分布理论期末复习题三

题目 A. 我们定义 $\mathbb{R}$ 上的分布$$\begin{array}{rl}u(x)& =e^{-|x|}.\end{array}$$

A1)	证明, $u$ 是缓增的分布并且在分布的意义下有$$u^{\prime \prime }-u+2{\delta }_0=0.$$
A2)	证明, 计算 $\hat{u}$ 并且确定所有的 $s$, 使得 $u\in H^s(\mathbb{R})$.
A3)	任意给定多项式 $P\in \mathbb{C}[x]$, 证明, 对任意的 $U\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 在频率空间上 $\widehat{P\cdot u}\cdot \hat{U}$ 是良好定义的缓增分布. 据此, 我们可以定义卷积$$(P\cdot u)\ast U:={\mathcal{F}}^{-1}\left(\widehat{P\cdot u}\cdot \hat{U}\right).$$
A4)	证明, 对任意的 $U\in H^s(\mathbb{R})$, 其中 $s\in \mathbb{R}$, 我们有$$(P\cdot u)\ast U\in H^{s+2}(\mathbb{R}).$$
A5)	证明, 如果 $U\in L^2(\mathbb{R})$, 那么$$(P\cdot u)\ast U\in C^1(\mathbb{R}).$$
A6)	我们现在要绕过 Fourier 变换直接来定义卷积 $(P\cdot u)\ast U$. 证明, 存在 $v\in {\mathcal{E}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 和 $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, 使得$$P\cdot u=v+\phi .$$
A7)	我们定义$$(P\cdot u)\bullet U=v\ast U+\phi \ast U.$$证明, 这个定义所给出的分布不依赖于 A6) 中分解的选取.
A8)	证明, $(P\cdot u)\bullet U$ 在 $\mathrm{supp}(U)$ 之外是光滑函数.
A9)	证明, 上面的两种卷积的定义是一致的.
A10)	考虑如下的缓增分布: $$U=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\delta }_k,$$证明, $T\ast U$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续周期函数并在一个周期上用初等函数表示它.

题目 B. 我们先引入如下的记号:

•	$A$ 是给定的 $3\times 3$ 的实矩阵并且 $\det (A)=1$. 我们把 $A$ 视作是线性变换 (矩阵从左边去乘以一个列向量) : $$A:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3.$$对任意的 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$, 我们把 $Au$ 定义为如下的分布: $$⟨Au,\phi ⟩=⟨u,\phi \circ A^{-1}⟩.$$特别地, 如果 $u\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^3)$, 那么, $$(Au)(x)=u(A(x)).$$ 对于给定的 $\theta ,t\in \mathbb{R}$, 我们定义两类特殊的线性变换: $$R_{\theta }:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3,(x,y,z)\mapsto (x\cos (\theta )+y\sin (\theta ),-x\sin (\theta )+y\cos (\theta ),z),$$和$$S_t:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3,(x,y,z)\mapsto (x\cosh (t)+z\sinh (t),y,z\cosh (t)+x\sinh (t)).$$如果对任意的 $\theta ,t\in \mathbb{R}$, 我们都有$$R_{\theta }u=u,S_{t}u=u,$$我们就说 $u$ 是不变的.
•	我们定义 ${\mathbb{R}}^3$ 上的微分算子: $$\square =\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}.$$我们定义三个变量的多项式$$P(x,y,z)=z^2-x^2-y^2.$$
•	对于实数 $\alpha \ne 0$, 我们定义 ${\mathbb{R}}^3$ 中的双曲面$$H_{\alpha }=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z^2-x^2-y^2=\alpha .\}$$当 $\alpha >0$ 时, 我们定义$$H_{\alpha }^{+}=\{(x,y,z)\in H_{\alpha }|z>0\},H_{\alpha }^{-}=\{(x,y,z)\in H_{\alpha }|z<0\}.$$当 $\alpha =0$ 时, 我们定义如下的 (无定点的锥) $$H_0=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z^2-x^2-y^2=0,(x,y,z)\ne (0,0,0).\}$$和$$H_0^{+}=\{(x,y,z)\in H_0|z>0\},H_0^{-}=\{(x,y,z)\in H_0|z<0\}.$$
•	我们用 $\vec{r}=(x,y,z)$ 表示 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个向量 (点) , 我们用如下的记号表示特定的向量: $${\vec{e}}_x=(1,0,0),{\vec{e}}_y=(0,1,0),{\vec{e}}_z=(0,0,1).$$我们用 $r$ 和 $\rho$ 表示如下定义的 ${\mathbb{R}}^3$ 上的半径函数$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\rho =\sqrt{x^2+y^2}.$$当 $\alpha \ne 0$ 时, 我们令$$a=\sqrt{|\alpha |}.$$

