作业: 二维波动方程的基本解, Airy 函数与 KdV 方程

寄语. An ocean traveller has even more vividly the impression that the ocean is made of waves than that it is made of water.

—— Sir Arthur Stanley Eddington

习题 A. (二维波动方程的基本解)

我们考虑定义在 ${\mathbb{R}}^{1+2}=\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^2$ 上的波动算子 $\square =-{\partial }_t^2+△$, 其中, 第一个坐标是时间 $t$ 的坐标. 这个算子作用在以 $(t,x,y)\in \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^3$ 为变量函数上的. 我们令$$\rho :\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},(t,x,y)\mapsto t^2-x^2-y^2.$$

A1)	假设 $f=F\circ \rho$ 是 ${\mathbb{R}}^{1+2}$ 上只依赖于 $\rho$ 的函数, 其中 $F(s)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数. 令$$L=4s\frac{d^2}{d{s}^2}+6\frac{d}{ds}.$$证明, $$\square f=-L(F)\circ \rho .$$
A2)	对任意的 $\epsilon >0$, 考虑 ${\mathbb{R}}^1$ 上的函数$$H_{\epsilon }(s)=1_{(\epsilon ,\infty )}(s).$$试计算 $L\left(\frac{H_{\epsilon }(s)}{\sqrt{s}}\right)$.
A3)	我们考虑 ${\mathbb{R}}^{1+2}$ 上的指向未来的实心光锥$${\mathring{C}}_{+}=\{(t,x)\in {\mathbb{R}}^{1+3}|x^2+y^2<t^2\}.$$定义 ${\mathbb{R}}^{1+2}$ 上的函数$$E(t,x,y)=-\frac{1_{{\mathring{C}}_{+}}(t,x,y)}{2\pi \sqrt{t^2-\left(x^2+y^2\right)}}.$$证明, $E\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^{1+2})$.
A4)	证明, 在极坐标 $(t,r,\vartheta )$ 下, 对任意的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^{1+2})$, 我们有$$⟨\square E,\phi ⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\infty }\left({\int }_0^{\infty }{\int }_0^{2\pi }\frac{(\square \phi )(\sqrt{s+r^2},r\cos \vartheta ,r\sin \vartheta )}{2\sqrt{s+t^2}}rdrd\vartheta \right)ds.$$
A5)	我们定义算子$$L^{\ast }=4s\frac{d^2}{d{s}^2}+2\frac{d}{ds}.$$证明, 对任意的分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 我们有$$⟨Lu,\phi ⟩=⟨u,L^{\ast }\phi ⟩.$$
A6)	对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^{1+2})$, 我们定义 $\mathbb{R}$ 上的 (关于变量 $s$) 函数$$\tilde{\phi }(s)={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{2\pi }\frac{(\square \phi )(\sqrt{s+r^2},r\cos \vartheta ,r\sin \vartheta )}{2\sqrt{s+t^2}}rdrd\vartheta .$$证明, $$\left(\widetilde{\square \phi }\right)(s)=(L^{\ast }\tilde{\phi })(s).$$证明, $$⟨\square E,\phi ⟩=-\frac{2}{\pi }\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\sqrt{\epsilon }\frac{d}{ds}\tilde{\phi }(s).$$
A7)	对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^{1+2})$, 我们定义其球面平均为如下 $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}_{>0}$ 上的 (关于变量 $(t,r)$) 函数: $$\overline{\phi }(t,r)={\int }_0^{2\pi }\phi (t,r,\vartheta )d\vartheta .$$证明, $$\frac{d\tilde{\phi }}{ds}(\epsilon )=\frac{1}{4}\left({\int }_0^{\infty }\frac{\partial \overline{\phi }}{\partial t}(\sqrt{r^2+\epsilon },r)\frac{rdr}{r^2+\epsilon }-{\int }_0^{\infty }\overline{\phi }(\sqrt{r^2+\epsilon },r)\frac{rdr}{(r^2+\epsilon {)}^{\frac{3}{2}}}\right).$$
A8)	证明, $$\frac{d\tilde{\phi }}{ds}(\epsilon )=-\frac{1}{4\sqrt{\epsilon }}\overline{\phi }(\sqrt{\epsilon },0)+R(\epsilon ),$$其中 $R(\epsilon )$ 由给定的试验函数 $\phi$ 决定并且满足$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\sqrt{\epsilon }R(\epsilon )=0.$$
A9)	证明, $E$ 是波动算子的基本解.

习题 B. (Airy 函数与线性 KdV 方程)

这个问题的目的是要研究线性 KdV 方程 (浅水波方程) 的基本解.

