3. 群的映射

每当你定义一个想法时, 最好能知道这个想法是哪些函数的朋友.

问题: 我们要研究哪些类型的函数?

例 3.0.1. $$\begin{array}{rl}\text{集合}S,T& \leftrightarrow \text{任意函数}f:S\to T\\ \text{空间}X,Y& \leftrightarrow \text{连续函数}f:X\to Y\\ \text{光滑曲线+曲面}X,Y& \leftrightarrow \text{可微函数}f:X\to Y\\ \text{群}G,H& \leftrightarrow \text{群同态}\varphi :G\to H\end{array}$$

3.1群同态

群同态的定义

定义 3.1.1. 令 $G,H$ 是群. 从 $G$ 到 $H$ 的一个群同态是一个函数$$\varphi :G\to H$$使得 $\forall g_1,g_2\in G$, $$\varphi (g_1{g}_2)=\varphi (g_1)\varphi (g_2).$$

群同态的例子

例 3.1.2. $\begin{array}{rl}\exp :(\mathbb{R},+)& \to {\mathbb{R}}^{\times }\text{是一个群同态.}\\ t& \mapsto {\mathrm{e}}^t\end{array}$

证明. $\forall t_1,t_2\in (\mathbb{R},+)$, ${\mathrm{e}}^{t_1+t_2}={\mathrm{e}}^{t_1}\cdot {\mathrm{e}}^{t_2}$.

$\square$

例 3.1.3. $\begin{array}{rl}\det :G{L}_n(\mathbb{R})& \to {\mathbb{R}}^{\times }\text{是一个群同态.}\\ M& \mapsto \det (M)\end{array}$

证明. $\forall M_1,M_2\in G{L}_n(\mathbb{R})$, $\det (M_1{M}_2)=\det (M_1)\det (M_2)$.

$\square$

例 3.1.4. $\begin{array}{rl}(\mathbb{R},+)& \to S^1\text{是一个群同态.}\\ t& \mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\end{array}$

证明. $\forall t_1,t_2\in (\mathbb{R},+)$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(t_1+t_2)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{t}_1}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{t}_2}$.

$\square$

例 3.1.5. 如果 $V,W$ 是向量空间, 它们在加法 $+$ 下是群. 任意线性映射$$\varphi :V\to W$$是一个群同态. 任何线性子空间是一个子群.

证明. (a) 向量空间 $V$ 是群, 因为 $V$ 满足:

(1)	结合律: $V$ 中的加法满足结合律, 即: $(v+u)+w=v+(u+w)$ 对于 $v,u,w\in V$.
(2)	恒元: 存在一个元素 $0\in V$, 使得 $v+0=v$, 对于任意 $v\in V$.
(3)	逆元: 对于任意 $v\in V$, 存在 $-v\in V$, 使得 $v+(-v)=0$.

(b) 任何两个向量空间 $V$ 和 $W$ 之间的线性映射 $\varphi :V\to W$ 是一个群同态, 因为 $\varphi$ 满足:

(1)	同态的性质: 对于任意 $v,u\in V$, $$\varphi (v+u)=\varphi (v)+\varphi (u)$$这直接从线性映射而来, 其中 $\varphi (v+u)=\varphi (v)+\varphi (u)$ 对于任意 $v,u\in V$.
(2)	保持恒元: 因为 $\varphi$ 是线性的, $$\varphi (0_V)=0_W$$其中, $0_V$ 和 $0_W$ 分别是 $V$ 和 $W$ 中的恒元;
(3)	保持逆元: 对于任意 $v\in V$, $$\varphi (-v)=-\varphi (v).$$由于 $\varphi$ 的线性性, 依赖于标量乘法和加法逆元的 $\varphi$ 的这条性质成立.

因为 $\varphi$ 在加法下保持群结构: $$\varphi (v+u)=\varphi (v)+\varphi (u)$$其意味着 $\varphi$ 是从 $(V,+)$ 到 $(W,+)$ 的群同态.

(c) 任意线性子空间是一个子群, 因为

•	一个线性子空间 $U\subseteq V$ 在加法下也是一个群, 因为它继承了 $V$ 的群结构;
•	$V$ 的恒元 $0_V$ 也是 $U$ 中的恒元;
•	$U$ 中的逆元也从 $V$ 中继承.

$\square$

群同态的性质

命题 3.1.6. 令 $\varphi :G\to H$ 是一个群同态. 我们有

(a)	$\varphi (1_G)=1_H$.
(b)	$\varphi (g^{-1})=\varphi (g{)}^{-1}$.