第一部分

B1)	假设 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$ 并且在分布的意义下满足$$z\cdot T=0.$$证明, 存在分布 $S\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$, 使得对任意的 $\phi (x,y,z)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^3)$, 如果令$$\psi (x,y)=\phi (x,y,0),$$那么$$⟨T,\phi ⟩=⟨S,\psi ⟩.$$
B2)	给定开集 $\omega \subset {\mathbb{R}}^2$ 和实值的光滑函数 $F\in C^{\infty }(\omega )$, 我们用 $\Sigma$ 表示 $F$ 的图像所定义的曲面: $$\Sigma =\{(x,y,z)\in \omega \times \mathbb{R}|z=F(x,y),(x,y)\in \omega \}.$$假设 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\omega \times \mathbb{R})$ 满足分布意义下的方程$$(z-F(x,y))\cdot T=0,$$证明, 存在分布 $S\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$, 使得对任意的 $\phi (x,y,z)\in \mathcal{D}(\omega \times \mathbb{R})$, 如果令$$\psi (x,y)=\phi (x,y,F(x,y)),$$那么$$⟨T,\phi ⟩=⟨S,\psi ⟩.$$
B3)	假设 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$ 是不变的分布. 如果对实数 $\alpha >0$, $T$ 满足如下分布意义下的等式$$(P-\alpha )\cdot T=0,$$我们就称 $T$ 是 $\mathbf{\alpha }$-不变的. 证明, 如果 $T$ 是 $\alpha$-不变的 ($\alpha >0$) , 那么, $\mathrm{supp}(T)\subset H_{\alpha }$. 进一步证明, 如果 $\mathrm{supp}(T)\subset H_{\alpha }^{+}$, 那么, 存在分布 $S\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$, 使得对任意的 $\phi (x,y,z)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^3)$, 我们都有$$⟨T,\phi ⟩=⟨S,\phi (x,y,\sqrt{x^2+y^2+a^2})⟩.$$我们把$$\psi (x,y)=\phi (x,y,\sqrt{x^2+y^2+a^2})$$称作是 $\phi$ 的伴随函数, 把 $S$ 称作是 $T$ 的伴随分布.
B4)	对任意的 $t,t^{\prime }\in \mathbb{R}$, 证明 Lorentz 变换满足如下的性质: $$S_{t+t^{\prime }}=S_t\circ S_{t^{\prime }}.$$(注意, 不要把 $S_t$ 和上面的伴随分布的符号弄混) 对任意的 $\phi (x,y,z)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^3)$, 我们令$${\phi }^t=S_t\phi =\phi \circ S_t$$试用 $\phi$ 伴随函数 $\psi (x,y)$ 的导数来计算$$\frac{d}{dt}{|}_{t=0}{\psi }^t(x,y),$$其中, ${\psi }^t(x,y)$ 是 ${\phi }^t(x,y,z)$ 的伴随函数.
B5)	假设 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$ 是 $\alpha$-不变的 ($\alpha >0$) 并且 $\mathrm{supp}(T)\subset H_{\alpha }^{+}$, $S\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$ 是它的伴随分布. 证明, $S$ 满足如下两个条件 ∘ $S$ 是在 ${\mathbb{R}}^2$ 上旋转不变的; ∘ 在分布的意义下, 我们有$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\sqrt{a^2+x^2+y^2}\cdot S\right)=0.$$
B6)	如果 $\mathrm{supp}(T)\subset H_{\alpha }^{+}$ 并且 $S$ 是它的伴随分布. 证明, ∘ 如果 $S$ 是在 ${\mathbb{R}}^2$ 上旋转不变的, 那么, 对任意的 $\theta \in \mathbb{R}$, 我们有$$R_{\theta }T=T.$$ ∘ 如果在分布的意义下, 我们有$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\sqrt{a^2+x^2+y^2}\cdot S\right)=0,$$那么, 对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 我们有$$S_{t}T=T.$$
B7)	假设 $\alpha >0$, 我们用 $d{\sigma }_{\alpha }^{+}$ 表示 $H_{\alpha }^{+}$ 的曲面测度, 证明, $$⟨d{\sigma }_{\alpha }^{+},\phi ⟩={\int }_{{\mathbb{R}}^2}\phi (x,y,\sqrt{x^2+y^2+a^2})\frac{1}{|\vec{n}\cdot {\vec{e}}_z|}dxdy,$$其中, $\vec{n}$ 是 $H_{\alpha }^{+}$ 在 $(x,y,z)$ 处的单位法向量, $\vec{n}\cdot {\vec{e}}_z$ 是两个向量在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的标准内积.
B8)	试计算 $d{\sigma }_{\alpha }^{+}$ 的伴随分布并证明如下定义的分布是 $\alpha$-不变的: $$T_{\alpha }^{+}=\frac{1}{r}d{\sigma }_{\alpha }^{+}.$$
B9)	假设 $S\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)$ 是旋转不变的并且满足$$\frac{\partial S}{\partial x}=0.$$证明, $S$ 是由某个常数值的函数所定义的分布.
B10)	证明, $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$ 是 $\alpha$-不变的分布并且 $\mathrm{supp}(T)\subset H_{\alpha }^{+}$, 那么, 存在 $C\in \mathbb{C}$, 使得$$T=C\cdot T_{\alpha }^{+}.$$

