76. 位势方程的解与椭圆正则性

作为这些函数空间理论的应用, 我们可以精确地叙述 Dirichlet 边值问题 (指的是边界值为 $0$) : 对于光滑的带边区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, 对任意的 $f\in H^{-1}(\Omega )$, 我们已经证明了存在 $u\in H_0^1(\Omega ))$, 使得$$-△u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f.$$根据我们对 $\mathrm{Res}$ 的了解, 我们知道$$u{|}_{\partial \Omega }:=\mathrm{Res}(u)=0.$$所以, 我们证明了如下的定理:

定理 76.1. 对于有界光滑的带边区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, 对任意的 $f\in H^{-1}(\Omega )$, 存在唯一的 $u\in H^1(\Omega ))$ 解如下的 Dirichlet 边值问题$$\{\begin{array}{l}-△u=f,\\ u{|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$$

我们还有如下关于边值问题的定理:

定理 76.2. 对于有界光滑的带边区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, 对任意的 $g\in H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$, 存在唯一的 $u\in H^1(\Omega ))$, 使得$$\{\begin{array}{l}-△u=0,\\ u{|}_{\partial \Omega }=g.\end{array}$$

证明. 由于$$\mathrm{Res}:H^1(\Omega )\twoheadrightarrow H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$$是满射, 我们选取 $v\in H^1(\Omega )$, 使得 $v{|}_{\partial \Omega }=g$. 所以, 上述的问题转化为求解$$\{\begin{array}{l}-△\tilde{u}=\tilde{f},\\ \tilde{u}{|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$$其中, $\tilde{u}=u-v$, $\tilde{f}=△v\in H^{-1}(\Omega )$. 此时, 我们运用 Dirichlet 边值问题的结论即可.

$\square$

定理 76.3 (位势方程的椭圆正则性定理). $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界光滑带边区域, $k⩾1$ 是整数. 假设 $u\in H^1(\Omega )$ 满足如下的边值问题: $$\{\begin{array}{l}-△u=f,\\ u{|}_{\partial \Omega }=g.\end{array}$$如果 $f\in H^{k-1}(\Omega )$ 并且 $g\in H^{k+\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$, 那么, $u\in H^{k+1}(\Omega )$.

证明. 我们先对问题做如下的化简:

•

约化为 Dirichlet 边值: 根据我们限制的正合列, 我们可以选取 $\tilde{g}\in H^{k+1}(\Omega )$, 使得 $\tilde{g}{|}_{\partial \Omega }=g$. 通过考虑 $u-\tilde{g}$ (特别地, $△\tilde{g}\in H^{k-1}(\Omega )$) , 我们可以在这个问题中假设 $g\equiv 0$.

•

局部化: 我们可以假设 $u$ 的支集很小. 实际上, 我们可以选取之前用过的 $\Omega$ 的开覆盖以及相应的单位分解 $\{{\chi }_j{\}}_{j⩽N}$, 只要说明 ${\chi }_j\cdot u\in H^{k+1}(\Omega )$ 即可, 这是因为, 此时我们仍有$${\chi }_j\cdot u{|}_{\partial \Omega }=0$$并且$$-△({\chi }_j\cdot u)=-{\chi }_j\cdot f-2\nabla {\chi }_j\cdot \nabla u-{\chi }_j\cdot △u.$$我们之后的证明是对 $k$ 进行归纳. $k=0$ 这个命题是成立的, 如果我们假设了对于一切 $⩽k-1$ 的整数命题成立, 此时, 利用归纳假设, $u\in H^k(\Omega )$, 所以, $\nabla {\chi }_j\cdot \nabla u,{\chi }_j\cdot △u\in H^{k-1}$, 我们仍然有$$-△({\chi }_j\cdot u)\in H^{k-1},$$所以, 我们只要对这种情况进行证明即可.

我们现在假设 $\mathrm{supp}(u)\subset U$, 其中 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是一个开集. 利用局部化的结论, 我们只要考虑两种情况: $U\cap \partial \Omega =\varnothing$; $U$ 是某个边界点处的开集. 第一种情况的证明可以被第二种情况的证明过程所包含 (请在下面的证明中注意这一点) , 所以我们只考虑第二种情况.

此时, 我们选取微分同胚 $\Phi :U\cap \Omega \to V_{+}\subset {\mathbb{H}}^n$, 我们要把问题转化为半空间上的问题 (下面的证明是非常值得推敲) .