证明. (a) 对于任意 $g\in G$, $$\begin{array}{rl}\varphi (g)& =\varphi (1_G\cdot g)\\ & =\varphi (1_G)\cdot \varphi (g)\end{array}\begin{array}{rl}\text{(2)}& \\ \text{(同态的定义)}& \end{array}$$令 $h$ 是 $\varphi (g)$ 的逆. 则$$\begin{array}{rl}\varphi (g)\cdot h=\varphi (1_G)\cdot \varphi (g)\cdot h& \Rightarrow 1_H=\varphi (1_G)\cdot 1_H\\ & \Rightarrow 1_H=\varphi (1_G)\end{array}\begin{array}{rl}\text{(3)}& \\ \text{(2)}& \end{array}$$(b) $1_H=\varphi (1_G)=\varphi (g\cdot g^{-1})=\varphi (g)\cdot \varphi (g^{-1})\Rightarrow \varphi (g^{-1})=\varphi (g{)}^{-1}$

$\square$

命题 3.1.7. ${\mathrm{id}}_G:G\to G$ 是一个同态.

证明. 考虑恒等映射 ${\mathrm{id}}_G:G\to G$, 定义为 ${\mathrm{id}}_G(g)=g$ 对于任意 $g\in G$.

要证明 ${\mathrm{id}}_G$ 是一个同态, 我们需要说明: 对于任意 $g_1$, $g_2\in G$, 我们有$${\mathrm{id}}_G(g_1\cdot g_2)={\mathrm{id}}_G(g_1)\cdot {\mathrm{id}}_G(g_2)$$

令 $g_1,g_2\in G$.

1.$${\mathrm{id}}_G(g_1\cdot g_2)=g_1\cdot g_2.$$(通过 ${\mathrm{id}}_G$ 的定义, ${\mathrm{id}}_G(g_1\cdot g_2)=g_1\cdot g_2$.)

2.$${\mathrm{id}}_G(g_1)\cdot {\mathrm{id}}_G(g_2)=g_1\cdot g_2.$$(因为 ${\mathrm{id}}_G(g_1)=g_1$ 和 ${\mathrm{id}}_G(g_2)=g_2$.)

3. 因为 ${\mathrm{id}}_G(g_1\cdot g_2)=g_1\cdot g_2$ 和 ${\mathrm{id}}_G(g_1)\cdot {\mathrm{id}}_G(g_2)=g_1\cdot g_2$, 我们已经说明了 ${\mathrm{id}}_G(g_1\cdot g_2)={\mathrm{id}}_G(g_1)\cdot {\mathrm{id}}_G(g_2)$ 对于所有 $g_1,g_2\in G$.

因此, ${\mathrm{id}}_G:G\to G$ 是一个同态.

$\square$

命题 3.1.8. 如果 $G\stackrel{\varphi }{⟶}H$, $H\stackrel{\psi }{⟶}K$ 是同态, 那么 $\psi \circ \varphi$ 是一个同态.

证明. 为了证明两个同态映射 $\varphi :G\to H$ 和 $\psi :H\to K$ 的复合映射 $\psi \circ \varphi :G\to K$ 也是一个同态, 我们需要验证 $\psi \circ \varphi$ 满足: 对于任意 $g_1,g_2\in G$, 有$$(\psi \circ \varphi )(g_1\cdot g_2)=\psi (\varphi (g_1\cdot g_2))=\psi (\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2)).$$

如下是证明:

计算 $(\psi \circ \varphi )(g_1\cdot g_2)$: $$(\psi \circ \varphi )(g_1\cdot g_2)=\psi (\varphi (g_1\cdot g_2)).$$(这是复合映射 $\psi \circ \varphi$ 的定义.)

应用 $\varphi$ 同态的性质: 因为 $\varphi$ 是一个同态, 我们有: $$\varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2).$$因此, $$(\psi \circ \varphi )(g_1\cdot g_2)=\psi (\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2)).$$应用 $\varphi$ 的同态性质, 我们得到: $\psi$ 是同态意味着: $$\psi (\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2))=\psi (\varphi (g_1))\cdot \psi (\varphi (g_2)).$$因此我们已经说明了$$(\psi \circ \varphi )(g_1\cdot g_2)=\psi (\varphi (g_1))\cdot \psi (\varphi (g_2))=(\psi \circ \varphi )(g_1)\cdot (\psi \circ \varphi )(g_2).$$因此, $\psi \circ \varphi$ 满足同态的性质, 证明了 $\psi \circ \varphi :G\to K$ 确实是一个同态.

$\square$

命题 3.1.9. 如果 $H\subset G$ 是一个子群, 那么包含映射 $H\hookrightarrow G$ 是一个同态.