第二部分

B11)	证明, $T_{\alpha }^{+}$ 是缓增的分布.
B12)	缓增的分布 $T\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$ 是不变的当且仅当其 Fourier 变换是不变的.
B13)	试找出所有的不变的缓增分布 $U\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$, 使得 $U$ 满足 Klein-Gordon 方程: $$\left(\square -\lambda \right)U=0,$$其中, $\lambda <0$ 是给定的负数.
B14)	我们将换一种方式将 B13) 中的结论推广到 $\lambda =0$ 的情况 (不需要重复第一部分中的计算) . 我们用 $d{\sigma }^{+}$ 表示 $H_0^{+}$ 的曲面测度, 用 $d{\sigma }^{-}$ 表示 $H_0^{-}$ 的曲面测度, 那么, $$T_0^{+}=\frac{1}{r}d{\sigma }_{+},T_0^{-}=\frac{1}{r}d{\sigma }_{-}$$都是 ${\mathbb{R}}^3-\{(0,0,0)\}$ 上的分布. 证明, 如下的曲面积分对任意的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^3)$ 都是收敛的$${\int }_{H_0^{+}}\frac{\phi }{r}d{\sigma }^{+},{\int }_{H_0^{-}}\frac{\phi }{r}d{\sigma }^{-}$$并且定义出了 ${\mathbb{R}}^3$ 上的两个缓增的分布. 我们之后仍旧把它们记作 $T_0^{+}$ 和 $T_0^{-}$.
B15)	假设 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$ 是 $0$-不变的 (即 $P\cdot T=0$) 分布. 证明, $T$ 是 $T_0^{+}$, $T_0^{-}$ 和 ${\delta }_{(0,0,0)}$ 的线性组合.
B16)	试找出所有的不变的缓增分布 $U\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$, 使得 $U$ 满足波动方程: $$\square U=0.$$

