60. 分布的简单应用: Cauchy 积分公式

跳跃公式

上次课的最后利用 Fubini 定理, 我们证明了: 对于 $f(x)\in L^1((a,b))$, 我们定义其原函数为$$F(x)={\int }_a^{x}f(y)dy.$$那么, $F(x)$ 是连续函数. 在分布的意义下, 我们有$$F(x{)}^{\prime }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f(x).$$

引理 60.1. 给定分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }((a,b))$, 如果在分布的意义下 $u^{\prime }=0$, 那么, 在分布的意义下, $u$ 为常数, 即存在 $c\in \mathbb{C}$, 使得$$u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}c.$$

注记. 请参考第一学期的推论 15.1.

证明. 我们任意选定一个 $\chi \in C_0^{\infty }((a,b))$, 使得 ${\int }_a^b\chi (x)dx=1$. 令 $c=⟨u,\chi ⟩$.

对于任意一个试验函数 $\phi \in \mathcal{D}((a,b))$, 我们定义$$g(x)=\phi (x)-({\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (y)dy)\chi (x),$$那么, 我们有$${\int }_{\mathbb{R}}g(x)dx=0.$$我们定义函数$$\psi (x)={\int }_a^{x}g(y)dy.$$利用 $g$ 的积分消失的性质, 我们容易说明 (证明支集是紧的) $\psi \in \mathcal{D}((a,b))$. 特别地, 我们可以用 $\psi$ 作为试验函数. 由于 $u^{\prime }=0$, 所以$$\begin{array}{rl}0& =-⟨u,{\psi }^{\prime }⟩=-⟨u,\phi (x)-({\int }_{\mathbb{R}}\phi (y)dy)\chi (x)⟩\\ & =⟨u,\phi ⟩-c{\int }_{\mathbb{R}}\phi (x)dx.\end{array}$$所以, $$⟨u,\phi ⟩={\int }_{\mathbb{R}}c\cdot \phi (x)dx=⟨c,\phi ⟩.$$这说明, 作为分布, 我们有 $u=c$.

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综合上面的两个命题, 我们有如下的性质:

命题 60.2. 假定 $f\in L^1((a,b))$, 那么关于分布的常微分方程$$u^{\prime }=f$$在 ${\mathcal{D}}^{\prime }((a,b))$ 中所有的解均形如$$u=c+{\int }_a^{x}f(y)dy,$$其中 $c\in \mathbb{C}$ 为常数.

我们现在来证明所谓的跳跃公式:

定理 60.3 (跳跃公式). 给定连续函数 $g\in C(\mathbb{R})$, 我们假设它的分布导数 $g^{\prime }\in L_{loc}^1\left(\mathbb{R}\right)$. 那么, 对任意的 $-\infty <a<b<+\infty$, 在分布的意义下, 我们有$$\frac{d}{dx}(g(x)1_{(a,b)}(x))\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{g}^{\prime }(x)1_{(a,b)}(x)-g(b){\delta }_b+g(a){\delta }_a.$$

证明. 根据上一个命题, 我们有 (作为分布或者连续函数) $$g(x)=g(a)+{\int }_a^x{g}^{\prime }(y)dy.$$按定义, 对任意的试验函数 $\phi$, 我们还有$$\begin{array}{rl}⟨\frac{d}{dx}(g(x)1_{(a,b)}(x)),\phi ⟩& =-{\int }_a^{b}g(x){\phi }^{\prime }(x)dx\\ & =-g(a){\int }_a^b{\phi }^{\prime }(x)dx+{\int }_a^b\left[{\int }_a^x{g}^{\prime }(y)dy\right](-{\phi }^{\prime }(x))dx\\ & \stackrel{Fubini}{=}-g(a){\int }_a^b{\phi }^{\prime }(x)dx-{\int }_a^b\left[{\int }_y^b{\phi }^{\prime }(x)dx\right]g^{\prime }(y)dy\\ & =-g(a)\underset{\phi (b)-\phi (a)}{\underbrace{{\int }_a^b{\phi }^{\prime }(x)dx}}-\phi (b)\underset{g(b)-g(a)}{\underbrace{{\int }_a^b{g}^{\prime }(x)dx}}+{\int }_a^b\phi (y)g^{\prime }(y)dy.\end{array}$$将上面最后一行合并同类项即得.

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分布与 Stokes 理论的第一个应用: Cauchy 积分公式

考虑复平面 $\mathbb{C}$ 上的开区域 $\Omega$. 函数 (映射) $F$ 在 $\Omega$ 上定义并且在 $\mathbb{C}$ 中取值: $$F:\Omega \to \mathbb{C}$$我们假设 $F$ 是连续可微的 ($F\in C^1$) .