B1)	证明, 存在唯一的缓增分布 $\mathbf{Ai}\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得其 Fourier 变换为 $e^{\frac{1}{3}i{\xi }^3}$. 我们这个分布称作是 Airy 函数.
B2)	证明, 对任意给定 $\eta >0$, 关于 $\xi$ 的函数$$\xi \mapsto e^{\frac{1}{3}i(\xi +i\eta {)}^3}$$是 Schwartz 函数.
B3)	证明, 对任意给定 $\eta >0$, 关于 $x$ 的函数:$$x\mapsto \frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{ix(\xi +i\eta )+\frac{1}{3}i(\xi +i\eta {)}^3}d\xi ,$$是光滑函数.
B4)	证明, 当 $n\to +\infty$ 时, 关于 $\xi$ 的函数序列$${\left\{\xi \mapsto e^{\frac{1}{3}i(\xi +\frac{i}{n}{)}^3}\right\}}_{n⩾1}$$在 ${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}_{\xi })$ 中收敛并计算其极限.
B5)	计算$$({\partial }_{\xi }+i{\partial }_{\eta })e^{ix(\xi +i\eta )+\frac{1}{3}i(\xi +i\eta {)}^3}$$
B6)	给定 $R>0$ 和 $a<b$, 在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}_{>0})$ 上计算下面两个分布: $${\partial }_{\xi }(1_{[-R,R]}(\xi )1_{[a,b]}(\eta )),{\partial }_{\eta }(1_{[-R,R]}(\xi )1_{[a,b]}(\eta )).$$
B7)	证明: $$\begin{array}{rl}& i\left({\int }_{-R}^R{e}^{ix(\xi +ib)+\frac{1}{3}i(\xi +ib{)}^3}d\xi -{\int }_{-R}^R{e}^{ix(\xi +ia)+\frac{1}{3}i(\xi +ia{)}^3}d\xi \right)\\ & ={\int }_a^b{e}^{ix(-R+i\eta )+\frac{1}{3}i(-R+i\eta {)}^3}d\eta -{\int }_a^b{e}^{ix(R+i\eta )+\frac{1}{3}i(R+i\eta {)}^3}d\eta \end{array}$$
B8)	你是否可以用复解析函数的理论来解释 7) 中的结论?
B9)	证明, 给定 $x\in \mathbb{R}$, 下面关于 $\eta$ 函数$$\eta \mapsto \frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{ix(\xi +i\eta )+\frac{1}{3}i(\xi +i\eta {)}^3}d\xi$$在 $\eta \in (0,+\infty )$ 上是常值函数.
B10)	证明, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$ 和 $\eta >0$, 在 1) 中定义的函数 $\mathbf{Ai}(x)$ 还可以由如下公式定义: $$\mathbf{Ai}(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{ix(\xi +i\eta )+\frac{1}{3}i(\xi +i\eta {)}^3}d\xi .$$
B11)	证明, 对任意 $C>0$, 我们都有$$\underset{x\to +\infty }{\lim }|e^{Cx}\mathbf{Ai}(x)|=0.$$
B12)	证明, $$\mathbf{Ai}(x{)}^{\prime \prime }-x\mathbf{Ai}(x)=0.$$
B13)	假定 $t>0$, 哪一个缓增分布的 Fourier 变换是 $e^{\frac{1}{3}it{\xi }^3}$?
B14)	对每个 $(t,x)\in {\mathbb{R}}^2$, 定义$$E(t,x)=\frac{1_{(0,+\infty )}(t)}{t^{\frac{1}{3}}}\mathbf{Ai}\left(\frac{x}{t^{\frac{1}{3}}}\right).$$证明, $E(t,x)\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$.
B15)	证明$$({\partial }_t+\frac{1}{3}{\partial }_x^3)E(t,x)={\delta }_{(t=0,x=0)}.$$
B16)	证明, $E(t,x)$ 是 ${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}_{t,x}^2)$ 中唯一一个满足如下两个条件的分布: ∘ $({\partial }_t+\frac{1}{3}{\partial }_x^3)u={\delta }_{(0,0)}$; ∘ $\mathrm{supp}(u)\subset {\mathbb{R}}_{⩾0}\times \mathbb{R}.$
B17)	证明, 对任意的 $u_0\in {\mathcal{E}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 如下线性 KdV 方程$$\{\begin{array}{l}({\partial }_t+\frac{1}{3}{\partial }_x^3)u=0,(t,x)\in {\mathbb{R}}_{>0}\times \mathbb{R},\\ u{|}_{t=0}=u_0\end{array}$$在 ${\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R}\times \mathbb{R})$ 上有唯一一个满足 $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}_{>0}\times \mathbb{R})$ 的解. 特别地, 请陈述 $u{|}_{t=0}=u_0$ 的具体定义.