我们令 $v=u\circ {\Phi }^{-1}$, 那么, $u\in H^{k+1}(\Omega )$ 等价于 $v\in H^{k+1}(V_{+})$. 然而, 我们注意到, 此时, 方程的形式发生了很大的变化: $v$ 在分布的意义下所满足的方程为$$\sum _{1⩽i,j⩽N}{\delta }^{ij}{\partial }_i{\partial }_{j}v(\Phi (x))=f(\Phi (x)),$$亦即$$\sum _{1⩽i,j⩽n}{\delta }^{ij}\sum _{1⩽k,l⩽n}\left(\frac{\partial {\Phi }^k}{\partial x^i}(\Phi (x))\frac{\partial {\Phi }^l}{\partial x^i}(\Phi (x))\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_k\partial y_l}(\Phi (x))+\frac{{\partial }^2{\Phi }^k}{\partial x^i\partial x^j}(\Phi (x))\frac{\partial v}{\partial y_k}(\Phi (x))\right)=f(\Phi (x)).$$这是一个变系数的二阶微分方程, 它看起来很不友好. 实际上, 我们对与问题的理解都是在分布意义下的, 所以, 我需要在分布意义下 (或者变分意义下) 理解解的变化, 上面的复杂方程实际上对我们没有用处.

我们的解有如下刻画: 对任意的 $\phi \in H_0^1(\Omega )$, 我们都有$${\int }_{\Omega }\nabla u(x)\cdot \overline{\nabla \phi (x)}dx={\int }_{\Omega }f(x)\overline{\phi (x)}dx.$$通过转换为 $V_{+}$ 上 $y$ 的坐标系并且令 $\psi (y)=\phi ({\Phi }^{-1}(y))$, 我们有$${\int }_{V^{+}}{\nabla }_k(v\circ \Phi (x))\cdot {\nabla }_k(\psi \circ \Phi (x))|{\mathrm{Jac}}_{{\Phi }^{-1}}(y)|dy={\int }_{V^{+}}f({\Phi }^{-1}(y))\phi ({\Phi }^{-1}(y))|{\mathrm{Jac}}_{{\Phi }^{-1}}(y)|dy.$$即$$\sum _{1⩽j,k,l⩽n}{\int }_{V^{+}}\frac{\partial {\Phi }^k(x)}{\partial x_j}\frac{\partial {\Phi }^l(x)}{\partial x_j}\frac{\partial v(y)}{\partial y_k}\overline{\frac{\partial \psi (y)}{\partial y_l}}|{\mathrm{Jac}}_{{\Phi }^{-1}}(y)|dy={\int }_{V^{+}}f({\Phi }^{-1}(y))\overline{\phi ({\Phi }^{-1}(y))}|{\mathrm{Jac}}_{{\Phi }^{-1}}(y)|dy.$$我们令$$\begin{array}{rl}{b}^{kl}(y)& =\sum _{1⩽j⩽n}\frac{\partial {\Phi }^k({\Phi }^{-1}(y))}{\partial x_j}\frac{\partial {\Phi }^l({\Phi }^{-1}(y))}{\partial x_j}|{\mathrm{Jac}}_{{\Phi }^{-1}}(y)|\in C^{\infty }(V_{+}),\\ F(y)& =f({\Phi }^{-1}(y))|{\mathrm{Jac}}_{{\Phi }^{-1}}(y)|\in H^{k-1}(V_{+}),\end{array}$$我们有$$\boxed{\sum _{1⩽k,l⩽n}{\int }_{V^{+}}{b}^{kl}(y)\frac{\partial v(y)}{\partial y_k}\overline{\frac{\partial \psi (y)}{\partial y_l}}dy={\int }_{V^{+}}F(y)\overline{\psi (y)}dy,}$$其中, 上面的等式对任意的 $\psi (y)\in H_0^1(V_{+})$ 都成立, 这是因为 $\psi (y)=\phi ({\Phi }^{-1}(y))$ 可以表示任意 $H_0^1(V_{+})$ 中的元素. 上面的方框是我们对换坐标之后的表述. 我们把方框的左边用一个二次型来记: $$B(v,\psi )=\sum _{1⩽k,l⩽n}{\int }_{V^{+}}{b}^{kl}(y)\frac{\partial v(y)}{\partial y_k}\overline{\frac{\partial \psi (y)}{\partial y_l}}dy$$另一个重要的观察是矩阵 ${\left(b^{kl}\right)}_{1⩽k,l⩽n}$ 是正定矩阵, 实际上, $$\left(b^{kl}\right)={}^t\left(\mathrm{Jac}(\Phi )\right)\cdot I\cdot \left(\mathrm{Jac}(\Phi )\right).$$所以, 存在常数 $c>0$, 使得 $\left(b^{kl}(y)\right)$ 的所有特征值都至少是 $c$ (对任意的 $y\in V_{+}$ 成立) . 这是问题所谓的椭圆性. 特别地, 对于 $w\in H_0^1(V_{+})$, 我们就有$$B(w,w)⩾c\Vert w{\Vert }_{H_0^1}^2.$$

