x_k]}.$$那么, $${\int }_{[a,b]}{\overline{F}}_{\mathcal{I}}dm,{\int }_{[a,b]}{\underline{F}}_{\mathcal{I}}dm$$恰好是分划 $\mathcal{I}$ 的 Darboux 上下和, 其中, 上面积分是用我们的测度对简单函数进行积分 (Lebesgue 积分的意义下) .

我们现在选取特殊分划: 对任意的 $n$, 分划 ${\mathcal{I}}_n$ 对应为区间 $[a,b]$ 的 $2^n$ 等分. 此时, 我们将对应的简单函数 ${\overline{F}}_{{\mathcal{I}}_n}(x)$ 和 ${\underline{F}}_{{\mathcal{I}}_n}(x)$ 简记为 ${\overline{F}}_n$ 和 ${\underline{F}}_n$. 很明显, 我们就得到两个单调的序列 $\{{\overline{F}}_n{\}}_{n⩾1}$ 和 $\{{\underline{F}}_n{\}}_{n⩾1}$. 由于有界单调数列一定有极限, 所以, 存在可测函数 $\overline{F}$ 和 $\underline{F}$, 使得$${\overline{F}}_n\searrow \overline{F},{\underline{F}}_n\nearrow \underline{F}.$$由于 ${\overline{F}}_n⩾{\underline{F}}_n$, 所以 $\overline{F}⩾\underline{F}$. 按照 Riemann 积分的定义, 上和的极限等于下和的极限 (都等于该函数的积分) , 即$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{[a,b]}{\overline{F}}_{n}dm=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{[a,b]}{\underline{F}}_{n}dm.$$根据 Beppo Levi 定理, 我们就有$${\int }_{[a,b]}\overline{F}dm={\int }_{[a,b]}\underline{F}dm=\underset{\text{Riemann积分}}{\underbrace{{\int }_a^{b}f(x)dx}}.$$所以, (利用积分的线性, 即将证明) $${\int }_{[a,b]}\overline{F}-\underline{F}=0.$$从而, 由于 $\overline{F}=\underline{F}⩾0$, 所以, 在一个零测集之外, 我们有$$\overline{F}=\underline{F},\text{几乎处处}.$$另外, 按照定义, 我们还有$$\overline{F}⩾f⩾\underline{F}$$这说明, 在差一个零测度的子集意义下 (要用到测度的完备性, 我们不去追究这个细节) , 我们有 $\overline{F}=f=\underline{F}$. 所以, 上述的论证说明了 $f$ 是可测的并且它的 Riemann 积分与 Lebesgue 积分是一致的.

$\square$

注记. 如果 $f$ 是区间 $[a,b]$ 上可测有界的函数, 它明显是可积的 (抽象积分意义下) , 所以, Lebesgue 积分中有更多的可积函数. 然而, 我们通常关心的函数大多都有很好的连续性, 所以这两种积分理论没有区别, 这正是上面定理的内容.

Beppo Levi 定理的应用: Fatou 引理与 Lebesgue 控制收敛定理

我们上周课程最后讲到了 Beppo Levi 定理以及一个技术性的逼近定理 (存在上升的简单函数列逼近正可测函数) . 利用这个两个结论, 我们有很多有趣有意义的推论:

推论 42.4. $f$ 和 $g$ 是测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的正可测函数. 那么, 对任意的非负实数 $a,b\in {\mathbb{R}}_{⩾0}$, 我们有$${\int }_{X}af+bgd\mu =a{\int }_{X}fd\mu +b{\int }_{X}gd\mu .$$

证明. 我们选取单调上升的简单函数序列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$ 和 $\{g_i{\}}_{i⩾1}$, 使得它们分别逐点收敛到 $f$ 和 $g$. 所以, $\{a{f}_i+b{g}_i{\}}_{i⩾1}$ 也是单调上升的简单函数序列并且逐点收敛到 $af+bg$. 根据积分的对于简单函数的线性, 对每个 $i$, 我们有$${\int }_{X}a{f}_i+b{g}_{i}d\mu =a{\int }_X{f}_{i}d\mu +b{\int }_X{g}_{i}d\mu .$$令 $i\to \infty$, 由 Beppo Levi 定理, 左右两端分别收敛到推论中要证明等式的左右两端.