第三部分

我们在 ${\mathbb{R}}^3$ 上定义开集$${\Omega }_1=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z^2-x^2-y^2>0,z>0\}.$$我们在 ${\Omega }_1$ 上用如下的极坐标系: $$\{\begin{array}{ll}x& =a\sinh (u)\cos (\beta ),\\ y& =a\sinh (u)\sin (\beta ),(a,u,\beta )\in {\mathbb{R}}_{>0}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}.\\ z& =a\cosh (u).\end{array}$$对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }({\Omega }_1)$, 我们定义函数 ${\chi }_{{}_{\phi }}(a)\in C_0^{\infty }((0,+\infty ))$, 使得$${\chi }_{{}_{\phi }}(a)=a{\int }_{H_{\alpha }^{+}}\phi \frac{d{\sigma }_{\alpha }^{+}}{r},\alpha =a^2,a>0.$$

B17)	假设 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1)$ 是分布, 证明, 存在分布 $S_T\in {\mathcal{D}}^{\prime }((0,+\infty ))$, 使得对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }({\Omega }_1)$, 我们都有$$⟨T,\phi ⟩=⟨S_T,{\chi }_{{}_{\phi }}⟩.$$
B18)	假设 $T=F\in C^0({\Omega }_1)$ 是不变的连续函数. 证明, $S_T$ 可以被如下的函数实现: 对任意的 $a>0$, $$S_T(a)=F(\vec{r}),\vec{r}=(x,y,z),$$其中, $\vec{r}$ 是任意的一个 $H_{a^2}^{+}$ 上的点.
B19)	我们用 ${\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}$ 表示 ${\Omega }_1$ 中所有不变的分布, 用 $C^{\infty }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}$ 表示 ${\Omega }_1$ 中所有不变的光滑函数. 证明, $$C^{\infty }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}\subset {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}$$是稠密的.
B20)	如果 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}$, 证明, $\square T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}$ 并且$$S_{\square T}=\frac{{\partial }^2}{\partial a^2}{S}_T+\frac{2}{a}\frac{\partial }{\partial a}{S}_T.$$(提示: 令 $a=\sqrt{z^2-y^2-x^2}$, 其中 $(x,y,z)\in {\Omega }_1$, 假设 $F(x,y,z)=f(a)\in C^{\infty }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}$, 先计算 $\square F$)
B21)	给定 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}$, 假设存在 $\lambda \in \mathbb{C}$, 使得 $T$ 满足如下的 Klein-Gordon 方程: $$\square T=\lambda T.$$证明, 如果 $\lambda \ne 0$, 令 $\ell$ 与 $-\ell$ 为 $\lambda$ 的两个平方根, 那么, $T\in C^{\infty }({\Omega }_1{)}^{\mathrm{inv}}$ 并且有如下的公式给出: $$T(x,y,z)=\frac{1}{a}\left(C_{+}{e}^{\ell a}+C_{-}{e}^{-\ell a}\right),$$其中 $C_{\pm }$ 为常数并且 $a=\sqrt{z^2-x^2-y^2}$. 当 $\lambda =0$ 时, $T$ 的表达式是什么?
B22)	接 B21), 假设 $\lambda \ne 0$. 我们将 $T$ 用 $0$ 在 ${\mathbb{R}}^3-{\Omega }_1$ 上进行延拓得到 $F_T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$. 证明, $F_T\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^3)$. 试确定 $\lambda \ne 0$, $C_{+}$ 和 $C_{-}$ 的值, 使得 $F_T\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$.
B23)	我们在 ${\mathbb{R}}^3$ 上定义开集$${\Omega }_2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z^2-x^2-y^2>0,z<0\},$$和$${\Omega }_3=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z^2-x^2-y^2<0\}.$$以上关于 $S_T$ 的理论显然可以推广到 ${\Omega }_2$ 上. 证明, 对任意的 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_3{)}^{\mathrm{inv}}$, 存在分布 $S_T\in {\mathcal{D}}^{\prime }((0,+\infty ))$, 使得对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }({\Omega }_3)$, $$⟨T,\phi ⟩=⟨S_T,{\chi }_{{}_{\phi }}⟩,$$其中$${\chi }_{{}_{\phi }}(a)=a{\int }_{H_{\alpha }}\phi \frac{d{\sigma }_{\alpha }}{r},\alpha =-a^2,a>0,$$这里 $d{\sigma }_{\alpha }$ 是 $H_{\alpha }$ 的曲面测度.