我们现在来证明 $v$ 的正则性, 我们先对 $k=1$ 来证明 ($k=0$ 的情况已经完成) , 然后对 $k$ 进行归纳. 我们要证明 $v\in H^2(V_{+})$. 这个证明的方法通常被称作是差分方法.

我们考虑平行方向的导数 ${\partial }_{y_j}v(y^{\prime },y_n)$, 其中, $j⩽n-1$ (当 $j=n$ 时, 我们将利用方程的结构) . 不妨假设 $j=1$, 那么, 根据分布的知识, 我们知道$${\partial }_{1}v\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\tau }_{t}v-v}{t},$$其中, $${\tau }_{t}v(y_1,\cdots ,y_{n-1},y_n)=v(y_1+t,\cdots ,y_{n-1},y_n).$$我们的目标是控制 $\Vert {\partial }_{1}v{\Vert }_{H^1}$ (从而, $v$ 才可能落在 $H^2$ 中) .

我们要把 $\frac{{\tau }_{t}v-v}{t}$ 代入到方框中的方程里, 所以, 我们先计算$$\begin{array}{rl}B({\tau }_{t}v,\psi )& =\sum _{1⩽k,l⩽n}{\int }_{V^{+}}{b}^{kl}(y)\frac{\partial v(y_1+t,\cdots )}{\partial y_k}\overline{\frac{\partial \psi (y)}{\partial y_l}}dy\\ & =\sum _{1⩽k,l⩽n}{\int }_{V^{+}}{b}^{kl}(y_1-t,\cdots )\frac{\partial v(y)}{\partial y_k}\overline{\frac{\partial \psi (y_1-t,\cdots )}{\partial y_l}}dy\\ & =\sum _{1⩽k,l⩽n}{\int }_{V^{+}}{b}^{kl}(y)\frac{\partial v(y)}{\partial y_k}\overline{\frac{\partial {\tau }_{-t}\psi (y)}{\partial y_l}}dy\\ & +\sum _{1⩽k,l⩽n}{\int }_{V^{+}}\left({\tau }_{-t}{b}^{kl}(y)-b^{kl}(y)\right)\frac{\partial v(y)}{\partial y_k}\overline{\frac{\partial {\tau }_{-t}\psi (y)}{\partial y_l}}dy.\end{array}$$从而, $$\begin{array}{rl}B\left(\frac{{\tau }_{t}v-v}{t},\psi \right)& =B\left(v,\frac{{\tau }_{-t}\psi -\psi }{t}\right)+\underset{I_t}{\underbrace{\sum _{1⩽k,l⩽n}{\int }_{V^{+}}\left({\tau }_{-t}{b}^{kl}(y)-b^{kl}(y)\right)\frac{\partial v(y)}{\partial y_k}\overline{\frac{\partial {\tau }_{-t}\psi (y)}{\partial y_l}}dy}}.\end{array}$$利用 $b$ 的光滑性, $v,\psi \in H^1$ 以及 Cauchy-Schwarz 不等式, 我们得到如下的一致估计: $$|I_t|⩽C\Vert v{\Vert }_{H^1}\Vert \psi {\Vert }_{H^1}.$$所以, 根据$$B\left(v,\frac{{\tau }_{-t}\psi -\psi }{t}\right)={\int }_{V_{+}}F(y)\overline{\frac{{\tau }_{-t}\psi (y)-\psi (y)}{t}}dy,$$我们就有$$\begin{array}{rl}B\left(\frac{{\tau }_{t}v-v}{t},\psi \right)& ⩽\left|B\left(v,\frac{{\tau }_{-t}\psi -\psi }{t}\right)\right|+I_t\\ & ⩽C\left(\Vert v{\Vert }_{H^1}\Vert \psi {\Vert }_{H^1}+\Vert F{\Vert }_{L^2}{\Vert \frac{{\tau }_{-t}\psi (y)-\psi (y)}{t}\Vert }_{L^2}\right).\end{array}$$利用 Fourier 变换, 我们有$$\begin{array}{rl}{\Vert \frac{{\tau }_{-t}\psi (y)-\psi (y)}{t}\Vert }_{L^2}^2& ⩽{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|\frac{e^{it{\xi }_1}-1}{t}\right|}^2|\hat{\psi }(\xi ){|}^{2}d\xi \\ & ⩽{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|{\xi }_1{|}^2|\hat{\psi }(\xi ){|}^{2}d\xi ⩽\Vert \psi {\Vert }_{H_0^1}^2.