$\square$

Beppo Levi 定理的一个重要推论是 Fatou 引理:

定理 42.5 (Fatou). $\{f_i{\}}_{i⩾1}$ 是测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的正可测函数序列. 那么, 我们有如下的积分不等式: $${\int }_X\underset{i\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_{i}d\mu ⩽\underset{i\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{i}d\mu ,$$其中, 对任意的 $x\in X$, $\left(\underset{i\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_i\right)(x)=\underset{i\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_i(x)$. 特别地, 如果函数列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$ 逐点地收敛到 $f$, 即对任意的 $x$, $\underset{i\to \infty }{\lim }{f}_i(x)=f(x)$, 那么, 我们有$${\int }_{X}fd\mu ⩽\underset{i\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{i}d\mu .$$

注记. Fatou 引理叙述中的不等式一般而言不能取到等号, 同学们可以 (作业) 构造函数列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$ 逐点地收敛到 $f$, 使得$${\int }_{X}fd\mu <\underset{i\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{i}d\mu .$$

证明之前, 有必要回忆 “下极限” 的概念: 给定实数序列 $\{a_i{\}}_{i⩾1}$, 序列 $\{\underset{i⩾p}{\inf }{a}_i{\}}_{p⩾1}$ 是递增的. 我们定义$$\underset{i\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_i=\underset{p\to \infty }{\lim }\left(\underset{i⩾p}{\inf }{a}_i\right).$$

证明. 令 $f(x)=\underset{p\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_p(x)$. 我们定义函数列 $\{g_p(x){\}}_{p⩾1}$, 其中$$g_p(x)=\underset{i⩾p}{\inf }{f}_i(x).$$那么, $\{g_p(x){\}}_{p⩾1}$ 为上升的正函数序列并且逐点地收敛到 $f(x)$. 根据 Beppo Levi 定理, 我们有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{\int }_X{g}_{p}d\mu ={\int }_{X}fd\mu .$$然而, 根据 $g_p(x)$ 的定义, 对每个 $x\in X$, 我们有 $g_p(x)⩽f_p(x)$. 从而, $${\int }_X{g}_{p}d\mu ⩽{\int }_X{f}_{p}d\mu .$$这表明$$\underset{p\to \infty }{\lim }{\int }_X{g}_{p}d\mu =\underset{p\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{g}_{p}d\mu ⩽\underset{p\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{p}d\mu .$$上面不等式左边就是 ${\int }_{X}fd\mu$, 这就完成了 Fatou 引理第一部分的证明. 第二部分是第一部分的直接推论.

$\square$

定义 42.6 (可积函数空间与 $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 空间). 给定测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$, 我们把这个空间上所有可积函数的全体记作 ${\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$. 和传统的微积分课程中处理的函数有所不同, 在可积函数的定义中, 由于函数被写成正函数的组合, 这里的 “函数” 的取值可以取 $\pm \infty$ 或者 $\sqrt{-1}\times \pm \infty$.

这是线性子空间: 对于任意的 $f,g\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$, 按照定义, 正函数 $|f|$ 和 $|g|$ 是可积分的. 根据上面的推论, $|\alpha ||f|+|\beta ||g|$ 也是可积的. 此时, 我们注意到, 对任意的 $x\in X$, 有$$|\alpha f(x)|+|\beta g(x)|⩽|\alpha ||f(x)|+|\beta ||g(x)|,$$所以, $\alpha f+\beta g\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$.