证明. 为了证明包含映射 $i:H\hookrightarrow G$ 是一个同态, 其中 $H\subset G$ 是一个子群, 我们需要验证同态性质: 对于所有 $h_1,h_2\in H$, $$i(h_1\cdot h_2)=i(h_1)\cdot i(h_2).$$包含映射 $i:H\hookrightarrow G$ 定义为: $i(h)=h$ 对于任意 $h\in H$.

因为 $h_1,h_2\in H$, $$i(h_1\cdot h_2)=h_1\cdot h_2.$$(这里 $\cdot$ 表示 $H$ 中群乘法操作, 而 $h_1\cdot h_2$ 是 $H$ 中乘法.)

$$i(h_1)=h_1\text{and}i(h_2)=h_2.$$所以, $$i(h_1)\cdot i(h_2)=h_1\cdot h_2.$$因为 $i(h_1\cdot h_2)=h_1\cdot h_2$ 和 $i(h_1)\cdot i(h_2)=h_1\cdot h_2$, 我们已经说明 $i(h_1\cdot h_2)=i(h_1)\cdot i(h_2)$ 对于所有 $h_1,h_2\in H$.

因此, 包含映射 $i:H\hookrightarrow G$ 是一个同态.

$\square$

群同态的核和像

定义 3.1.10. 给定一个群同态$$\varphi :G\to H$$$\varphi$ 的核是集合$$\ker (\varphi )=\{g\in G\mid \varphi (g)=1_H\}.$$$\varphi$ 的像是集合$$\mathrm{im}(\varphi )=\{h\in H\mid h=\varphi (g)\text{对于一些}g\in G\}.$$

命题 3.1.11. $\ker (\varphi )\subset G$, $\mathrm{im}(\varphi )\subset H$ 是子群.

证明. $\ker (\varphi )$ 是 $G$ 的子群, 因为:

(1)	$\varphi (g_1),\varphi (g_2)=1_H$ $$\begin{array}{rl}\Rightarrow \varphi (g_1{g}_2)& =\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2)\\ & =1_H\cdot 1_H\\ & =1_H\end{array}$$
(2)	$\varphi (1_G)=1_H$, 所以 $1_G\in \ker (\varphi )$.
(3)	$\varphi (g)=1_H$ $$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \varphi (g^{-1})=1_H^{-1}=1_H\\ & \Rightarrow g^{-1}\in \ker (\varphi )\end{array}$$

$\mathrm{im}(\varphi )$ 是 $H$ 的子群, 因为

(1)	$h_i=\varphi (g_i)$ $\Rightarrow$ $h_1{h}_2=\varphi (g_1)\varphi (g_2)=\varphi (g_1{g}_2)$.
(2)	$\varphi (1_G)=1_H$, 所以 $1_H\in \mathrm{im}(\varphi )$.
(3)	$h=\varphi (g)$ $\Rightarrow$ $h^{-1}=\varphi (g^{-1})$.

$\square$

3.2群同构

群同构的定义

定义 3.2.1. 如果一个群同态 $\varphi$ 是一个双射, 那么 $\varphi$ 被称为是一个群同构.

同构不是等于, 就像集合的双射不是等于一样.

例 3.2.2. 五个香蕉的集合不等于五个苹果的集合.

但我们是用同构对群的分类. 就像我们用双射对集合分类.

群同构的例子

例 3.2.3. $\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{>0},\times )$ 是一个群同构.

证明. 为了证明 $\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{>0},\times )$ 是一个群同构, 我们需要说明两点:

(1) 同态: $\exp$ 保持群作用, 即: 对于所有 $x,y\in \mathbb{R}$, $$\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y).$$

(2) 双射: $\exp$ 是一个双射, 意味着它同时是一个单射和满射.

对于 $x,y\in \mathbb{R}$, $$\exp (x+y)=e^{x+y}.$$应用指数的性质, $$e^{x+y}=e^x\cdot e^y=\exp (x)\cdot \exp (y).$$

因此, $\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y)$, 说明了 $\exp$ 是一个同态.

为了说明 $\exp$ 是单射, 假设对于一些 $x,y\in \mathbb{R}$, 有 $\exp (x)=\exp (y)$. $$\exp (x)=\exp (y)\Rightarrow e^x=e^y.$$在等式两边取自然对数 (这都是有效的, 因为对于所有 $x$, 都有 $e^x>0$), $$x=y.$$因此, $\exp$ 是单射.