如果把 $F$ 视作是从 $\Omega$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的映射, 我们通常将它写作$$F(z)=F(x,y)=f(x,y)+ig(x,y).$$我们定义微分算子:$$\overline{\partial }=\frac{\partial }{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}\right).$$所以, $\overline{\partial }$ 对 $F$ 的作用为: $$\overline{\partial }F=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial y})+\frac{i}{2}(\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}).$$我们现在定义 $F$ 在复解析意义下的导数 (如果极限存在的话) : $$F^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}.$$其中, $z_0\in \Omega$ 是给定的一点.

定义 60.4. 如果 $F^{\prime }(z)$ 在 $\Omega$ 上处处有定义并且是连续函数, 我们就成称 $F$ 为 $\Omega$ 上的复解析函数.

我们现在证明

定理 60.5. 函数 $F:\Omega \to \mathbb{C}$ 是复解析函数当且仅当 $\overline{\partial }F=0$. 特别地, $F(x,y)=f(x,y)+ig(x,y)$ 在 $\Omega$ 上是复解析的当且仅当如下的偏微分方程组在 $\Omega$ 上成立$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial y}=0;\\ \frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0.\end{array}$$这个方程组是所谓的 Cauchy-Riemann 方程.

证明. 假设 $F$ 在 $z_0$ 处的复解析导数可定义, 我们令它为$$F^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}=a+bi.$$根据极限的定义, 当 $z\to z_0$ 时, 我们有$$F(z)-F(z_0)-F^{\prime }(z_0)(z-z_0)=o(|z-z_0|)$$把 $F$ 看作是从 $\Omega$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的映射, 用映射微分的语言来写 (参考上学期第一部分内容) , 我们有$$F(x,y)-F(x_0,y_0)-\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)=o(|x-x_0|+|y-y_0|),$$其中 $z=x+y\sqrt{-1}$, $z_0=x_0+y_0\sqrt{-1}$. 这表明矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ 是映射 $F$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的微分, 从而是这个映射在这个点处的 Jacobi 矩阵. 所以, $$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=\mathrm{Jacobi}\text{矩阵}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\end{array}\right).$$比较系数, 我们有$$\frac{\partial f}{\partial x}=a=\frac{\partial g}{\partial y}=0,\frac{\partial g}{\partial x}=b=-\frac{\partial f}{\partial y}=0.$$所以, Cauchy-Riemann 方程成立.

反之, 上述计算表明我们只要取$$F^{\prime }(z_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)$$作为极限$$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}$$的取值即可.

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我们现在研究 Cauchy-Riemann 方程的的基本解, 关于基本解这个概念我们后面会进一步阐明. 我们考虑在 $\mathbb{C}$ 上几乎处处定义的映射$$\mathbb{C}-\{0\},z\mapsto \frac{1}{z}.$$我们把这个复值函数就记作 $z^{-1}$ 或者 $\frac{1}{z}$. 由于 $\left|\frac{1}{z}\right|⩽\frac{1}{r}$, 其中, $r$ 为平面上的极坐标系中的半径函数, 根据换元积分公式, 我们很容易看出$$\frac{1}{z}\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{C}).$$

引理 60.6. 将 $\frac{1}{z}$ 视作是 $\mathbb{C}={\mathbb{R}}^2$ 上的分布. 那么, 在分布的意义下, 我们有$$\overline{\partial }\left(\frac{1}{\pi z}\right)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_0.$$特别地, 对于任意的 $z_0\in \mathbb{C}$, 我们有$$\overline{\partial }(\frac{1}{\pi (z-z_0)})={\delta }_{z_0}.$$用偏微分微分方程的语言来描述, $\frac{1}{\pi z}$ 为算子 $\overline{\partial }$ 的基本解.

在证明之前, 我们先陈述两个关于分布收敛的基本事实, 它们的证明留作的作业 (请参考第 2 次作业) :

•	假设 $\{f_p{\}}_{p⩾1}$ 是 $\Omega$ 上的一列局部可积的函数, $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$. 如果对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 我们有$$\underset{p\to }{\lim }{f}_p{|}_K\stackrel{L^1(K)}{=}f{|}_K,$$那么, 作为分布, 我们有$$\underset{p\to }{\lim }{f}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f.$$
•	假设 $\{u_p{\}}_{p⩾1}$ 是 $\Omega$ 上分布的序列, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$. 如果$$\underset{p\to }{\lim }{u}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}u.$$那么, 对任意的多重指标 $\alpha$, 在分布的意义下, 我们有$$\underset{p\to }{\lim }{\partial }^{\alpha }{u}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\partial }^{\alpha }u.$$

另外, 我们还有

•	对于任意的 $f\in C^{\infty }(\Omega )$ 和 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 对任意的 $k⩽n$, 我们有$${\partial }_k(f\cdot u)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\partial }_{k}f\cdot u+f\cdot {\partial }_{k}u.$$

证明也留作习题.