考虑几乎处处为零的函数$$\mathcal{N}=\{f\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )|f\text{ 几乎处处为零}\}.$$很明显, $N$ 是 ${\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 的线性子空间: 对任意的 $f,g\in \mathcal{N}$, 按照定义, 存在零测集 $A$ 和 $B$, 使得 $f{|}_{A^c}\equiv 0$, $g{|}_{B^c}\equiv 0$. 那么, 对任意的 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$, 我们有$$\alpha f+\beta g{|}_{(A\cup B{)}^c}\equiv 0.$$而 $A\cup B$ 还是零测集, 所以, $\alpha f+\beta g\in \mathcal{N}$.

我们定义 $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 空间为如下的等价类的集合 (商空间) : $$L^1(X,\mathcal{A},\mu )={\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )/\mathcal{N}.$$也就是说, $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 中的元素是函数的等价类, 同一个类中的任两个函数之差为一个几乎处处为零的函数 (这将对积分没有贡献) . 我们在多元微积分的课程中不对此做进一步的解读, 同学们会在实分析的课上对这个空间做深入的了解.

注记. 对于 $f\in L^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 我们把它看成一组函数的等价类 $[f]\subset {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, $f\in [f]$ 是这里面的一个代表. 那么, 在 $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 中 $[f]=0$ 的意思是 $f\in \mathcal{N}$ 或者 $[f]=\mathcal{N}$. 另外, $f$ 几乎处处为零等价于 $|f|$ 几乎处处为零. 所以, 对于 $f\in L^1(X,\mathcal{A},\mu )$, $f=0$ 当且仅当 ${\int }_X|f|d\mu =0$.

我们现在终于可以证明积分算子的线性了:

定理 42.7. ${\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 为 $\mathbb{C}$-线性空间且积分算子$${\int }_X-d\mu :{\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )\to \mathbb{C},f\mapsto {\int }_{X}fd\mu ,$$是 $\mathbb{C}$-线性映射. 进一步, 对于 $f\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 我们$$|{\int }_{X}fd\mu |⩽{\int }_X|f|d\mu .$$

证明. 我们已经证明了 ${\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 是 $\mathbb{C}$-线性空间. 我们详细分情形来证明积分算子的线性. 任选 $f,g\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$.

1)	如果 $f$ 和 $g$ 都是正函数并且 $a,b⩾0$, 我们已经证明了$${\int }_{X}af+bgd\mu =a{\int }_{X}fd\mu +b{\int }_{X}gd\mu .$$
2)	$f$ 和 $g$ 都是正函数, $a=1$, $b=-1$ 的情况. 我们要证明$${\int }_{X}f-gd\mu ={\int }_{X}fd\mu -{\int }_{X}gd\mu .$$为此, 令 $h=f-g$. 我们可以把 $h$ 写成正部和负部的差, 即 $h=h_{+}-h_{-}$. 所以, $$h^{+}+g=h^{-}+f.$$根据正函数的线性, 我们得到$${\int }_X{h}^{+}d\mu +{\int }_{X}gd\mu ={\int }_X{h}^{-}d\mu +{\int }_{X}fd\mu .$$再根据 ${\int }_{X}hd\mu$ 的定义, 我们有$${\int }_{X}hd\mu ={\int }_X{h}^{+}d\mu -{\int }_X{h}^{-}d\mu ,$$所以$${\int }_{X}f-gd\mu ={\int }_{X}hd\mu ={\int }_X{h}^{+}d\mu -{\int }_X{h}^{-}d\mu ={\int }_{X}fd\mu -{\int }_{X}gd\mu .$$
3)	$f$ 和 $g$ 都是实值函数, $a,b\in {\mathbb{R}}_{⩾0}$ 的情况. 此时, 我们有$$\begin{array}{rl}{\int }_{X}af+bgd\mu & ={\int }_X(a{f}_{+}+b{g}_{+})-(a{f}_{-}+b{g}_{-})d\mu \\ & ={\int }_X(a{f}_{+}+b{g}_{+})d\mu -{\int }_X(a{f}_{-}+b{g}_{-})d\mu \\ & =a{\int }_X{f}_{+}d\mu +b{\int }_X{g}_{+}d\mu -a{\int }_X{f}_{-}d\mu -b{\int }_X{g}_{-}d\mu .\end{array}$$
4)	$f$ 和 $g$ 都是实值函数, $a,b\in \mathbb{R}$ 的情况. 按照积分的定义, 我们自然有$${\int }_{X}fd\mu ={\int }_X{f}_{+}d\mu -{\int }_X{f}_{-}d\mu =-\left({\int }_X{f}_{-}d\mu -{\int }_X{f}_{+}d\mu \right)=-{\int }_{X}fd\mu .$$此时, 对与 $a$ 和 $b$ 可能的正负情况逐一讨论即可.
5)	$f$ 和 $g$ 都是复值函数, $a,b\in \mathbb{C}$ 的情况. 我们 $f$, $g$, $a$ 和 $b$ 都用它们的实部和虚部写出来, 展开即可, 这些繁琐且无启发性的细节留给同学们在课下验证.

