21. Lebesgue 定理

我们这一次给出 Riemann 可积性的最后一个刻画, 这就是所谓的 Lebesgue 定理.

振幅

假设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是一个函数, $x_0\in \mathbb{R}$, 我们定义 $f$ 在 $x$ 出的振幅 $\omega (f,x_0)$ 为$$\begin{gathered} \omega (f,x_0)=\underset{\delta >0}{\inf }\left(\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{|x-x_0|<\delta , \\ }{|y-x_0|<\delta }}{\sup }|f(x)-f(y)|\right)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{|x-x_0|<\delta , \\ }{|y-x_0|<\delta }}{\sup }|f(x)-f(y)|. \end{gathered}$$这个概念可以被推广到距离空间的范畴上, 假设 $f:X\to Y$ 是两个距离空间 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 之间的映射, 对于给定的 $x_0\in X$, 我们定义 $f$ 在 $x$ 处的振幅为: $$\begin{gathered} \omega (f,x_0)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x_0\in U}{ \\ U\text{是开集}}}{\inf }\mathrm{diam}(f(U)), \end{gathered}$$其中 $\mathrm{diam}V=\underset{y_1,y_2\in V}{\sup }{d}_Y(y_1,y_2)$ 为 $V$ 的直径.

例子. 我们有一个在一点处振幅很大的函数: $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin \left(\frac{1}{x}\right),& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$$很明显, $\omega (f,0)=2$. 我们自然知道 $f$ 在 $0$ 处是不连续的.

振幅消失实际上是连续性的刻画:

引理 21.1. $f:X\to Y$ 是距离空间 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 之间的映射. $f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $\omega (f,x_0)=0$.

证明. 假设 $f$ 在 $x_0$ 处连续, 那么, 对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 当 $d(x,x_0)<\delta$ 时 ($\iff x\in B(x_0,\delta )\subset X$) , 我们有 $d(f(x),f(x_0))<\epsilon$ ($\iff f(x)\in B(f(x_0),\epsilon )\subset Y$) . 所以, 对于开集合 $U=B(x_0,\delta )$ 而言, $f(U)\subset B(f(x_0),\epsilon )\subset Y$, 从而 $\mathrm{diam}f(U)<2\epsilon$. 由于 $\epsilon$ 是任意选取的, 所以 $\omega (f,x_0)=0$.

反过来, 假设 $\omega (f,x_0)=0$, 即 $$\begin{gathered} \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x_0\in U}{ \\ U\text{是开集}}}{\inf }\mathrm{diam}(f(U))=0 \end{gathered}$$, 所以对于任意的 $\epsilon >0$, 存在包含 $x_0$ 的开集 $U\subset X$, 使得$$\mathrm{diam}(f(U))<\epsilon .$$由于 $U$ 是开集, 所以存在 $\delta >0$, 使得 $B(x_0,\delta )\subset U$, 从而 $\mathrm{diam}f(B(x_0,\delta ))<\epsilon$, 所以 $d(x,x_0)<\delta$ 时 ($\iff x\in B(x_0,\delta )$) , $d_Y(f(x),f(x_0))⩽\mathrm{diam}f(B(x_0,\delta ))<\epsilon$. 这表明 $f$ 在 $x_0$ 处连续.

$\square$

对于不连续点, 我们有如下的刻画:

引理 21.2. $f:X\to Y$ 是距离空间 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 之间的 (任意) 映射. 对任意 $\epsilon >0$, 集合 ${\Omega }_{\epsilon }(f)=\{x\in X|\omega (f,x)⩾\epsilon \}$ 是 $X$ 中的闭集.

证明. 按照闭集的定义, 只需要说明它的补集 $X-{\Omega }_{\epsilon }(f)=\{x\in X|\omega (f,x)<\epsilon \}$ 为开集即可. 首先, 我们注意到 $x_0\in X-{\Omega }_{\epsilon }(f)$ 等价于存在包含 $x_0$ 的开集 $U$, 使得 $\mathrm{diam}f(U)<\epsilon$. 据此, 我们知道, 对于任意的 $x\in U$, 利用 $\mathrm{diam}f(U)<\epsilon$, 所以 $x\in X-{\Omega }_{\epsilon }(f)$, 即 $U\subset X-{\Omega }_{\epsilon }(f)$. 这说明 $X-{\Omega }_{\epsilon }(f)$ 是开集.

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零测集

我们现在在 $\mathbb{R}$ 上定义所谓的测度为零的集合 (你可以认为这是所谓的长度为零的集合) . 首先, 给定一个有限区间 $I$, 我们定义 $|I|$ 为其长度, 即右端点减掉左端点的值.

定义 21.3. $X\subset \mathbb{R}$ 是子集, 如果对任意的 $\epsilon >0$, 总存在可数个有界闭区间 $\{I_k{\}}_{k⩾1}$, 使得 $X\subset \bigcup _{k⩾1}{I}_k$ 并且 $\sum _{k=1}^{\infty }|I_k|<\epsilon$, 我们就称 $X$ 是一个零测集.

