84. 奇性传播定理

给定区域 上的 -次微分算子 和分布 , 假设 是光滑的, 那么, 其中, 的主象征的零点集. 我们现在要进一步刻画 的几何结构, 这就是所谓的奇性传播定理.

我们先引入一些定义:

定义 84.1. 给定区域 上的 -次微分算子 , 我们把称作是 特征簇 (characteristic variety) .

给定 , 如果 的一个邻域上是实值的并且 是线性无关的, 我们就称 处是简单的, 也称 处具有简单特征.

如果 在每个 上的点处都是简单的, 我们就称 具有简单的特征簇.

注记. 假设微分算子 具有简单的特征簇, 那么, 对每个 , 处的微分不是 , 这说明 是光滑子流形 (余维数为 ) .

注记. 之前, 我们按照如下的方式定义了主特征: 如果那么, 从此之后, 因为有上述关于 是实值的要求, 我们令这对之前的证明没有影响.

定义 84.2. 给定区域 上的 -次微分算子 , 我们假设它的象征 是实数值的函数, 那么如下定义的 上的向量场被称作是 所定义的 Hamilton 向量场. 形式上, 我们经常把这个向量场写成我们通常把 称作是 上的一个 Hamilton 作用量.

假设是过 的一条积分曲线, 其中 . 这指的是并且
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在上面这个图中, 我们把每个点 处的 记作是 . 我们经常把这个方程组简写成关于 Hamilton 向量场, 我们有如下熟知的性质:

引理 84.3. Hamilton 作用量 沿着 的积分曲线是常数, 即对任意的 的积分曲线我们有

证明. 我们只要利用 的方程进行计算即可: 命题成立.

假设 的一条积分曲线, 如果 , 根据上面的引理, 那么, 的每个点上的取值都是 , 所以, .

定义 84.4. 我们把落在 中的 的极大的一条积分曲线称作是微分算子 的一条双特征曲线 (bicharacteristics) .

有了双特征曲线的概念, 我们就可以陈述奇性传播定理了:

定理 84.5 (奇性传播定理). 给定区域 上的 -次微分算子 , 我们假设 具有简单的特征簇. 如果 的一条双特征曲线并且其中 是分布, 那么如下两种情形必居 (且只居) 其一:

;

推论 84.6 (奇性传播定理). 算子 是区域 上的 -次微分算子并且具有简单的特征簇, 是分布. 如果 是光滑的, 那么 是双特征曲线的无交并.

为了证明这个定理, 我们先做一番准备. 我们定义相函数这是一个对于 次齐次的函数, 它由如下的常微分方程所定义: 其中, 的次数. 特别地, 由于 对于 的次数为 , 所以, 可以被下面的方程刻画: 其中, . 这是因为

利用相函数 , 我们可以刻画双特征曲线:

引理 84.7. 假设 的一条双特征曲线, 那么, 对任意的 , 我们有其中, .

我们定义很明显, 我们将证明, 对任意的 , 我们都有
证明. 假设 , 我们考虑 所满足的微分方程: 利用方程, 我们有所以, 另外, 根据定义, 我们还有所以, 根据 Lagrange 中值定理 (我们用到了 是光滑函数并且其导数在 附近是有界的) , 我们就有由于上面的微分不等式表明命题得证.

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利用微分方程的解对初始值的光滑依赖性以及紧性, 我们有如下的推论:

推论 84.8. 我们考虑一段双特征曲线对任意给定 , 存在 , 使得对任意的 , 对任意的 , 我们都有

证明. 对任意的 , 根据定理, 上述关系对于 成立, 利用连续性, 就对 中所有的点都成立. 由于所有可能的 所给出的 的开覆盖, 利用紧性, 我们就得到了结论.

奇性传播定理的证明: 条件

我们首先把条件用分析的语言写清楚.

对任意的 , , 从而, 存在 , , 使得 附近恒为 并且对任意的 , 存在 , 对任意的 , 我们有所以, 对任意的 (半径 很小) , 其中 , 对任意的 , 我们有最后的一步, 我们用了引理 82.3, 其中, 是依赖于 的常数. 当 遍历 时 (我们可以假设 ) , 我们知道 覆盖了 , 所以, 我们可以选出有限个 , 使得所以, 存在 , 对任意的 , . 特别地, 根据 Lebesgue 数的存在性 (第一学期第 11 次课) , 对任意的 , 必然落在某个 中 (这里我们可以先在 这个紧集上考虑) . 通过选取最小的 和最大的 , 我们就得到了如下的结论:

引理 84.9. 存在 , 对任意的 , 使得对任意的 , 存在常数 , 使得对任意的 , 对任意的 , 我们有

我们不妨假设 , 我们只要说明在另一个端点处 即可. 我们先在翻译 这个条件: 存在 , 对任意的 , 存在常数 , 使得对任意的 , 对任意的 , 我们有

作为总结 (缩小 等) , 我们把奇性传播定理的条件总结如下:

存在 , 对任意的 , 使得对任意的 , 存在常数 , 使得

对任意的 , 对任意的 , 我们有

对任意的 , 对任意的 , 我们有

奇性传播定理的证明: 拟解的构造

我们需要计算如下形式的导数: 假设 是阶为 , 那么, 我们要将上面的式子写成三个部分, 第一个部分的阶为 , 第二个部分的阶为 , 第二个部分的阶 .