至此, 我们完整地证明了积分的线性. 为了证明定理中的不等式, 选取复数 $e^{i{\theta }_0}$, 使得$$e^{i{\theta }_0}{\int }_{X}fd\mu =\left|{\int }_{X}fd\mu \right|.$$根据积分的线性, 我们有$$\left|{\int }_{X}fd\mu \right|={\int }_X{e}^{i{\theta }_0}fd\mu .$$所以, 函数 $e^{i{\theta }_0}f$ 的虚数部分对积分没有贡献, 从而$$\begin{array}{rl}{\int }_X{e}^{i{\theta }_0}fd\mu & ={\int }_X\mathrm{Re}\left(e^{i{\theta }_0}f\right)d\mu ⩽{\int }_X\mathrm{Re}(e^{i{\theta }_0}f{)}_{+}d\mu ⩽{\int }_X|f|d\mu .\end{array}$$最后一步, 我们用到了 $\mathrm{Re}(e^{i{\theta }_0}f{)}_{+}⩽|f|$, 这是显然的.

$\square$

一旦有了积分的线性, 我们就可以方便地证明很多命题了

推论 42.8. (积分的区域可加性) 给定测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$, $f$ 是 $X$ 上的可积函数. 我们定义 $f$ 的支集 $\mathrm{supp}f$ 为$$\mathrm{supp}f=\{x\in X|f(x)\ne 0\}.$$假设 $\mathrm{supp}f\subset A\in \mathcal{A}$, 我们也把 ${\int }_{X}fd\mu$ 写成 ${\int }_{A}fd\mu$. 对于任意的 $A,B\in \mathcal{A}$, $A\cap B=\varnothing$, 我们有 $f\cdot 1_A$ 和 $f\cdot 1_B$ 均可积并且$${\int }_{A\cup B}f={\int }_{A}fd\mu +{\int }_{B}fd\mu .$$

证明. 由于 $|f\cdot 1_A|⩽|f|$, 所以 $f\cdot 1_A$ 可积. 推论中的等式就是对 $f\cdot 1_A+f\cdot 1_B$ 的积分应用线性.

$\square$

推论 42.9. 在零测集上改变函数的值不会影响其积分, 也就是说, 如果 $f_1,f_2\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 使得 $f_1=f_2$ 几乎处处, 那么$${\int }_X{f}_{1}d\mu ={\int }_X{f}_{2}d\mu .$$

证明. 按照要求, $f=f_1-f_2$ 几乎处处是 $0$, 所以其积分为 $0$, 从而$$0={\int }_{X}fd\mu ={\int }_X{f}_1-f_{2}d\mu ={\int }_X{f}_{1}d\mu -{\int }_X{f}_{2}d\mu .$$

$\square$

推论 42.10 ($L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 是赋范线性空间). 映射$$\Vert \cdot {\Vert }_{L^1(X,\mathcal{A},\mu )}:L^1(X,\mathcal{A},\mu )\to {\mathbb{R}}_{⩾0},[f]\mapsto {\int }_X|f|d\mu ,$$是范数. 我们这个范数称作是 ${\mathbf{L}}^1$ 范数, 对于 $f\in L^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 我们把它的范数简记为 $\Vert f{\Vert }_{L^1}$. 从而, $(L^1(X,\mathcal{A},\mu ),\Vert \cdot {\Vert }_{L^1})$ 是赋范线性空间.

