59. 分布的操作: 限制, 求导及复合

分布的操作

在微积分的学习中, 我们可以对一个函数做特定的操作, 比如可以把一个函数限制到比较小的定义域上、可以对一个函数求导数、两个函数可以相乘等等. 我们现在讨论如何对分布做一些特定的操作.

分布的限制

假设 是开子集, 那么, 我们可以定义限制映射其中, 对于每个 , 它自然可以看作是 中的元素, 从而, 我们可以要求为了方便起见, 除了个别场合, 我们总是用 来直接表示 .

求偏导数

我们先考虑一个足够光滑的函数, 比如说, . 都是局部可积分的函数, 我们可以把它们视作是分布. 通过分部积分, 我们有这个计算启发我们对于 , 我们可以用下面的等式来定义它的导数:

定义 59.1. 假设 是有界开集, 给定 , 对于任意的多重指标 , 我们定义

我们必须说明 定义了 上的分布: 根据分布的定义, 对任意的紧集 , 存在非负整数 和正常数 ( 依赖于 ) , 使得对任意的 , 都有这表明我们对任意的分布都可以求导数, 即对任意的多重指标 , 我们有 (连续) 线性映射: 我们研究两个经典的例子:

例子 (Heaviside 函数). 我们定义 Heaviside 函数

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直观上, 这个函数在 之外的导数是 , 在 处函数有很大的跳跃, 导数应该是无穷大. 我们证明按照定义, 和我们有

例子. 我们考虑 上的 函数, 注意到我们证明, 作为分布, 有实际上, 我们注意到所以, 从而,

例子. 我们计算 上的 Dirac 函数 的导数, 其中 . 任给 , 我们有

-模结构

对光滑函数 和分布 , 我们可以定义它们的乘积 :其中, 是试验函数. 由于 仍然是 中的函数, 所以上面的等式是良好定义的. 为了说明 , 要对 来用分布的定义: 对任意的紧集 , 存在非负整数 和正常数 ( 依赖于 ) , 使得对任意的 , 都有根据 Leibniz 法则, 我们有所以, 这表明 .

例子. 我们有对任意的 , 我们知道 . 根据第一次作业题的 A6), 我们有这就证明了命题.

分布的平移和变量替换

对于 , 我们有如下的平移变换: 对于局部可积的函数 , 我们可以定义 (这是一种特殊的变量替换) : 如果将 视为是分布, 对于试验函数 而言, 我们有对于一般的分布 , , 我们定义容易验证, 给出了一个分布. 实际上, 我们稍后在进行变量替换的时候, 也会给出这个命题的证明.

下面的命题给出了在分布意义下方向导数的另一个 (直观) 刻画:

命题 59.2. 给定分布 , 给定向量 , 在分布意义下, 我们有

证明. 按照定义, 我们有根据带有积分余项的 Taylor 展开, 我们有由于 很小, 上述函数 的支撑集是紧的, 从而第一个等式的右边是良好定义的. 我们来证明在 中, 上述 的极限是 , 也就是说对任意的多重指标 , 我们有 : 根据 Lebesgue 控制收敛定理 (的推论, 积分与求导数可交换, 请参考上学期笔记) , 我们有其中, 最后一步我们用到了 Lagrange 中值定理. 再次利用 Lebesgue 控制收敛定理, 上面的极限为 . 命题得证.

给定 的两个开集 , 我们假定是微分同胚. 对任意一个 上的局部可积的函数 上的试验函数 , 根据换元积分公式, 我们有根据这个计算, 我们定义: 其中, 对于 , 对于我们定义 如下: 为了证明 的确定义了 上的一个分布, 我们利用定义: 对任意的紧集 , 存在非负整数 和正常数 ( 依赖于 ) , 使得对任意的 , 都有我们需要利用链式法则多次求导数. 重要的观察是上述导数最终给出 的不超过 次的导数的线性组合, 其中, 这些线性系数都是 的不超过 阶的导数的多项式. 由于我们限制在紧集 上, 所以这些系数是一致有界的 (这个界可能依赖于 ) , 从而, 通过改变一下上面不等式中的常数 , 我们最终得到

注记 (记号). 因为在光滑函数情况下, 就是函数的复合, 我们还把上面的拉回映射写成

给定微分同胚 , 它把 上的 Dirac 函数拉回, 得到 上的 Dirac 函数, 这给出了 Jacobi 行列式的一个精确的解释: 这是一点处体积的变化.

例子. 假设 , 并且 . 那么, 我们有实际上, 利用定义, 对于任意的 , 我们有很明显,

给定微分同胚 , 如果 的函数, 我们可以对求导数运算运用链式法则:对于一般的分布 , 我们实际上 (后来) 可以先用光滑函数逼近这个分布, 然后上面的链式法则在极限的情况下仍然成立.

我们现在给出一个直接的证明: 设 的逆映射. 按照分布与一个微分同胚的复合的定义, 我们有另外, 对任意 , 我们有根据 嵌入的单射性, 上面的等式等价于说从而这就证明如下关于分布的链式法则:

关于分布的 Stokes 公式

我们用分布的语言来表述 Stokes 公式. 我们上个学期证明了:

定理 59.3 (Stokes 公式). 假设 是一个有界带边光滑区域, 的单位外法向量, 上的曲面测度. 对任意的 , 我们有

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给定了上面 Stokes 公式中所述的 , 它的边界 的曲面测度 在如下的意义下定义了 上一个分布: 这是一个 阶的分布, 我们把证明的细节留给不放心的同学来验证. 类似地, 对每一个 , 如下的公式也定义了一个分布:

我们可以把 Stokes 公式改写成如下的形式: 所以, 用分布的语言来写, 我们有

定理 59.4 (Stokes 公式). 假设 是一个有界带边光滑区域, 的单位外法向量, 上的曲面测度, 作为分布, 我们有等式如果用向量值分布的语言 (可以望文生义地定义) 来写, 我们有

我们现在回到 1 维的情形, 此时的 Stokes 公式就是 Newton-Leibniz 公式.

引理 59.5. 对于 , 我们定义其原函数为那么,  是连续函数. 在分布的意义下, 我们有

证明. 为了证明 是连续的, 我们把它写成其中 是 Lebesgue 测度. 对任意的 , 我们知道 逐点地收敛到 , 利用 作为控制函数, Lebesgue 控制收敛定理告诉我们

我们用定义计算 . 对于任意的试验函数 , 我们有这里, 并且我们是利用了 Fubini 定理把它化成了 2 维的积分. 再次利用 Fubini 定理, 我们先对 积分再对 积分, 就有其中, 我们用到了 (因为 ) . 这就是说, 在分布的意义下, .