证明. 为此, 我们定义$$f_{\epsilon }(z)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\pi z},|z|⩾\epsilon ;\\ \\ \frac{\overline{z}}{\pi {\epsilon }^2},|z|<\epsilon .\end{array}$$所以, $$g_{\epsilon }(z)=f_{\epsilon }(z)-\frac{1}{\pi z}=1_{|z|<\epsilon }(z)\cdot \left(\frac{|z{|}^2-{\epsilon }^2}{\pi {\epsilon }^{2}z}\right).$$当 $\epsilon \to 0$ 时, $g_{\epsilon }$ 是逐点 (几乎处处) 收敛到 $0$ 的; 我们还可以用 $\frac{2}{\pi |z|}{1}_{|z|⩽1}(z)$ 作为 $\epsilon ⩽1$ 时的控制函数. 所以, 根据 Lebesgue 控制收敛定理, 我们有$$g_{\epsilon }(z)\stackrel{L^1}{⟶}0,\epsilon \to 0.$$所以, $$f_{\epsilon }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⟶}\frac{1}{\pi z},\epsilon \to 0.$$从而, $$\overline{\partial }{f}_{\epsilon }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⟶}\overline{\partial }\left(\frac{1}{\pi z}\right),\epsilon \to 0.$$现在我们来计算 $\overline{\partial }{f}_{\epsilon }$. 我们把 $f_{\epsilon }$ 写作$$f_{\epsilon }(z)=\frac{\overline{z}}{\pi {\epsilon }^2}\cdot 1_{|z|⩽\epsilon }(z)+\frac{1}{\pi z}\cdot 1_{|z|⩾\epsilon }(z).$$根据分布意义下的 Stoke 公式, 我们有$$\begin{array}{rl}\overline{\partial }{f}_{\epsilon }(z)& =\frac{1}{\pi {\epsilon }^2}\cdot 1_{|z|⩽\epsilon }(z)-\frac{\overline{z}}{\pi {\epsilon }^2}\cdot d{\sigma }_{|z|=\epsilon }+\frac{1}{\pi z}\cdot d{\sigma }_{|z|=\epsilon }\\ & =\frac{1}{\pi {\epsilon }^2}\cdot 1_{|z|⩽\epsilon }(z).\end{array}$$其中, 我们用到了$$\overline{\partial }(\overline{z})=1,\overline{\partial }\left(\frac{1}{z}\right)=0,z\ne 0.$$我们把这两个计算留作习题. 我们现在对$$\overline{\partial }{f}_{\epsilon }(z)=\frac{1}{\pi {\epsilon }^2}{1}_{|z|⩽\epsilon }(z),$$取极限. 我们发现这就是$$\frac{1}{{\epsilon }^2}h\left(\frac{1}{\epsilon }\right),h(z)=\frac{1}{\pi }{1}_{|z|⩽1}(z),$$的极限, 其中 $h\in L^1({\mathbb{R}}^2)$ 并且积分为 $1$. 根据我们之前已经学过的例子, 我们有$$\frac{1}{\pi {\epsilon }^2}{1}_{|z|⩽\epsilon }(z)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⟶}{\delta }_0,\epsilon \to 0.$$这就证明了引理.

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这个公式是所谓的 Cauchy 积分公式在一个点处的情况. 为了叙述 Cauchy 积分公式, 我们先讨论一下复变量 (复值) 函数在曲线上的积分.

假定 $\gamma :[0,a]\to \mathbb{C}$ 是一个分段光滑 ($C^1$) 的连续曲线, 也就是说, 存在 $t_0=0<t_1<t_2<\cdots <t_{n-1}<a=t_n$, 使得 $\gamma :(t_{k-1},t_k)\to \mathbb{C}$ 是 $C^1$ 的. 在每段上面, 我们有$$s\mapsto \gamma (s)=x(s)+iy(s).$$对于复函数 $F(z)$, 我们定义$$\begin{array}{rl}{\int }_{\gamma }F(z)dz& =\sum _{k=1}^n{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}F(\gamma (s)){\gamma }^{\prime }(s)ds\\ & =\sum _{k=1}^n({\int }_{t_{k-1}}^{t_k}F(\gamma (s))x^{\prime }(s)ds+i{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}F(\gamma (s))y^{\prime }(s)ds).\end{array}$$我们要区分一下这个定义与我们上学期定义的曲线积分的关系. 实际上, 如果我们假设 ${\gamma }^{\prime }(s)\ne 0$, 有$${\int }_{\gamma }F(z)d\sigma ={\int }_{\gamma }F(\gamma (s))|{\gamma }^{\prime }(s)|ds.$$所以, 这里的区别在于考虑的曲线的方向: 比如说, 我们考虑另一条曲线 ${\gamma }^{-1}$, 它是 $\gamma$ 沿着反方向来走, 即$${\gamma }^{-1}:[0,a]\to \mathbb{C},s\mapsto \gamma (a-s).$$那么, $${\int }_{\gamma }F(z)dz=-{\int }_{{\gamma }^{-1}}F(z)dz.$$