证明. 首先, 对于等价类 $[f]$ 中的任何两个代表元 $f_1,f_2\in [f]$, 它们几乎处处相等, 所以 $|f_1|=|f_2|$ 几乎处处, 从而, $$\Vert [f]{\Vert }_{L^1}={\int }_X|f_1|d\mu ={\int }_X|f_2|d\mu .$$这表明映射是良好定义的. 另外, 我们知道 $|{\int }_X|f|d\mu |=0$ 等价于在 $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 中 $f=0$. 所以, $\Vert f{\Vert }_{L^1}=0$ 等价于在 $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 中 $f=0$. 对于任意的 $a,b\in \mathbb{C}$ 和 $a,b\in L^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 根据积分的线性, 我们有$$\begin{array}{rl}\Vert af+bg{\Vert }_{L^1}& ={\int }_X|af+bg|d\mu ⩽{\int }_X|a||f|+|b||g|d\mu \\ & =|a|\Vert f{\Vert }_{L^1}+|b|\Vert g{\Vert }_{L^1}.\end{array}$$这就说明了 $\Vert \cdot {\Vert }_{L^1}$ 是范数.

$\square$

注记. 我们将证明 $(L^1(X,\mathcal{A},\mu ),\Vert \cdot {\Vert }_{L^1})$ 是完备的赋范线性空间.

注记. (子空间上的积分) 假定 $Y\in \mathcal{A}$, 我们定义 $\mathcal{A}{|}_Y=\{A\in \mathcal{A}\mid A\subset Y\}$, 这 $\sigma$-代数: 实际上, 如果令$$\iota :Y\to X,y\mapsto y,$$那么, $\mathcal{A}{|}_Y={\iota }^{\ast }\mathcal{A}$. 我们可以将测度 $\mu$ 限制到 $\mathcal{A}{|}_Y$ 上得到一个测度 $\mu {|}_Y$: 对任意的 $A\cap Y\subset \mathcal{A}{|}_Y$, 我们定义$$\mu {|}_Y(A\cap Y)=\mu (A\cap Y)$$. 这样, 我们就得到了测度空间 $(Y,\mathcal{A}{|}_Y,\mu {|}_Y)$ 从而可以对 $Y$ 上定义的函数进行积分. 另外, 对于 $Y$ 上定义函数, 还可以将它用零延拓成 $X$ 上的函数从而将该函数视作是整个空间 $X$ 上的函数, 然后我们可以在 $X$ 上积分. 这两种做法是等价的, 我们会在作业中证明.

我们还必须做出如下的澄清: 当 $X={\mathbb{R}}^n$, $Y$ 是子流形时 (余维数至少是 $1$) , 那么 $\mu {|}_Y$ 在任何集合上取值都是 $0$ (因为此时子流形的测度是零) . 多元微积分的课程要专门研究子流形上的积分理论, 通常的微积分教材里把这些积分称作是曲线和曲面上的积分.

我们现在可以证明积分理论中最重要的收敛定理了, 它的应用渗透到近代分析的每个角落:

定理 42.11 (Lebesgue 控制收敛定理). 假定测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 上的可测函数列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$ 几乎处处收敛到函数 $f$, 即存在零测集 $N\in \mathcal{A}$, 使得对任意的 $x\in N^c$, 我们有 $\underset{i\to \infty }{\lim }{f}_i(x)=f(x)$. 如果存在所谓的控制函数 $h\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 使得对每个 $i$, $|f_i(x)|⩽h(x)$ 几乎处处成立 (即存在零测集 $N_i\in \mathcal{A}$, 使得对任意的 $x\in (N_i{)}^c$, $|f_i(x)|⩽h(x)$) , 那么, 我们有$$\underset{i\to \infty }{\lim }{\int }_X|f_i-f|d\mu =0.$$特别地, 我们有$$\underset{i\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{i}d\mu ={\int }_{X}fd\mu .$$