注记. 我们可以将定义中的有界闭区间换成有界开区间, 这样定义出的零测集与上述定义的是一致的. 实际上, 如果接受第二种定义, 假设对任意的 $\epsilon >0$, 存在开区间 $\{I_k{\}}_{k⩾1}$, 使得$$X\subset \bigcup _{k⩾1}{I}_k,\sum _{k=1}^{\infty }|I_k|<\epsilon .$$此时, 我们可以选取闭区间 $\{\overline{I_k}{\}}_{k⩾1}$, 我们自然有$$X\subset \bigcup _{k⩾1}\overline{I_k},\sum _{k=1}^{\infty }|I_k|=\sum _{k=1}^{\infty }|\overline{I_k}|<\epsilon .$$反之, 如果接受第一种定义, 假设对任意的 $\epsilon >0$, 存在有界闭区间 $\{K_k{\}}_{k⩾1}$, 使得$$X\subset \bigcup _{k⩾1}{K}_k,\sum _{k=1}^{\infty }|K_k|<\epsilon .$$假设 $K_k=[a_k,b_k]$, 我们令 $I_k=(a_k-\frac{1}{2^{k+1}}\epsilon ,b_k+\frac{1}{2^{k+1}}\epsilon )$, 那么开区间 $I_k$ 的长度为 $|K_k|+\frac{\epsilon }{2^k}$, 所以$$\sum _{k=1}^{\infty }|I_k|<\sum _{k=1}^{\infty }|K_k|+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\epsilon }{2^k}=2\epsilon .$$所以, 我们可以选取开区间 $\{I_k{\}}_{k⩾1}$ 来覆盖 $X$.

命题 21.4. 可数个零测集的并集仍然是零测集. 特别地, 可数集是零测集.

证明. 假设 $\{X_k{\}}_{k⩾1}$ 是零测集, 按照定义, 对于每个 $X_k$ 而言, 对任意的 $\frac{\epsilon }{2^k}$, 存在有界闭区间的集合 $\{I_{k,i}{\}}_{i⩾1}$, 使得$$X_k\subset \bigcup _{i⩾1}{I}_{k,i},\sum _{i=1}^{\infty }|I_{k,i}|<\frac{\epsilon }{2^k}.$$所以, 这一些 $\{I_{k,i}{\}}_{k,i⩾1}$ 可以作为 $\bigcup _{k⩾1}{X}_k$ 的覆盖的闭区间$$\bigcup _{k⩾1}{X}_k\subset \bigcup _{k⩾1}\bigcup _{i⩾1}{I}_{k,i}.$$它们的总长度满足$$\sum _{i,k=1}^{\infty }|I_{k,i}|<\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\epsilon }{2^k}=\epsilon .$$所以, $\bigcup _{k⩾1}{X}_k$ 是零测集.

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Lebesgue 定理

我们用上面的工具来研究 Riemann 可积函数 ($f$ 可以在一个赋范线性空间中取值) :

引理 21.5 (关键的引理). 假设 $f\in \mathcal{R}([a,b])$, 对任意的 $\epsilon >0$, $${\Omega }_{\epsilon }(f)=\{x\in X|\omega (f,x)⩾\epsilon \}$$是零测集.

证明. 任意给定正常数 $\delta >0$, 根据 Riemann 积分的定义, 我们找两个阶梯函数 $F$ 和 $\psi$, 使得它们都对应着相同的分划 $\sigma =\{a_0<a_1<\cdots <a_n\}$ 并且$$|f(x)-F(x)|⩽\psi (x),{\int }_a^b\psi <\delta \epsilon .$$我们将区间 $[a_i,a_{i+1}]$ 分成两类:

•	$\psi$ 在 $[a_i,a_{i+1}]$ 上的取值小于 $\frac{1}{2}\epsilon$. 在这一类区间上面, 我们来研究 $f$ 的振幅, 其中 $x,y\in [a_i,a_{i+1}]$: $$\begin{array}{rl}|f(x)-f(y)|& ⩽|f(x)-F(x)|+|f(y)-F(y)|+\underset{=0}{\underbrace{|F(x)-F(y)|}}\\ & ⩽|\psi (x)|+|\psi (y)|<\epsilon .\end{array}$$据此, 我们知道 ${\Omega }_{\epsilon }(f)$ 与此类区间内部的交集为空集.
•	$\psi$ 在 $[a_i,a_{i+1}]$ 上的取值大于等于 $\frac{1}{2}\epsilon$. 我们将这些小区间记作 $I_1,\cdots ,I_m$. 按照上面的推理, 这一类区间覆盖了 ${\Omega }_{\epsilon }(f)$. 根据不等式 ${\int }_a^b\psi <\delta \epsilon$, 我们知道$$\sum _{j⩽m}\frac{1}{2}\epsilon |I_j|⩽{\int }_a^b\psi <\delta \epsilon$$从而, $|I_j|$ 的长度总和小于 $2\delta$.

由于 $\delta$ 是任意选取的并且 ${\Omega }_{\epsilon }(f)\subset \bigcup _{i=1}^n{I}_m$, 所以 ${\Omega }_{\epsilon }(f)$ 是零测集.