\end{array}$$从而, 对任意的 $\psi \in H_0^1(V_{+})$, 我们都有如下的不等式$$\begin{array}{rl}B\left(\frac{{\tau }_{t}v-v}{t},\psi \right)& ⩽C\left(\Vert v{\Vert }_{H^1}+\Vert F{\Vert }_{L^2}\right)\Vert \psi {\Vert }_{H_0^1}.\end{array}$$由于 $v\in H_0^1(V_{+})$, 我们知道 $\frac{{\tau }_{t}v-v}{t}\in H_0^1(V_{+})$, 我们在上面把 $\psi$ 取成 $\frac{{\tau }_{t}v-v}{t}$, 利用椭圆性, 我们就有$$c{\Vert \frac{{\tau }_{t}v-v}{t}\Vert }_{H_0^1}^2⩽C\left(\Vert v{\Vert }_{H^1}+\Vert F{\Vert }_{L^2}\right){\Vert \frac{{\tau }_{t}v-v}{t}\Vert }_{H_0^1}.$$从而, 存在常数 $C^{\prime }$, 使得对任意的 $t$, 我们都有$${\Vert \frac{{\tau }_{t}v-v}{t}\Vert }_{H_0^1}⩽C^{\prime }\left(\Vert v{\Vert }_{H^1}+\Vert F{\Vert }_{L^2}\right).$$为了让 $t\to 0$, 我们考虑配对$$\left|⟨\frac{{\tau }_t{\partial }_{k}v-{\partial }_{k}v}{t},\psi ⟩\right|⩽\Vert \frac{{\tau }_t{\partial }_{k}v-{\partial }_{k}v}{t}{\Vert }_{L^2}\Vert \psi {\Vert }_{L^2}⩽C\Vert \psi {\Vert }_{L^2},$$其中, $\psi$ 是试验函数, $k⩽n$. 从而, 当 $t\to 0$ 时 (此时在分布的意义下有极限) , 我们得到$$\left|⟨{\partial }_1{\partial }_{k}v,\psi ⟩\right|⩽C\Vert \psi {\Vert }_{L^2}.$$根据 Riesz 表示定理, ${\partial }_1{\partial }_{k}v\in L^2(V_{+})$.

综合上述, 我们证明 ${\partial }_j{\partial }_{k}v\in L^2(V_{+})$, 其中 $j\ne n$. 我们现在证明 ${\partial }_n{\partial }_{n}v\in L^2(V_{+})$: 注意到, $v$ 所满足的方程为$$\sum _{1⩽i,j⩽n}{\delta }^{ij}\sum _{1⩽k,l⩽n}\left(\frac{\partial {\Phi }^k}{\partial x^i}(\Phi (x))\frac{\partial {\Phi }^l}{\partial x^i}(\Phi (x))\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_k\partial y_l}(\Phi (x))+\frac{{\partial }^2{\Phi }^k}{\partial x^i\partial x^j}(\Phi (x))\frac{\partial v}{\partial y_k}(\Phi (x))\right)=f(\Phi (x)).$$利用矩阵 $\left(b^{kl}\right)$, 我们有$$\sum _{1⩽k,l⩽n}\left(b^{kl}(y)\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_k\partial y_l}(y)+\underset{\in L^2}{\underbrace{\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2{\Phi }^k}{\partial x_i^2}\left(y\right)\frac{\partial v}{\partial y_k}\left(y\right)}}\right)=\underset{\in L^2}{\underbrace{f(y)}}.$$所以, $$b^{nn}(y)\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_n^2}(y)+\sum _{k,l\ne (n,n)}{b}^{kl}(y)\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_k\partial y_l}(y)\in L^2.$$由于 ${\partial }_j{\partial }_{k}v\in L^2(V_{+})$, 其中 $j\ne n$ 并且 $\left(b^{kl}\right)$ 的正定性意味着 $b^{nn}(y)$ 是有正的下界的光滑函数, 所以 ${\partial }_n^{2}v\in L^2(V_{+})$.