B24)	假设 $T=F\in C^0({\Omega }_3)$ 是不变的连续函数. 证明, $S_T$ 可以被如下的函数实现: 对任意的 $a>0$, $$S_T(a)=F(\vec{r}),\vec{r}=(x,y,z),$$其中, $\vec{r}$ 是任意的一个 $H_{-a^2}$ 上的点.
B25)	假设 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3{)}^{\mathrm{inv}}$ 并且满足 Klein-Gordon 方程: $$\square T=\lambda T.$$令 $\Omega ={\Omega }_1\cup {\Omega }_2\cup {\Omega }_3$. 证明, 存在函数 $F\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^3)$, 使得 $F\in C^{\infty }(\Omega )$ 并且$$T{|}_{\Omega }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}F{|}_{\Omega }.$$
B26)	我们在 ${\mathbb{R}}^3$ 上定义开集$${\Omega }_{13}=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z>\sqrt{x^2+y^2}\}={\Omega }_1\cup H_0^{+}\cup {\Omega }_3.$$ 证明, 对任意的 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_{13}{)}^{\mathrm{inv}}$, 存在分布 $v_T\in {\mathcal{D}}^{\prime }\left(\mathbb{R}\right)$, 使得对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }({\Omega }_{13})$, $$⟨T,\phi ⟩=⟨v_T,{\psi }_{{}_{\phi }}⟩,$$其中$${\psi }_{{}_{\phi }}(\alpha )=\frac{1}{2}{\int }_{H_{\alpha }}\phi \frac{d{\sigma }_{\alpha }}{r},\alpha \in \mathbb{R}.$$ 如果 $T=f(\alpha )$, 其中, $f$ 为连续函数, $\alpha =z^2-x^2-y^2$, 证明, $v_T=f(\alpha )$.
B27)	假设 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3{)}^{\mathrm{inv}}$ 并且满足 Klein-Gordon 方程: $$\square T=\lambda T.$$证明, B25) 中所构造的 $F$ 在 ${\Omega }_{13}$ 上的限制形如 $f(\alpha )$, 其中, $\alpha =z^2-x^2-y^2$, $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$. 进一步, 证明 $v_T=f(\alpha )$ 并且满足如下的微分方程$$4\alpha v_T^{\prime \prime }+6v_T^{\prime }-\lambda v_T=0.$$
B28)	给定分布 $v\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 如果对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 我们都有$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }⟨v,\phi \left(\frac{x}{\epsilon }\right)⟩=0,$$我们就称 $v$ 在 $0$ 处是正则的. 如果对于自然数 $n⩾1$, $x^n\cdot v$ 在 $0$ 处正则但是 $x^{n-1}\cdot v$ 在 $0$ 处不正则, 我们就说 $v$ 的正则次数为 $n$. 如果 $v$ 在 $0$ 处正则, 我们就说 $v$ 的正则次数为 $0$. 证明如下四个论断: ∘ 如果 $v\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$, 那么, $v$ 的正则次数为 $0$. ∘ 如果 $v\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 的正则次数为 $n$, 其中, $n⩾1$, 那么, $x\cdot v$ 的正则次数为 $n-1$. ∘ 如果 $v\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 的正则次数不超过 $n$, 其中 $n⩾0$, 那么, $v^{\prime }$ 的正则次数不超过 $n+1$. ∘ Dirac 分布的 $k$ 次导数 ${\delta }_0^{(k)}$ 的正则次数为 $k+1$.
B29)	假设 $T$ 与 $F$ 满足 B26) 与 B27), 证明, $$w=v_T-v_F$$是 ${\delta }_0$ 及其导数的线性组合.
B30)	证明, $w=0$. (提示: 考虑 $4\alpha w^{\prime \prime }+6w^{\prime }-\lambda w$)
B31)	证明, $T{|}_{{\mathbb{R}}^3-\{0\}}=F{|}_{{\mathbb{R}}^3-\{0\}}$.