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由于 $f$ 在 $x$ 处连续当且仅当 $\omega (f,x)=0$, 从而 $f$ 的不连续点具有如下的刻画: $$\{x\in I|f\text{在}x\text{处不连续}\}=\bigcup _{n⩾1}{\Omega }_{\frac{1}{n}}(f).$$所以, 如果 $f\in \mathcal{R}(I)$, 那么 $f$ 的不连续点的集合是零测集 (因为可数个零测集的并集还是零测集) .

我们现在来证明 Lebesgue 定理, 它给出了 Riemann 可积函数和连续函数之间的基本关联:

定理 21.6 (Lebesgue). $f\in \mathcal{R}([a,b])$ 当且仅当 $f$ 有界并且其不连续点所构成的集合是零测集.

证明. 上面的引理证明了必要性. 对于充分性, 我们做如下的准备工作:

•	选取 $M>0$, 使得对任意的 $x\in [a,b]$, 都有 $|f(x)|⩽M$.
•	令$$A={\Omega }_{\frac{\epsilon }{2(b-a)}}(f)=\{x\in [a,b]|\omega (f,x)⩾\frac{\epsilon }{2(b-a)}\}.$$那么, $A$ 是一个闭集也是一个零测集. 由于 $A$ 有界, 它还是一个紧集.

对于 $A$, 由于它是零测集, 所以可以选取可数个开区间 ${I_i}_{i⩾1}$ 作为 $A$ 的一个开覆盖, 并且它们的总长度小于 $\frac{\epsilon }{2M}$, 即$$\sum _{i=1}^{\infty }|I_i|<\frac{\epsilon }{2M}.$$根据 $A$ 的紧性, 存在有限个小区间 $I_1,\cdots ,I_m$, 使得 $A\subset U=I_1\cup \cdots \cup I_m$, 我们自然还有$$\sum _{i=1}^m|I_i|<\frac{\epsilon }{2M}.$$令 $K=I-U=I\cap (X-U)$. 这是两个闭集的交集, 所以是闭集. 另外, $K$ 是有界的, 所以 $K$ 是紧集. 对任意的 $y\in K$, 按照振幅的定义, 都存在包含 $y$ 的开区间 $J_y$, 使得对任意的 $t_1,t_2\in J_y$, 我们都有$$|f(t_1)-f(t_2)|⩽\frac{\epsilon }{2(b-a)}.$$利用紧性, 我们能找到有限个小区间 $J_{y_1},\cdots ,J_{y_{\ell }}$, 使得 $K\subset V=J_{y_1}\cup \cdots \cup J_{y_{\ell }}$.

我们现在将 $I_1,\cdots ,I_m$ 和 $J_{y_1},\cdots ,J_{y_{\ell }}$ 的端点按照大小顺序排成一列, 加上 $a$ 和 $b$, 就得到了 $[a,b]$ 的一个分划 $a_0<a_1<\cdots <a_{n-1}<a_n$. 所以, 每个小区间 $[a_i,a_{i+1}]$ 要么完全落在某个 $I_i$ 中, 要么完全落在某个 $J_{y_j}$ 中. 我们现在构造阶梯函数 $F$ 和 $\psi$ 来逼近 $f$: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=\text{某个}{a}_i;\\ 0,& x\in (a_i,a_{i+1})\text{并且}(a_i,a_{i+1})\text{包含在某个}{I}_j\text{中};\\ f(\frac{a_i+a_{i+1}}{2}),& x\in (a_i,a_{i+1})\text{但是}(a_i,a_{i+1})\text{不包含在任何}{I}_j\text{中}.\end{array}$$以及$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}M,& x=\text{某个}{a}_i;\\ M,& x\in (a_i,a_{i+1})\text{并且}(a_i,a_{i+1})\text{包含在某个}{I}_j\text{中};\\ \frac{\epsilon }{2(b-a)},& x\in (a_i,a_{i+1})\text{但是}(a_i,a_{i+1})\text{不包含在任何}{I}_j\text{中}.\end{array}$$按照定义, 我们有 $|f(x)-F(x)|⩽\psi (x)$. 为此, 我们只需要分情况讨论, 在上面前两种情况下, 这是显然的; 如果 $x\in (a_i,a_{i+1})\text{但是}(a_i,a_{i+1})\text{不包含在任何}{I}_j\text{中}$, 那么, 存在 $j_0$, 使得 $x\in J_{j_0}$, 特别地, $x,\frac{a_i+a_{i+1}}{2}\in J_{j_0}$, 从而, 根据 $J$-型区间的定义, 我们有$$|f\left(\frac{a_i+a_{i+1}}{2}\right)-f(x)|<\frac{\epsilon }{2(b-a)}.$$这就是 $|f(x)-F(x)|⩽\psi (x)$. 最终, 我们验证 ${\int }_a^b\psi ⩽\epsilon$: $$\begin{array}{rl}{\int }_a^b\psi & ⩽\sum _{i=1}^m|I_i|\times M+(b-a)\times \frac{\epsilon }{2(b-a)}\\ & ⩽\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .\end{array}$$这就证明了 $f$ 是 Riemann 可积的.

$\square$