证明. 我们要应用 Beppo Levi 定理. 首先, 定义正函数序列 $\{g_i{\}}_{i⩾1}$: $$g_i(x)=2h(x)-\underset{k⩾i}{\sup }|f(x)-f_k(x)|.$$按照构造方式, 这是单调上升的函数序列. 根据定理的条件, $\{g_i{\}}_{i⩾1}$ 几乎处处收敛到 $2h$, 即对于任意的 $x\notin N$, 我们有 $\underset{i\to \infty }{\lim }{g}_i(x)=2h(x)$.

我们考虑集合 $N\cup \bigcup _{i⩾1}{N}_i$, 这是一个零测集. 在 $X-N\cup \bigcup _{i⩾1}{N}_i$ 上, 我们有$$g_i(x)⩾0,g_i(x)\to 2h(x).$$利用 Beppo Levi 定理, 我们知道$$\begin{array}{rl}\underset{i\to \infty }{\lim }{\int }_X(2h(x)-\underset{k⩾i}{\sup }|f(x)-f_k(x)|)d\mu & =\underset{i\to \infty }{\lim }{\int }_X{g}_{i}d\mu \\ & =2{\int }_{X}hd\mu .\end{array}$$在方程的两边同时减掉 $2{\int }_{X}hd\mu$, 我们就得到$$\underset{i\to \infty }{\lim }{\int }_X\underset{k⩾i}{\sup }|f(x)-f_k(x)|d\mu =0.$$我们只要简单地去掉 $\sup$ 就证明了 Lebesgue 控制收敛定理.

$\square$

注记. 在 Lebesgue 控制收敛定理的证明过程中, 我们得到了更强的结论: $$\underset{i\to \infty }{\lim }{\int }_X\underset{k⩾i}{\sup }|f(x)-f_k(x)|d\mu =0.$$

下面的两个推论有着众多的应用, 我们会在作业和考试中展现它们:

推论 42.12 (积分对参数的连续依赖性). 假定参数空间 $\Omega$ 为距离空间 (一般而言, $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个开集) , $(X,\mathcal{A},\mu )$ 是测度空间. 函数$$f:X\times \Omega \to \mathbb{C},(x,t)\mapsto f(x,t),$$满足如下条件:

1)	对每个固定的 $t\in \Omega$, 函数 $x\mapsto f(x,t)$ 是可测的;
2)	对几乎处处的 $x$, 映射 $t\mapsto f(x,t)$ 在 $t_0\in \Omega$ 处连续 (即存在零测集 $N$, 使得对任意的 $x\in N^c$, 映射 $t\mapsto f(x,t)$ 在 $t_0\in \Omega$ 处连续) ;
3)	存在正函数 $h\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 使得对每个 $t\in \Omega$, 我们有$$|f(x,t)|⩽h(x)$$对几乎处处的 $x$ 成立 (即存在存在零测集 $N_t$, 使得对任意的 $x\notin N_t$, 我们有 $|f(x,t)|⩽h(x)$) .

那么, 函数$$F:\Omega \to \mathbb{C},t\mapsto F(t)={\int }_{X}f(x,t)d\mu (x)$$是良好定义的并且在 $t_0$ 处连续.

证明. 由于 $|f(x,t)|⩽h(x)$, 所以对于固定的 $t$, $f(x,t)$ 是可积的, 从而函数 $F(t)$ 是良好定义的. 我们来证明 $F$ 在 $t_0$ 处的连续性. 为此, 任取点列 $t_k\to t_0$, 我们希望证明$${\int }_{X}f(x,t_k)d\mu (x)\to {\int }_{X}f(x,t_0)d\mu (x).$$这就是 Lebesgue 控制收敛定理的内容, 因为我们可以选取 $h$ 作为控制函数.

$\square$