这就完成了 $k=1$ 的情况的证明.

对于一般的 $k$, 我们进行归纳: 假设对于 $⩽k-1$ 的时候, 命题都成立, 利用方程$$\sum _{1⩽k,l⩽n}\left(b^{kl}(y)\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_k\partial y_l}(y)+\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2{\Phi }^k}{\partial x_i^2}\left(y\right)\frac{\partial v}{\partial y_k}\left(y\right)\right)=f(y),$$对任意的 $j⩽n-1$, 我们都有$$\sum _{1⩽k,l⩽n}{b}^{kl}(y)\frac{{\partial }^2({\partial }_{j}v)}{\partial y_k\partial y_l}(y)=-\sum _{1⩽k,l⩽n}\left({\partial }_j{b}^{kl}\right)(y)\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_k\partial y_l}(y)-{\partial }_j\left(\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2{\Phi }^k}{\partial x_i^2}\left(y\right)\frac{\partial v}{\partial y_k}\left(y\right)\right)+{\partial }_{j}f(y).$$根据归纳假设 $v\in H^k(V_{+})\cap H_0^1(V_{+})$, 这表明上面表达式的右边落在空间 $H^{k-2}(V_{+})$ 中; 由于 ${\partial }_j$ 是和边界 $\partial V_{+}$ 平行方向的导数, 我们有 ${\partial }_{j}v\in H_0^1(V_{+})$, 这是因为对于任意的 $\phi \in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\cap H^1(\mathbb{H})$, 对于我们有$$\mathrm{Res}\circ {\partial }_j={\partial }_j\circ \mathrm{Res},$$(这个等式对于 $j=n$ 不成立) 利用 $\mathrm{Res}$ 连续性及我们所证明的正合列, 如果 $v\in H_0^1(V_{+})$, 那么, $\mathrm{Res}\left({\partial }_{j}v\right)=0$, 所以 ${\partial }_{j}v\in H_0^1(V_{+})$. 此时, ${\partial }_{j}v\in H_0^1(V_{+})$ 满足如下的方程: $$\sum _{1⩽k,l⩽n}{b}^{kl}(y)\frac{{\partial }^2({\partial }_{j}v)}{\partial y_k\partial y_l}(y)\in H^{k-2}(V_{+}),$$并且这个函数满足归纳假设的要求 (特别是 ${\partial }_{j}v\in H_0^1(V_{+})$) , 从而, 对任意的 $j⩽n-1$, 我们都有 ${\partial }_{j}v\in H^k(V_{+})$. 最终, 为了说明 $v\in H^k(V_{+})$, 只需要证明 (只差了这一个导数的控制) ${\partial }_n^{k+1}v\in L^2$. 我们再次利用方程: $$b^{nn}(y)\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_n\partial y_n}(y)=-\sum _{(k,l)\ne (n,n)}{b}^{kl}(y)\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y_k\partial y_l}(y)-\sum _{1⩽k,l,i⩽n}\frac{{\partial }^2{\Phi }^k}{\partial x_i^2}\left(y\right)\frac{\partial v}{\partial y_k}\left(y\right)+f(y).$$对这个方程求 $k-1$ 次 ${\partial }_n$ 方向的导数, 除了 $b^{nn}(y){\partial }_n^{k+1}v(y)$ 之外, 其余的项都落在 $L^2$ 中, 这就完成了证明.

$\square$

推论 76.4. $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界光滑带边区域, $u\in H^1(\Omega )$ 满足如下的边值问题: $$\{\begin{array}{l}-△u=f,\\ u{|}_{\partial \Omega }=g.\end{array}$$如果 $f\in C^{\infty }({\Omega }^{\prime })$, 其中 ${\Omega }^{\prime }$ 是包含 $\overline{\Omega }$ 的开集, $g\in C^{\infty }(\partial \Omega )$, 那么, $u\in C^{\infty }(\Omega )$.