习题: 一个弹性力学的模型

一个弹性力学的模型可以用如下的偏微分方程的边值问题来描述: 假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是光滑的有界带边的区域, $f\in L^2(\Omega )$, $c(x)\in C^0(\Omega )$, 我们要找分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 使得$$\{\begin{array}{ll}& {△}^{2}u+c(x)u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )}{=}f,\\ & △u{|}_{\partial \Omega }=0,\\ & u{|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$$

1)	令$$V=H^2(\Omega )\cap H_0^1(\Omega ).$$证明, $V\subset H^2(\Omega )$ 是闭子空间 (在 $H^2$ 范数下) .
2)	假设 $c(x)>0$, 证明, $$Q(u,v)={\int }_{\Omega }△u\overline{△v}+c(x)u\overline{v}dx$$定义出了 $V$ 上的一个内积.
3)	利用上述内积 (假设 $c(x)>0$) , 给出方程的一个解.
4)	证明, 如果 3) 中给出的解 $u\in H^4(\Omega )$, 那么, 在 $L^2$ 的意义下, $${△}^{2}u+c(x)u=f.$$
5)	如果只假设 $c(x)$ 是实值函数, 如何给出方程的一个解?
6)	当 $c(x)$ 是实数值的时候, 试解释如何构造如下方程的解: $$\{\begin{array}{ll}& {△}^{2}u+c(x)u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )}{=}f,\\ & △u{|}_{\partial \Omega }=u_2,\\ & u{|}_{\partial \Omega }=u_0.\end{array}$$其中, $f\in L^2(\Omega )$, $u_2\in H^{\frac{3}{2}}(\Omega )$, $u_0\in H^{\frac{7}{2}}(\Omega )$.