为了说明 $\exp$ 是满射, 我们需要说明对于任意 $y\in {\mathbb{R}}_{>0}$, 存在 $x\in \mathbb{R}$ 使得 $\exp (x)=y$. 因为 $y>0$, 存在 $x=\ln (y)\in \mathbb{R}$ (其中, $\ln$ 表示自然对数) 使得 $\exp (x)=e^{\ln (y)}=y$. 因此, $\exp$ 是满射.

因为 $\exp$ 既是一个同态又是一个双射, 它在 $(\mathbb{R},+)$ 和 $({\mathbb{R}}_{>0},\times )$ 之间是一个群同构.

因此, $\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{>0},\times )$ 是一个群同构.

$\square$

定理 3.2.4. 每个阶为 $n$ 的有限循环群都同构于 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

证明. 设 $G=⟨g⟩$ 是一个阶为 $n$ 的循环群. 定义函数 $\varphi :G\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 为$$\varphi (g^k)=k(\mathrm{mod}n).$$(1) 同态性:$$\varphi (g^a\cdot g^b)=\varphi (g^{a+b})=(a+b)(\mathrm{mod}n).$$另一方面,$$\varphi (g^a)+\varphi (g^b)=a+b(\mathrm{mod}n).$$两边相同, 所以 $\varphi$ 是一个同态.
(2) 单射性: 如果 $\varphi (g^a)=\varphi (g^b)$, 则 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$, 意味着 $g^a=g^b$.
(3) 满射性: 对于任意 $k\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, 我们有 $\varphi (g^k)=k(\mathrm{mod}n)$.

$\square$

群同构的性质

命题 3.2.5. 如果 $\varphi :G\to H$ 是一个群同构, ${\varphi }^{-1}$ 是一个群同构.

证明. 很明显, 它是一个双射. 需要证明 ${\varphi }^{-1}$ 是一个同态: $\forall g_1,g_2\in G$, $h_1=\varphi (g_1),h_2=\varphi (g_2)$, 我们有$$\begin{array}{rl}{\varphi }^{-1}(h_1\cdot h_2)& ={\varphi }^{-1}(\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2))\\ & ={\varphi }^{-1}(\varphi (g_1\cdot g_2))\\ & =({\varphi }^{-1}\circ \varphi )(g_1\cdot g_2)\\ & =g_1\cdot g_2\\ & ={\varphi }^{-1}(h_1)\cdot {\varphi }^{-1}(h_2)\end{array}$$

$\square$

3.3乘积群

乘积群是一种通过组合已知群的元素和运算来构造新群的方法.

定义 3.3.1. 给定两个群 $G_1$ 和 $G_2$, 乘积群 $G_1\times G_2$ 是有序对的集合:$$G_1\times G_2=\{(g_1,g_2)\mid g_1\in G_1,g_2\in G_2\}$$其群运算定义为$$(g_1,g_2)\cdot (h_1,h_2)=(g_1\cdot h_1,g_2\cdot h_2).$$

命题 3.3.2. 给定两个群 $G_1$ 和 $G_2$, $G_1\times G_2$ 是一个群.

证明. (1) 结合性: 由 $G_1$ 和 $G_2$ 的结合性直接得出.
(2) 单位元: $(1_{G_1},1_{G_2})$ 是单位元.
(3) 逆元: $(g_1,g_2{)}^{-1}=(g_1^{-1},g_2^{-1})$.

$\square$

例 3.3.3 (实数的 Cartesian 积). 群 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 在标准加法下与 Euclid 平面 ${\mathbb{R}}^2$ 同构.

例 3.3.4 (Klein 四元群). $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 被称为 Klein 四元群. 它是最小的非循环群.

例 3.3.5. 如果 $\{z\in T\subset \mathbb{C}:|z|=1\}$, 则 ${\mathbb{C}}^{\times }={\mathbb{R}}^{\times }\times T$.

3.4自同构

理解乘积群自然引出了对群内对称性的研究. 自同构是一个从群映射到自身的双射同态, 它描述了群的结构如何以不同的方式映射到自身. 当自同构应用于乘积群时, 尤其引人注目, 因为它揭示了多个群的内部结构在映射下如何相互作用.

定义 3.4.1. 令 $X$ 是一个集合. 我们记$$\mathrm{Aut}(X):={\mathrm{Aut}}_{\text{set}}(X):=\{\text{双射}X\to X\}$$为从 $X$ 到它本身的双射的集合.

命题 3.4.2. $\mathrm{Aut}(X)$ 在复合下构成一个群.

