分布理论期末复习题二

题目 A. 给定 $a\in \mathbb{R}$, $\lambda \in \mathbb{C}$ 并且 $\mathrm{Re}(\lambda )⩽0$. 我们定义 $\mathbb{R}$ 上的分布$$\begin{array}{rl}{H}_a(x)& =1_{[a,+\infty )}(x),\\ u(x)& =e^{\lambda x}{H}_a(x).\end{array}$$

A1)	在分布的意义下计算$$u^{\prime }-\lambda u.$$
A2)	证明, $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 并且$$(i\xi -\lambda )\hat{u}(\xi )=e^{a(\lambda -i\xi )}.$$
A3)	如果 $\mathrm{Re}(\lambda )<0$, 试确定 $\hat{u}(\xi )$.
A4)	当 $\lambda =0$ 时, 计算 $\hat{u}(\xi )$.
A5)	当 $\lambda =i\mu$ 时, 其中 $\mu \in \mathbb{R}$, 计算 $\hat{u}(\xi )$.

题目 B. 对任意的 $\phi (x,y)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^2)$, 我们定义如下的线性映射: $$⟨u,\phi ⟩={\int }_0^{\infty }\phi (t,t)dt.$$我们用 $L$ 表示如下的微分算子: $$L=\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}.$$

B1)	证明, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$ 并且在分布的意义下计算 $L(u)$.
B2)	假设 $g\in C^1(\mathbb{R})$, 试计算$$u\ast (g\otimes \delta ),$$其中 $\delta$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 Dirac 分布.
B3)	令$$\overline{\mathbb{H}}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y⩾0\}.$$试找出所有的 $f\in C^1\left(\overline{\mathbb{H}}\right)$, 使得$$\{\begin{array}{ll}L(f)& =0,\\ f(x,0)& =g(x),\end{array}$$其中 $g$ 是上一个问题中给定的函数.

题目 C. 固定一个正实数 $\lambda >0$. 我们用如下的方式定义实值函数$$g:\left[0,\frac{\pi }{4}\right)\cup \left(\frac{\pi }{4},\pi \right]\to \mathbb{R},$$其中, $$\tan \left(g(x)\right)=\frac{\lambda }{1-\tan (x)},$$并且我们要求$$g(x)\in \{\begin{array}{ll}\left[-\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2}\right],& x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right);\\ \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],& x\in \left(\frac{\pi }{4},\pi \right].\end{array}$$

C1)	证明, $g(x)$ 可以唯一地被拓成 $[0,\pi ]$ 上的连续函数并计算 $g(0)$ 和 $g(\pi )$.
C2)	定义 $[0,\pi ]$ 上的函数$$\begin{array}{rl}h(x)& =\frac{\cos (x)+(1+i\lambda )\sin (x)}{\sin (x)-(1+i\lambda )\cos (x)},\\ f(x)& =\frac{1}{2}\log \left((\sin (x)-\cos (x){)}^2+{\lambda }^2\cos (x{)}^2\right)+ig(x).\end{array}$$证明, $$f^{\prime }=h.$$
C3)	计算积分$${\int }_0^{\pi }h(x)dx.$$
C4)	定义 ${\mathbb{R}}^2$ 上的微分算子: $$A=\frac{\partial }{\partial x}+(1+i\lambda )\frac{\partial }{\partial y}.$$试构造 $A$ 的一个基本解.
C5)	证明, 如果 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$ (在分布意义下) 满足微分方程: $$A(u)=0,$$那么, $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^2)$.