例子. 作为例子, 我们来计算$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=r_0}{z}^{k}dz,z\in \mathbb{Z},r_0>0.$$我们用$$[0,2\pi ]\to \mathbb{C},\vartheta \mapsto r_0{e}^{i\vartheta },$$来参数化 $|z|=r_0$, 所以, 我们有$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=r_0}{z}^{k}dz& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }(r_0{)}^k{e}^{ik\vartheta }(-r_0\sin \vartheta +r_{0}i\cos \vartheta )d\vartheta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }(r_0{)}^{k+1}{e}^{i(k\vartheta +1)}d\vartheta \\ & =\{\begin{array}{ll}1,& k=-1;\\ 0,& k\ne -1.\end{array}\end{array}$$

我们可以对一个复函数用 Green 公式. 假定紧集 $\Omega$ 的边界是 $\gamma$, 其中我们是按照逆时针或者顺时针来标记其方向的, 但是要求区域要在这个切向量的左手边.

我们用弧长参数来参数化边界曲线. 我们有$$\begin{array}{rl}{\int }_{\Omega }\overline{\partial }F(z)dxdy& =\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }\stackrel{\text{散度形式}}{\overbrace{\frac{\partial }{\partial x}F(z)+\frac{\partial }{\partial y}(iF(z))}}dxdy\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{\gamma }(F,iF)\cdot \underset{\text{外法向量}}{\underbrace{(-i)({\gamma }_x^{\prime }+i{\gamma }_y^{\prime })}}d\sigma \\ & =\frac{1}{2}{\int }_{\gamma }(F,iF)\cdot ({\gamma }_y^{\prime },-{\gamma }_x^{\prime })d\sigma \\ & =\frac{1}{2i}{\int }_{\gamma }F(z)dz.\end{array}$$

我们现在来证明 Cauchy 积分公式:

定理 60.7 (Cauchy 积分公式). 假设 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 是开集, $K\subset \Omega$ 是有界带边区域 (特别地, $K$ 是紧的) , 其边界 $\gamma =\partial K$ 是 $C^1$ 曲线 (可以有多个连通分支) . $F(z)$ 是 $\Omega$ 上的复解析函数. 那么, 对于 $z_0\in \mathring{K}$ ($K$ 的内部) , 我们有$$F(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{F(z)}{z-z_0}dz.$$

证明. 选取一个支集在 $z_0$ 附近小领域中的试验函数 $\theta$, 要求在 $\theta$ 在 $z_0$ 的一个邻域内恒为 $1$ 并且 $\mathrm{supp}(\theta )\subset \mathring{K}$. 利用上面的 Stokes 公式, 我们有$$\frac{1}{2i}{\int }_{\gamma }\frac{(1-\theta (z))F(z)}{z-z_0}dz={\int }_K\overline{\partial }\left(\right(1-\theta (z)\left)\frac{F(z)}{z-z_0}\right)dxdy.$$由于 $\mathrm{supp}(\theta )\subset \mathring{K}$, 所以 $1-\theta$ 在 $\gamma$ 上恒等于 $1$, 从而$$\frac{1}{2i}{\int }_{\gamma }\frac{F(z)}{z-z_0}dz={\int }_K\overline{\partial }\left(\right(1-\theta (z)\left)\frac{F(z)}{z-z_0}\right)dxdy.$$根据 Leibiniz 公式, 我们就有$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2i}{\int }_{\gamma }\frac{F(z)}{z-z_0}dz& ={\int }_K-\overline{\partial }\theta (z)\frac{F(z)}{z-z_0}dxdy+{\int }_K(1-\theta (z))\underset{\equiv 0}{\underbrace{\overline{\partial }\left(\frac{F(z)}{z-z_0}\right)}}dxdy\\ & =-⟨\frac{F(z)}{z-z_0},\overline{\partial }\theta (z)⟩=⟨\overline{\partial }\left(\frac{F(z)}{z-z_0}\right),\theta (z)⟩\\ & =\pi ⟨F(z_0){\delta }_{z_0},\theta (z)⟩=\pi F(z_0).\end{array}$$这就给出了证明.

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