证明. $\mathrm{Aut}(X)$ 在复合下构成一个群, 因为

(1)	复合函数是结合的: $$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$$
(2)	$\begin{array}{rl}{\mathrm{id}}_X:X& \to X\\ x& \mapsto x\end{array}$ 是恒元, 因为$$f\circ {\mathrm{id}}_X={\mathrm{id}}_X\circ f=f.$$
(3)	$f^{-1}$ 是 $f$ 的逆: $$f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_X=f^{-1}\circ f.$$

$\square$

3.5对称群

定义 3.5.1. 令$$\underline{n}=\{1,\dots ,n\}.$$则$${\mathrm{Aut}}_{\text{set}}(\underline{n})=:S_n$$是 $n$ 个元素的集合上的对称群.

例 3.5.2. 下面是对称群的例子:

•	$n=1$: $\mathrm{Aut}(\{1\})$ 是有一个元素的群: $$\begin{array}{rl}{S}_1& =\{\text{双射}\{1\}\to \{1\}\}\\ & =\{{\mathrm{id}}_{\underline{1}}\}\end{array}$$
•	$n=2$: $\mathrm{Aut}(\{1,2\})$ 是由两个元素的群: $$S_2=\left\{\left(\mathrm{id}:\begin{array}{r}1\mapsto 1\\ 2\mapsto 2\end{array}\right),\left(\sigma :\begin{array}{r}1\mapsto 2\\ 2\mapsto 1\end{array}\right)\right\}$$其满足$$\sigma \circ \sigma ={\sigma }^2=\mathrm{id}.$$
•	$S_3$ 有 $3!$ 个元素. 我们将很快学到它的结构.
•	一般地, $S_n$ 是有 $n!$ 元素的群.

有限集 $\underline{n}=\{1,2,\dots ,n\}$ 上的对称群 $S_n$ 的定义可以被拓展到任意集合 $G$, 有限或无限. 我们有如下定义:

定义 3.5.3. 集合 $\mathbf{G}$ 上的对称群是从 $G$ 到其自身的所有双射构成的群: $$\mathrm{Sym}(G)={\mathrm{Aut}}_{\text{set}}(G).$$

该群包含了 $G$ 的所有元素的排列. 当 $G$ 是一个包含 $n$ 个元素的有限集合时, $\mathrm{Sym}(G)$ 本质上与 $S_n$ 相同, 但这种推广允许我们考虑任何集合 $G$ 上的排列, 不论其基数大小.

对称群在群论的研究中是基本的, 因为它们通过涵盖有限集合的所有可能排列, 捕捉了对称性的本质. 令人感兴趣的是, 每个群, 无论是有限的还是无限的, 都可以表示为排列群的一个子群. 这一深刻的联系由 Cayley 定理形式化了.

3.6Cayley 定理

定理 3.6.1 (Cayley 定理). 每个群 $G$ 同构于集合 $G$ 上的对称群 $\mathrm{Sym}(G)$ 的一个子群.

证明. 令 $G$ 为任意群. 我们的目标是构造一个单射群同态 $\varphi :G\to \mathrm{Sym}(G)$, 从而证明 $G$ 同构于 $\mathrm{Sym}(G)$ 的一个子群.

对于每个元素 $g\in G$, 定义一个由左乘法确定的函数 $L_g:G\to G$:$$L_g(h)=gh\text{for all }h\in G.$$由于 $G$ 是一个群, 每个 $L_g$ 都是一个双射 (其逆为 $L_{g^{-1}}$), 因此 $L_g\in \mathrm{Sym}(G)$.

定义映射 $\varphi :G\to \mathrm{Sym}(G)$ 为$$\varphi (g)=L_g.$$

•	同态性质: 对于所有 $g_1,g_2\in G$ 和 $h\in G$,$$\varphi (g_1{g}_2)(h)=L_{g_1{g}_2}(h)=(g_1{g}_2)h=g_1(g_{2}h)=L_{g_1}(L_{g_2}(h))=(\varphi (g_1)\circ \varphi (g_2))(h).$$因此, $\varphi (g_1{g}_2)=\varphi (g_1)\circ \varphi (g_2)$, 所以 $\varphi$ 是一个群同态.
•	单射性: 假设 $\varphi (g)=\varphi (h)$ 对于某些 $g,h\in G$. 那么对于所有 $k\in G$,$$L_g(k)=L_h(k)⟹gk=hk.$$特别地, 当 $k$ 是 $G$ 的单位元 $e$ 时,$$ge=he⟹g=h.$$因此, $\varphi$ 是单射的.

由于 $\varphi$ 是一个单射同态, $G$ 同构于 $\mathrm{Sym}(G)$ 的子群 $\varphi (G)$.

$\square$

Cayley 定理揭示了每个群都可以看作是排列的群, 强调了对称群在理解所有群的结构中的核心作用.