作业: Dini 定理, 多项式逼近与 Weierstraß–Stone 定理

基本习题

习题 A: 积分定义的补充与扩展

我们总假设 是一个有界闭区间, 是一个赋范线性空间.

A1)

是两个分划. 证明, 对任意的 , 总存在分划 , 使得 , 并且它的步长 .

A2)

考虑在 中取值的阶梯/简单函数的空间 , 证明, 这是 -线性空间并且积分算子 是良好定义的 (不依赖于分划的选取) 并且是线性映射, 其中积分的定义方式与函数在 中取值时的方式一致. 据此, 用阶梯函数逼近的方式定义在 中取值的 Riemann 可积的函数. 你不需要写下细节但是你应该对照笔记研究原来证明的每一步.

A3)

假设 , 其中 的每个分量. 那么 当且仅当对每个分量 我们都有 . 特别地, 当 时, 我们有 , 其中 分别为 的实部和虚部.

A4)

试证明积分的区间可加性: 假设 , 那么对于任意的 , 我们有 上的限制都是阶梯函数, 并且

A5)

证明, 对于任意两个分划 , 它们所对应的 Darboux 上下和满足据此证明, 如果 , 就有 , 即对任意的 , 一定存在 , 对任意的分划 , 只要 , 我们就有

A6)

. 证明, 改变 在有限个点上的取值所得到的函数仍是 Riemann 可积的并且积分与 的相同.

A7)

. 假设对任意的 , 我们都有 并且存在点 使得 . 证明, .

A8)

(不定积分的分部积分公式: 对计算不定积分有用) 假设 , 那么, 我们有

A9)

(不定积分的变量替换公式: 对计算不定积分有用) 假设 可微, 是连续函数, 那么

习题 B: 不定积分的计算

试计算下列不定积分

思考题 W (重要结论, 不交作业, 鼓励讨论! ) : 多项式逼近和 Weierstrass–Stone 定理

我们要证明如下著名的定理: 任意给定有界闭区间 上的连续函数, 我们总是可以用一个多项式来足够好地逼近它. 更精确地说, 给定 , 对任意的 , 存在多项式 , 使得 , 即若用 表示 上多项式函数组成的空间, 则 在度量空间 中稠密 ( 上用的范数是 ) .

第一部分: Dini 定理及应用

W1)

(Dini 定理) 假设 是紧子集, 是一列连续函数, 它们逐点地收敛到连续函数 , 即对每个 , 我们都有 . 证明, 如果 是上升的函数列 (即对任意 , 我们都有 ) , 那么 一致收敛到 . (参考荆公子的某次习题课)

W2)

考虑区间 . 我们通过归纳的方式定义一族多项式函数:证明, 对任意的 , 我们都有 .

W3)

证明, 绝对值函数 上可以被多项式一致地逼近, 即对任意的 , 存在某个多项式函数 , 使得 .

第二部分: 区间上的情形

这一部分中, 我们假设 , 是正整数.

W4)

对任意的 , 我们定义 . 证明, .

W5)

任意给定 , 我们定义 . 对 , 证明,

W6)

(用 Bernstein 多项式逼近连续函数) 任意给定 , 证明, 对任意 , 总存在 , 使得 .

注记. 用概率论的观点, 给定, Bernstein 多项式逼近的的方法讲的是概率测度 的极限是 Dirac 测度 .

第三部分: 紧集上的情形

从此往后, 我们假设 是紧集, 上的实数值连续函数所构成的线性空间, 用 表示 上多项式函数组成的空间 (即形如 的函数, 其中 是正整数, 是多重指标, 请参见关于多重偏导数的课堂笔记) .

W7)

假设 是非零的线性子空间. 如果对任意的 , 它们的乘积 , 我们就把 称作是 的一个子代数. 证明, 的子代数.

W8)

非零的线性子空间 闭子代数, 也就是说如果 , 一致收敛到 , 那么 . 假设常值函数 , 证明, 如果 , 那么 . (提示: 利用 W3))

W9)

假设 是子集, 如果对任意的 , , 都存在 , 使得 , 我们就称 能够区分点的. 证明, 是能够区分点的.

W10)

假设 . 证明, 函数 都是连续的.

W11)

假设 是子集, 如果对任意的 , , 我们就称 -封闭的. 证明, -封闭的, 其中 中的闭包.

W12)

我们现在假设 -封闭的, 并且对任意的 , 任意的 , (我们此时假设 至少含有两个点) 都存在函数 , 使得 , .

我们通过下面的步骤来证明 是稠密的 (即对任意给定的连续函数 , 对任意的 , 总存在 , 使得 ) :

固定 , 对任意的 , 我们选取 , 使得 并且 , 这样我们得到一族 , 据此, 对每个 , 可以定义 . 证明, 存在有限个 , 使得 .

证明, 并且对任意的 , 我们都有 .

证明, 存在 , 使得对任意的 , 都有 .

W13)

证明, 如果子代数 是能够区分点的, -封闭的并且包含所有的常数值函数, 那么 是稠密的.

W14)

(Weierstrass–Stone 定理) 如果 是一个能区分点的子代数并且包含常值函数 , 那么 是稠密的.

注记. 我们还有一种复值函数的 Weierstrass–Stone 定理, 在很多的场合有着重要的应用, 有兴趣的同学可以自己查阅.

W15)

多项式函数 在连续函数空间 中是稠密的.

W16)

给定以 为周期的连续函数 . 证明, 任给 , 总存在一个有限的三角级数其中 是正整数, 是实数, 使得对任意的 , 我们都有 . (提示: 考虑 和它的某个子代数)