我们令 , 那么利用归纳法, 我们不难证明, 对任意的多重指标 , 我们有所以, 在这个表达式中, 每个 对于 都是 次的, 所以, 上面所出现的关于 的最高阶项是 阶的, 最低阶项是 阶的. 我们下面将对不同的阶数进行合并同类项.

阶项.

此时, 我们必须有 , 所以, 这些项为

阶项.

此时, 我们必须有 . 所以, .

如果 , 此时, , 所以, 这些项为这里, 对于 是一个次数为 的齐次函数, 它的构造只依赖于 (主象征! ) .

如果 . 我们定义多重指标 , 其中只有在第 个位置是 . 这些项为如果 , 这一类的项可以合并到上面的一项中 (此时, 我们要对 进行修正, 它的构造变得依赖于 ) . 所以, 除去这些项之外, 此时没有处理的项形如

综上所述, 我们就有其中, 是一些次数不超过 次的齐次函数的 (有限) 线性组合.

利用这个公式, 我们就有所以, 其中, 作为总结, 我们有

引理 84.10. 假设 是关于 次齐次的光滑函数, 那么, 我们有其中, 次的, 是次数为 的齐次函数 (只依赖于 ) .

注记. 我们注意到 的构造方式恰好消去了上面可能出现的 次的项.

引理 84.11 (拟解的构造). 对给定的正数 , 存在 , 使得 并且如下成立:

对任意的 , 存在函数序列

对于 是次数为 的齐次函数并且对任意的 , 如果 , 那么 ;

是有限个次数不超过 的齐次函数 (对于 ) 的和并且对任意的 , 如果 , 那么 ;

我们令那么, 我们有

证明. 我们归纳地来构造. 先考虑 的情形. 此时, 我们定义 为如下 (常) 微分方程的解: 那么, 对于 次的齐次函数 (可以先对 来解, 然后进行齐次的扩张) .

假设对于 的指标 , 我们已经构造了 , 那么, 我们考虑其中 的次数.

由归纳假设, 是次数不超过 的齐次函数的线性组合, 我们假设它的 次分量为 . 那么, 我们令那么, , 从而 的次数不超过 . 这就完成了证明.

奇性传播定理的证明: 完成

我们对方程 积分, 由于 , 我们就得到所以, 我们有我们逐一地控制上面的三项:

控制 .

首先, 由于 对于 是消失的, 所以, 我们可以用一个示性函数 来记住这个事实 (它在 上恒为 ) :

我们选取相函数 , 振幅函数 以及被作用函数 , 我们来验证它们满足非驻相法引理的基本数据的条件:

(a)

是实值的, 变量 是 1 次齐次的并且当 时, 有 :

为了说明后者, 我们用 满足的方程: 其中 . 对 求导数, 我们就有所以, 如果 , 上述微分不等式表明 , 矛盾!

上面的推理对于 也成立.

(b)

按照构造, 对于任意的 , 光滑, 所以 也光滑. 另外, 是一些次数不超过 的齐次函数的和, 利用紧性, 使得对任意的多重指标 , 存在常数 , 我们都有

(c)

由于 , 对任意的 , 存在常数 , 使得对任意的 , 都有我们就有这里, .

根据引理 84.8 以及连续性, 对任意的 , 我们有所以我们可以运用非驻相法引理, 从而,

此时, 引理的结论表明, 对任意的 , 存在 , 使得对任意的 , 有

控制 .

这一部分的控制和 是完全一致的, 唯一的不同在于把 换成了 . 另外, 我们可以对 一致地选取 . 重复上面的过程, 我们就得到对任意的 , 存在 , 使得对任意的 , 有

控制 .

利用分布的定义, 存在常数 , 使得,

是有限个 的次数 的齐次函数的和, 所以, 根据 Leibniz 法则 (以及 的次数为 ) , 上面右端出现的是一些次数不超过 的齐次函数的和. 利用 的光滑性, 我们知道存在常数 , 使得所以, 其中, 是任意的正整数.

综合上面的所有估计, 我们就证明了对任意的 , 存在 , 使得对任意的 , 有这说明 , 从而完成了奇性传播定理的证明.