分布理论期末复习题一

题目 A. $u(x)$ 是在 $\mathbb{R}$ 上定义的以 $1$ 为周期的函数. 对于 $x\in [0,1]$, 我们有$$u(x)=e^{2\pi (x-\frac{1}{2})}+e^{-2\pi (x-\frac{1}{2})}$$

A1)	证明, $$u(x)=\frac{e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\frac{e^{2\pi ikx}}{1+k^2}$$
A2)	证明, 作为 $\mathbb{R}$ 上的分布, 我们有$$u^{\prime \prime }-4{\pi }^{2}u=-8\pi \sinh (\pi )\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\delta }_k.$$
A3)	证明分布形式的 Poisson 求和公式: $$\sum _{k\in \mathbb{Z}}{e}^{2\pi ikx}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\delta }_k.$$

题目 B. 我们来构造微分算子$$u(x)\mapsto u^{\prime \prime }(x)-u(x)$$的基本解.

第一部分: 在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中解 ${\mathbf{u}}^{\prime \prime }-\mathbf{u}=\mathbf{\delta }$

B1)	证明, 对任意的 $a\in \mathbb{C}$, 试给出方程$$u^{\prime }-au=0$$的所有解, 其中, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$.
B2)	对 $a\in \mathbb{C}$, 我们定义分布$$u_a(x)=e^{ax}H(x),$$其中 $H(x)$ 是 Heaviside 函数. 试计算$$({\delta }^{\prime }-a\delta )\ast u_a,$$其中, $\delta ={\delta }_0$ 是 Dirac 分布.
B3)	在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中解方程$$u^{\prime }-au=\delta ,$$其中 $a\in \mathbb{C}$.
B4)	在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中解方程$$u^{\prime \prime }-u=\delta .$$
B5)	在 ${\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中解方程$$u^{\prime \prime }-u=\delta .$$

第二部分: 在 ${\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中解 ${\mathbf{u}}^{\prime \prime }-\mathbf{u}=\mathbf{\delta }$

B6)	证明, $${\int }_{\mathbb{R}}\frac{e^{itx}}{x^2+1}dx=\pi e^{-|t|}.$$
B7)	利用上面的积分在 ${\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中解方程$$u^{\prime \prime }-u=\delta .$$
B8)	${\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}_{>0})$ 中解方程$$u^{\prime \prime }-u=\delta .$$

注记. 我们可以把 ${\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 看作是在无穷远处增长有限制的分布, 这个问题很好的展示了边界条件对于方程的解的约束.

题目 C. 给定具有紧支集的分布 $u\in {\mathcal{E}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 我们用 $\hat{u}$ 表示它的 Fourier 变换 (作为缓增分布) . 对任意的 $z\in \mathbb{C}$, 我们定义函数$$\mathcal{L}(u)(z):=⟨u,e^{-izx}⟩.$$

C1)	证明, $\mathcal{L}(u)(z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的复解析函数.
C2)	证明, 如果 $\xi \in \mathbb{R}$, 那么, $$\mathcal{L}(u)(\xi )=\hat{u}(\xi ).$$
C3)	证明, 如果对任意的 $k⩾0$, 我们有$$⟨u,x^k⟩=0,$$那么, $u=0$.
C4)	如果 $p$ 是分布 $u$ 的阶, 证明, 存在常数 $C$, 使得对任意的 $\xi \in \mathbb{R}$, 我们都有$$\left|\hat{u}(\xi )\right|⩽C(1+|\xi |{)}^p.$$
C5)	我们假设 $z\in \mathbb{H}$, 其中, $\mathbb{H}=\{z\in \mathbb{C}|\mathrm{Im}(z)>0\}$. 证明, $$U(z):={\int }_0^{\infty }\hat{u}(\xi )e^{i\xi z}d\xi$$是良好定义的并且是 $\mathbb{H}$ 上的复解析函数.
C6)	证明, 存在常数 $C>0$, $\epsilon >0$ 和正整数 $N$, 使得当 $0<\mathrm{Im}(z)<\epsilon$ 时, 我们有$$\left|U(z)\right|⩽C\cdot \mathrm{Im}(z{)}^{-N}.$$
C7)	对任意的 $\epsilon >0$, 我们定义分布 $\mathbb{R}$ 上的分布: $$u_{\epsilon }(x)=U(x+i\epsilon ).$$证明, 在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中下面的极限存在: $$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{u}_{\epsilon }.$$
C8)	对于 $z\in \mathbb{H}$, 我们定义$$V(z):={\int }_{\infty }^0\hat{u}(\xi )e^{i\xi z}d\xi$$并令$$v_{\epsilon }(x)=V(x-i\epsilon ).$$证明, 在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中, 我们有$$\frac{1}{2\pi }\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }(u_{\epsilon }+v_{\epsilon })=u.$$

题目 D.

对任意的 $\phi (x,y)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^2)$, 我们定义如下的线性形式: $$⟨u,\phi ⟩={\int }_0^{\infty }\phi (t,2t)dt.$$

D1)	证明, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$ 并且确定它的阶和支集.
D2)	$u$ 是否落在自然映射$$\iota :L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^2)\to {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$$的像里?
D3)	在分布的意义下计算$$\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial u}{\partial y}.$$
D4)	证明, $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$.
D5)	$\hat{u}(\xi )$ 是否落在自然映射$$\iota :L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^2)\to {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$$的像里?
D6)	给定 $R>0$, 证明, 如下的线性形式$$⟨u_R,\phi ⟩={\int }_0^R\phi (t,2t)dt$$定义了一个缓增的分布并且在缓增分布的意义下$$\underset{R\to +\infty }{\lim }{u}_R\stackrel{{\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)}{=}u.$$
D6)	计算 Fourier 变换 $\widehat{u_R}(\xi )$ (提示: 考虑算子 $\frac{\partial }{\partial x}+2\frac{\partial }{\partial y}$)
D7)	证明, 对任意的 $s\in \mathbb{R}$, $u\notin H^s({\mathbb{R}}^2)$.
D8)	给定 $R>0$. 试找出所有的 $s$, 使得 $u_R\in H^s({\mathbb{R}}^2)$.